Přehled fyziky pro předmět: Základy dozimetrie a nukleární medicíny KBBV FCHT Stránky fyzikální části této přednášky:

Fyzikální úvod do předmětu Přednášející: Doc. Miloš Steinhart Adresa: Studentská 84, (514), stein.upce.cz/fnuk/fnuk_0n.ppt Přednášky Čt: 5.3., a 19.3:07:00 – 09:00 C1

FZDNM_01 Základní fyzikální pojmy a veličiny: mechanika Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA , tel (026)

4 Fyzika - zákony zachování Energie : Celková energie soustavy, tedy součet všech jejích druhů se při všech dějích a interakcích zachovává. Hybnosti : Nepůsobí-li vnější síly, zachovává se při všech dějích a interakcích vektor celkové hybnosti soustavy. Momentu hybnosti Nepůsobí-li momenty vnějších sil, zachovává se při všech dějích a interakcích vektor celkového momentu hybnosti soustavy. Náboje Elektrický náboj soustavy se zachovává při všech dějích a interakcích.

Hlavní body Základní kinematické a dynamické veličiny a jejich vztahy Fyzikální veličiny, rozměr a jednotky Kinematika a dynamika hmotného bodu Základní dynamické veličiny. Newtonovy zákony. Gravitační pole, potenciální energie Práce a zachování celkové energie

Úvod do fyziky I Fyzika je nejzákladnější věda, která se se zabývá studiem struktury a chováním hmoty = to, co existuje kolem nás, od mikroskopických po makroskopické rozměry. Richard Feynman “fyzika je způsob myšlení“: Příroda hraje šachy a my se snažíme odkoukat pravidla hry. Přímo pozorujeme tahy figurkami, ale důvod, proč se určitým způsobem táhne znamená vyšší stupeň poznání.

Úvod do fyziky II Fyzika je věda, ne proto, že je obtížná, ale: Je založená na interpretaci experimentů. Každá její teorie je platná, dokud souhlasí s experimentem. Experiment je nejvyšší autorita. (dočasné výjimky: Newton, Einstein…). Na rozdíl od života, politiky a pavěd výjimka nepotvrzuje pravidlo, ale bourá jej a vynucuje si vytvoření pravidel nových.

Dělení fyziky I Fyzika je velmi rozsáhlá, ani fyzikové ji neznají celou. Hledisek dělení může být mnoho: Klasická: Mechanika – kinematika, dynamika, hydrostatika, hydrodynamika, termika a termodynamika. Geometrická optika, akustika. Elektřina a magnetismus. Astronomie. Moderní (zahrnuje nové obory i rozvíjí klasickou): Teorie relativity, kvantová, jaderná, elementárních částic, kondenzovaný stav, astrofyzika a kosmologie.

*Dělení fyziky II Experimentální: Návrh, provádění a vyhodnocování měření. Teoretická: Snaží se vysvětlit experiment a mechanismus fungování přírody. Existuje ale i sama o sobě. Tím má blízko k umění a literatuře, ale její užitečnost se prověřuje experimentem. Některé současné kosmologické nebo kvantové teorie se samy deklarují jako neověřitelné!?

Dělení fyziky III V přednášce položíme základy většině důležitých klasických oblastí a uskutečníme exkursi do fyziky moderní. Hypotéza – nápad, jak vysvětlit určitý jev. Model – určitý jev formuluje matematicky. Teorie – širší a detailnější vysvětlení zpravidla skupiny jevů na společném základě. Zákon – stručný, ale velmi obecný předpis, jak se příroda chová (preskriptivní vs. deskriptivní) Fyzika se buduje od hypotéz k zákonům. Tuto cestu je užitečné projít i při snaze ji hlouběji porozumět.

Fyzikální rozměry a jednotky I Každá fyzikální veličina má určitý rozměr (například délku; čas; rychlost, hmotnost) a měří se v jistých jednotkách (metr, míle, světelný rok; sekunda, rok; uzel, km/h; gram). V r byl ve Francii uzákoněn metrický systém a z něj se vyvinula soustava SI. Proč: Velké množství různých jednotek brzdí poznání! Např. archeologové mají problémy s jednotkami, které byly dávno zapomenuty.

