SGEO2B Témata závěrečných prací. Ukázka.

Formální stránka práce Titulní strana: škola, název práce, autor, datum Písmo vel. 12, řádkování 1,5 Okraje:  nahoře 2,5 cm  dole 2,5 cm  vlevo 3 cm  vpravo 1,5 cm Kroužková vazba a CD

Struktura práce Obsah Úvod Vlastní práce  odborná (teoretická) část  praktická část řešené příklady ukázky sbírka úloh Závěr a doporučení Zdroje – literatura

Úkol do příští hodiny – Přesný název práce Osnova

Ukázka Skalární součin vektorů.

Obsah Úvod Teoretická část  Definice  Vlastnosti Praktická část  Důkazy vztahů v programu Cabri  Vlastní aplikační úlohy Závěr a doporučení Literatura

Definice (SS1) u  v = v  u, (SS2) (u + v)  w = u  w + v  w, (SS3) (au)  v = a(u  v), (SS4) u  u  0; u  u = 0  u = o. Vzhledem k (SS4) budeme psát u  u = u 2.

Věta 16.1 (s důkazem) Pro všechny vektory u, v, w  V n a pro všechna reálná čísla a  R platí: a) u  (v + w) = u  v + u  w, b) (u + v) 2 = u 2 + 2(u  v) + v 2, c) u  (av) = a(u  v), d) o  u = u  o = 0, e) u  v = ((u + v) 2 - u 2 - v 2 ).

Modely vztahů u  v = v  u (u + v) 2 = u 2 + 2(u  v) + v 2 Cauchy-Schwartzova nerovnost:

Vlastní příklady Výpočtem určete velikost skalárního součinu a výsledek potom ověřte v programu Cabri:  u = (1, 2), e = (1, 0)  u = (3, -1), e = (0, 1)  u = (-2, 1), e = (1, 2)  u = (1, -2), e = (0, -1) Jaké závěry můžeme vyvodit?

Dokažte následujíc vztahy v Cabri (u + v)  w = u  w + v  w, (au)  v = a(u  v), u  (v + w) = u  v + u  w, u  (av) = a(u  v), u  v = ((u + v) 2 - u 2 - v 2 ), o  u = u  o = 0.

Témata – GEO2B Vektorové prostory se skalárním součinem  skalární součin a jeho vlastnosti  Grammův determinant vektorů a jeho využití Kolmost vektorů  Schmidtův ortogonalizační proces a jeho využití  modely v A2 a A3 Vektorový součin Smíšený součin tří vektorů ve V3 Euklidovské prostory  metrika  kartézský souřadný systém a jeho využití

Témata – GEO2B Ortogonální průmět přímky do podprostoru Vzdálenost podprostorů v En  vzdálenosti podprostorů – modely v E2 a E3  mimoběžné podprostory – jejich osa a vzdálenost – model v E3 Odchylka dvou podprostorů prostoru En  odchylka dvou přímek, přímky od roviny, dvou rovin – modely v E2 a E3 Ortogonální transformace souřadnic ve Vn a v En  modely jednotlivých klasifikací v Microsoft Excel

Témata – GEO3B Shodná zobrazení (izometrie) Souměrnost podle nadroviny Translace Souměrnost podle středu Klasifikace shodných transformací přímky E1 a roviny E2  modely v E2 a E3 Izometrie v E3

Témata – GEO3B Homotetie (stejnolehlosti)  modely v E2 Grupa homotetií  modely v E2 Grupa podobných transformací prostoru En Podobné transformace v E1 a E2. Podobnost geometrických útvarů Základní afinity Klasifikace afinních transformací v A2  modely v Microsoft Excel