Materiály jsou určeny pro výuku matematiky: 3. ročník, Ekonomické lyceum Učivo v elektronické podobě zpracovala Mgr. Iva Vrbová

KOMPLEXNÍ ČÍSLA Číselný obor, který se označuje C Mocniny, dělení, absolutní hodnota

Početní operace (úkony) s KČ: Mocnina KČ ( včetně mocnin imaginární jednotky ) Podíl KČ Absolutní hodnota KČ

Mocniny imaginárního KČ Užíváme algebraické vzorce známé již ze ZŠ Příklad: Vypočtěte –9

Příklad: Určete a) reálnou, b) imaginární část KČ.

Mocniny imaginární jednotky Mocniny imaginární jednotky nabývají pouze čtyři různé hodnoty, které se opakují stále ve stejném pořadí: + 1, + i, –1, – i. Pro úpravu lze užít dva postupy. Zvažte, který je pro vás jednodušší a ten si zapište.

Mocniny i:a)c) b) d)

i 123 =i 217 = i 85 =i 323 = i 140 =i 196 = i 254 =i 286 = i 60 =i 405 = i 135 =i 27 = i 99 =i 132 = i 182 =i 180 = i 77 =i 65 = i 200 =i 18 = – i+ i + i– i+ 1 – 1– i – i – i + 1 – i + 1 – 1 Příklad: Určete mocniny.

= – i + i – i + i – i i 3 + i 13 + i 23 + i 33 + i 43 = i. i 2. i 3. i 4. i 5 = Příklad: Vypočtěte. i 15 = – i

VI) Podíl KČ POZOR!!! Aby se jednalo o podíl KČ, musí být KČ (imag. jednotka) ve jmenovateli zlomku Vyřešit podíl KČ znamená „odstranit imaginární jednotku ze jmenovatele zlomku“ – obdobná úprava jako u usměrňování zlomků (učivo 1. ročníku)  Výsledkem je opět KČ

Příklad: Vydělte KČ (zapište KČ v AT).  dělíme-li KČ ryze imaginárním 1 1 1

( ) (a + b).(a – b) = a 2 – b 2 ( ) 1  dělíme-li KČ imaginárním – pak zlomek rozšíříme komplexně sdruženým číslem k jmenovateli ( ) (a – b).(a + b) = a 2 – b 2 ( ) –10

Příklad: Určete a) reálnou, b) imaginární část KČ.

vzdálenost KČ a = a 1 + a 2 i od počátku je vyjádřena vždy kladným reálným číslem Absolutní hodnota KČ, ozn. Pythagorova věta: y x 0 [a 1 ; a 2 ] a1a1 a2a2 |a||a| a1a1 a2a2

Vlastnosti absolutní hodnoty KČ KČ, která mají stejnou vzdálenost od počátku je nekonečně mnoho.  KČ, jejichž obrazy leží na kružnici k (0; r = |a|), 4 leží na souřadných osách, x y 0 |a||a| |a||a| |a||a| |a||a| |a||a| r = |a| a k  a proto: –aa 0

KČ, jehož vzdálenost od počátku je jedna jednotka (cm, mm,....):  KČ, jejichž obrazy leží na kružnici k (0; r = 1), 4 z nich leží na souřadných osách:  1;  i. Komplexní jednotka x y 0 k –1 i –i–i 1 r = 1

Příklad: Určete absolutní hodnotu KČ (určete vzdálenost KČ od počátku). a = 3 + 4i b = – 3 + i c = – 5 – 5i d = 1 – 2i e = 7 f = – 3i [3 ; 4] [–3 ; 1] [–5 ; –5] [1 ; –2] [7 ; 0] [0 ; –3]

x y 0 Příklad: Určete je-li a = 8 – 6i. r = |a| = 10 a –aa 8 6 –8 –6 a = 8 – 6i –a = –8 + 6i a = 8 + 6i –a = –8 – 6i

Příklad: Určete KČ, která leží na souřadných osách a jejichž vzdálenost od počátku je 5j. x y 0 r = |a| = 5 5 5i5i –5 –5i

Příklad: Určete, je-li dané KČ komplexní jednotka. ano ne ano ne ano