Exponenciální funkce VY_34_INOVACE Matematika, č.přílohy Autor: Mgr. Eva Hubáčková Použití: výklad a procvičení vlastností exponenciální funkce Datum vypracování: 17.3. 2012 Datum pilotáže: 10.4. 2012 Anotace: Interaktivní prezentace v úvodu motivuje příkladem použití grafu v praktické úloze, odvozuje dva typy grafů exponenciální funkce, prezentaci lze využít v hledání vlastností exponenciální funkce. Poznatky jsou pak aplikovány ve cvičeních pro studenty s následným řešením. Materiál je určen pedagogům a studentům k výkladu a procvičení definice a vlastností exponenciální funkce na střední škole.

Exponenciální funkce Příklad využití Závislost hmotnosti m radioaktivní látky na čase t při její radioaktivní přeměně je dána vzorcem m0 je počáteční hmotnost látky v čase 0 sekund a T je poločas přeměny (doba, za kterou se m0 zmenší na jednu polovinu). Vypočítejte hmotnost radia v časech t = 10,50,100,150, 183,200,250,300,350,400,450,500 sekund. T radia je 183 s, m0=1g. Sestavte tabulku a zobrazte do grafu. Řešení: Dostáváme funkci : čas t 10 50 100 150 183 200 250 300 350 400 450 500 m 0,96 0,83 0,68 0,57 0,5 0,47 0,39 0,32 0,27 0,22 0,18 0,15 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Graf - Závislost hmotnosti m = y radia na čase t = x při jeho radioaktivní přeměně Grafem je část grafu exponenciální funkce o základu a = Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Zkoumejte nyní vztah y = 2x pro všechna reálná x Zkoumejte nyní vztah y = 2x pro všechna reálná x. Zkoumejte nyní vztah pro všechna reálná x. x -8 -6 -4 -2 -1 -0,5 0,5 1 2 4 6 8 y = 2x y = 2-x Načrtněte grafy obou funkcí. Jaká je mezi nimi souvislost? Určete vlastnosti obou funkcí. y = 2x x Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Zkoumejme nyní vztah y = 2x pro všechna reálná x. -8 -6 -4 -2 -1 -0,5 0,5 1 2 4 6 8 y 0,004 0,02 0,06 0,25 0,7 1,41 16 64 256 Pozn: Jaký bude graf funkce ? Např. v bodě x = - 4 bude funkční hodnota 2-(-4)=24, což je hodnota funkce y = 2X v bodě x = 4. Graf funkce bude souměrný s grafem y= 2x podle osy y. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Definice exponenciální funkce : Exponenciální funkce o základu a, je funkce na množině R vyjádřená ve tvaru y = ax, kde a je kladné číslo různé od 1. Pozorujme hodnoty základu a, který má vliv na průběh grafu exponenciální funkce. y=8x y=2x y=4x Pozn:Funkce y=1x není funkce exponenciální, ale konstantní. Pokud by a bylo záporné grafem by byly izolované body. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Vlastnosti exponenciální funkce y = ax, a Definiční obor je R. Obor hodnot je (0;∞) Je rostoucí, a tedy je prostá. Je klesající, a tedy je prostá. Je zdola omezená. Nemá minimum. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Použijte grafu exponenciální funkce k porovnávání následujících čísel: Použijte grafu exponenciální funkce k porovnávání následujících čísel: a) b) Využijeme funkci Jelikož základ je z intervalu (0;1) je funkce klesající. Tzn. Jestliže - 3, 002 < - 3,001, pak > Situaci si můžeme znázornit na grafu dané funkce: Využijeme funkci Jelikož základ je větší než 1, je funkce rostoucí. Tzn. Jestliže < , pak < Situaci si můžeme znázornit na grafu dané funkce: _ • _ • _ • _ • І І І І - 3,002 -3,001 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

3) Vyberte čísla menší než 1: A= , B= , C= , D= , E= Cvičení: 1) S využitím průběhu grafu exponenciální funkce porovnejte následující čísla: a) , b) , c) , d) 2) S využitím vlastnosti vhodné exponenciální funkce rozhodněte, jaký vztah platí mezi reálnými čísly r a s: a) , b) , c) , d) 3) Vyberte čísla menší než 1: A= , B= , C= , D= , E= 4) Rozhodněte, jaký musí být základ (a>1 nebo 0<a<1), aby platilo: , b) c) , d) 5) Jaký musí být parametr b, aby funkce f byla rostoucí: a) b) c) , d) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

a) r < s , b) r > s , c) r > s , d) r < s A, C, D Řešení: a) b) c) d) a) r < s , b) r > s , c) r > s , d) r < s A, C, D a) a >1, b) 0 < a < 1, c) a >1, d) 0 < a < 1 a) b) c) d) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Zdroje informací Učebnice Matematika pro gymnázia -Funkce, nakladatelství Prometheus, Jednota českých matematiků a fyziků Cvičení jsou originálně vytvořena podle předlohy úloh ve sbírce Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková

Metodický list V 1. části odprezentujeme příklad využití exponenciální funkce. V 2. části studenti interaktivně odvodí dva typy grafů exponenciální funkce a doplní vlastnosti funkcí. V 3. části prezentujeme řešení typových cvičení. V 4. části cvičení interaktivně řešíme. V 5. části studenti samostatně řeší úkoly a následně si zkontrolují výsledky v závěrečném okně.