Fyzikální rozměry a jednotky II SI – Système International d’Unités. Soustava je založená na 7 základních a 22 odvozených jednotkách a jejich desetinném dělení a násobení. Nemetrické: USA, Libérie, Barma. Ale paradoxně tzv. imperiální míry jsou od roku 1893 definovány pomocí metrického systému! 1” (palec) = 2.54 cm, 1 NM = 1852 m (přesně) Je nutné umět jednotky spolehlivě převádět!převádět

Základní jednotky SI metr m– délka kilogram kg– hmotnost sekunda s– čas ampér A– elektrický proud kelvin K– teplota mol mol– látkové množství kandela cd– svítivost

*Základní jednotky - metr Původně kvadrantu Země. Kvůli nepraktičnosti byl vytvořen etalon – mezinárodní metr. Na rozdíl od “středověkých loktů” je ale definován na základě reprodukovatelné hodnoty. Nyní definován pomocí rychlosti světla ve vakuu: c = ± 1 ms -1

*Základní jednotky - kilogram Původně hmotnost 1 l vody za určitých podmínek. Nyní stále ještě etalon – mezinárodní kilogram. To je trochu paradox s tím, “že vážení je nejpřesnější měření”.

*Základní jednotky - sekunda Původně 1/86400 solárního dne Nyní pomocí kmitočtu spektrální čáry 133 Cs: Hz

*Základní jednotky - ampér Pomocí silových účinků dvou rovnoběžných (nekonečně dlouhých) vodičů protékaných proudem. Jsou-li vzdáleny 1 m od sebe a protéká-li jimi (souhlasně) proud 1 A, přitahují se silou 0.2  N na 1 m délky.

*Základní jednotky - kelvin Stupeň stejně velký jako stupeň Celsiův, tedy interval tuhnutí a varu vody za normálních podmínek se dělí na 100 stupňů. T[K] = T[°C] K definici stačí jediný bod, používá se trojný bod vody K

Základní jednotky - mol Počet atomů v kg uhlíku 12 C. Počet rovný N A = částic. (Amedeo Avogadro ) Dohodnuté číslo, které umožňuje převod z exotických jednotek mikrosvěta do pro nás běžných jednotek makroskopických.

Předpony násobných jednotek I kilo10 3 k mega10 6 M giga10 9 G tera10 12 T peta10 15 P exa10 18 E

Předpony násobných jednotek II mili10 -3 m mikro10 -6  nano10 -9 n piko p femto f atto a

*Příklad I – délka poloměr neutronu 10 –15 m poloměr atomu10 –10 m = 1 Å délka viru10 –7 m tloušťka papíru10 –4 m prst10 –2 m fotbalové hřistě10 2 m výška Mt. Everestu10 4 m poloměr Země10 7 m vzdálenost Země-Slunce m vzdálenost Země-  Centauri10 16 m nejbližší galaxie10 22 m nejvzdálenější viditelná galaxie10 26 m

*Příklad II – čas doba života některých částic10 –23 s poločas rozpadu 10 –22 – s průlet světla atomem10 –19 s průlet světla papírem10 –13 s tlukot srdce1s den10 4 s rok 10 7 s lidský život 10 9 s známé dějiny lidstva10 12 s život na Zemi s stáří vesmíru s

*Příklad III – hmotnost elektron kg proton, neutron kg molekula DNA10 –17 kg bakterie10 –15 kg komár10 -5 kg člověk10 2 kg loď10 8 kg Země kg Slunce kg galaxie10 41 kg

