8. Složené výroky - implikace (výklad) Matematická logika 8. Složené výroky - implikace (výklad) Mgr. Michal Švarc michal.svarc@oaneveklov.cz

8. Složené výroky - implikace Velice důležitým složeným výrazem je implikace. V její formě bývají nejčastěji formulovány matematické věty a bývá též základním principem matematických důkazů.

8. Složené výroky - implikace Implikace výroků A a B je výrok, který vznikne jejich spojením slovním obratem Jestliže…,pak… . Implikaci zapisujeme A  B a čteme „Jestliže A, pak B“ nebo „Z výroku A vyplývá výrok B“. Příklad: A: Číslo 32 je dělitelné čtyřmi. B: Číslo 34 je dělitelné čtyřmi. C: Číslo 32 je dělitelné dvěma. D: Číslo 34 je dělitelné dvěma. A  C: Jestliže je číslo 32 dělitelné čtyřmi, pak je dělitelné dvěma. B  D: Jestliže je číslo 34 dělitelné čtyřmi, pak je dělitelné dvěma. D  B: Jestliže je číslo 34 dělitelné dvěma, pak je dělitelné čtyřmi. B  E: Jestliže je číslo 34 dělitelné čtyřmi, pak jsem indická královna.

8. Složené výroky - implikace Vyzkoušejte se! Utvořte z výroků A,B implikaci. A: Číslo x je liché. B: Rovnice nemá řešení. Jestliže je číslo x liché, pak rovnice nemá řešení.

8. Složené výroky - implikace Vyzkoušejte se! Utvořte z výroků A,B implikaci. A: Mnohoúhelník ABCD je čtverec. B: Mnohoúhelník ABCD má čtyři vrcholy. Jestliže je mnohoúhelník ABCD čtverec, pak má čtyři vrcholy.

8. Složené výroky - implikace Pravdivost implikace Posuďte, jak závisí pravdivost implikace na pravdivosti původních výroků. Jestliže je číslo 32 dělitelné čtyřmi, pak je dělitelné i dvěma. A  B 1 Intuitivně cítíme, že pokud z pravdivého výroku vyplývá výrok pravdivý, je vše v pořádku a také výsledná implikace bude pravdivá. A B A  B 1

8. Složené výroky - implikace Pravdivost implikace Posuďte, jak závisí pravdivost implikace na pravdivosti původních výroků. Jestliže je číslo 34 dělitelné dvěma, pak je dělitelné i čtyřmi. A  B 1 Intuitivně cítíme, že pokud z pravdivého výroku má vyplynout výrok nepravdivý, implikace jako celek pravdivá nebude. A B A  B 1

8. Složené výroky - implikace Pravdivost implikace Posuďte, jak závisí pravdivost implikace na pravdivosti původních výroků. Jestliže je číslo 34 dělitelné čtyřmi, pak je dělitelné i dvěma. A  B 1 V tomto případě není splněna podmínka vyslovená v první části implikace. Ať už je či není druhá část pravdivá, výrok jako celek pravdivý je. A B A  B 1

8. Složené výroky - implikace Pravdivost implikace Posuďte, jak závisí pravdivost implikace na pravdivosti původních výroků. Jestliže je číslo 34 dělitelné čtyřmi, pak jsem indická královna. A  B Přestože určitě není druhá část implikace splněna, bude celý výrok pravdivý. Indická královna bych totiž musel být jen v tom případě, kdyby byla splněna podmínka – číslo 34 by muselo být dělitelné čtyřmi. A B A  B 1

8. Složené výroky - implikace Tabulka pravdivostních hodnot A B A  B 1 Implikace libovolných výroků A, B je nepravdivá pouze tehdy, když z pravdivého výroku A vyplývá nepravdivý výrok B.

8. Složené výroky - implikace Obrácená implikace Obrácená implikace k implikaci A  B je implikace B  A. Příklad A: Číslo a je sudé. B: Druhá mocnina čísla a je sudá. Utvořte implikaci A  B Jestliže je číslo a sudé, pak je i jeho druhá mocnina je sudé číslo. Utvořte obrácenou implikaci B  A Jestliže je a2 sudé číslo, pak je i a sudé číslo.

8. Složené výroky - implikace Obrácená implikace a její pravdivost A  B Jestliže je číslo a sudé, pak je i jeho druhá mocnina je sudé číslo. B  A Jestliže je a2 sudé číslo, pak je i a sudé číslo. První implikace je pravdivá. Druhá mocnina každého sudého čísla je také sudá. Druhá implikace však pravdivá není. Je-li a2 třeba 10, číslo a se pak rovná 10 a to určitě sudé číslo není. Pravdivost implikace A  B ještě nezaručuje pravdivost implikace obrácené.

8. Složené výroky - implikace Důsledek Z prohlášení „Jestliže bude pršet, tak nepůjdu do kina“ automaticky nevyplývá, že „Jestliže jsem nebyl v kině, tak muselo pršet“ ! Lépe je to vidět na jiném příkladu: Lidovou moudrost „Co Čech to muzikant“ bychom do jazyka implikace mohli přepsat jako Jestliže jsem Čech, pak jsem muzikant. Pak může, ale nemusí platit, obrácená věta Jestliže jsem muzikant, pak jsem Čech. Zrovna tak totiž mohu být Polák, Němec, Mexičan či kdokoli jiný a umět hrát na nějaký hudební nástroj. Konec