*Goniometrické funkce Úhel vyjadřujeme ve stupních nebo radiánech. cos(  ) … první souřadnice průsečíku orientovaného úhlu  s jednotkovou kružnicí cos je funkce sudá: cos(-  ) = cos(  ) sin(  ) … druhá souřadnice téhož průsečíku sin je funkce lichá: sin(-  ) = - sin(  ) tg(  ) = sin(  ) / cos(  ) cotg(  ) = cos(  ) / sin(  ) sec(  )=1/cos(  ); cosec(  )=1/sin(  ) sin 2 (  ) + cos 2 (  ) = 1

**Součtové vzorce I sin(  +  ) = sin(  )cos(  ) + sin(  )cos(  ) sin(  -  ) = sin(  )cos(  ) – sin(  )cos(  ) cos(  +  ) = cos(  )cos(  ) – sin(  )sin(  ) cos(  -  ) = cos(  )cos(  ) + sin(  )sin(  ) sin(2  ) = 2 sin(  )cos(  ) cos(2  ) = cos 2 (  ) – sin 2 (  ) sin 2 (  /2) = [1 – cos(  )]/2 cos 2 (  /2) = [1 + cos(  )]/2

**Součtové vzorce II sin(  )+sin(  ) = 2sin((  +  )/2)cos((  -  )/2) sin(  )–sin(  ) = 2cos((  +  )/2)sin((  -  )/2) cos(  )+cos(  ) = 2cos((  +  )/2)cos((  -  )/2) cos(  )–cos(  ) = –2sin((  +  )/2)sin((  -  )/2) Eulerův vzorec: exp(±i  ) = cos(  ) ± i sin(  ) i 2 = –1 … imaginární jednotka Pomocí Eulerova vzorce lze součtové vzorce snadno dokázat.dokázat

**Rotace souřadnic Souřadné soustavy mají společný počátek a čárkovaná je pootočená o úhel +  okolo osy z : x’ = x cos(  ) + y sin(  ) y’ = – x sin(  ) + y cos(  ) Zpětná transformace  -> - , x’-> x, y’-> y x = x’ cos(  ) – y’ sin(  ) y = x’ sin(  ) + y’ cos(  )

**Transformace souřadnic I Řešení problému se podstatně zjednoduší, zvolíme-li vhodné souřadnice – například souřadnice polárnípolární Souřadné soustavy mají společný počátek Bod v kartézské pravoúhlé s. s. je dán dvojicí [x,y] a element plochy dS = dx*dy Bod v polárních souřadnicích je dán dvojicí [r,  ] a element plochy dS = dr*rd  ; x = r cos(  ); y = r sin(  )

*Sinova a cosinova věta mějme libovolný trojúhelník, v němž strana a je protilehlá úhlu , strana b ~  a strana c ~  sinova věta : a / sin(  ) = b / sin(  ) = c / sin(  ) cosinova věta :C c 2 = (a – b cos(  )) 2 + (b sin(  )) 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos(  )

!Vektorový počet I skalární veličinu lze vyjádřit číslem teplota, čas, energie vektorová veličina má velikost a směr rychlost, hybnost, síla, moment hybnosti = (x 1, x 2, x 3 ) = =(cos(  1 ), cos(  2 ), cos(  3 )) jednotkový vektor x i složky vektoru = r = (x x x …) 1/2 … velikost vektoru cos(  i ) … směrové cosiny - jsou navzájem závislé!

!Vektorový počet II nulový vektor... nulová délka, libovolný směr násobení skalárem k = (kx 1, kx 2, kx 3 ) = k opačný vektor k = -1 … změna orientace součet vektorů = + … c i = a i + b i rozdíl vektorů = – … d i = a i – b i úhlopříčky rovnoběžníku, který vektory tvoří: c 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos(  ) d 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos(  ) Skalární a vektorový součin Skalárnívektorový

Kinematika a dynamika hmotného bodu Kinematika se zabývá pouze popisem pohybu a nepátrá po příčinách jeho změn. Dynamika se zabývá pohybem včetně příčin změn a zachování veličin. Nejprve se zabýváme klasickou mechanikou, kde: Studované objekty nejsou mikroskopické a Pohybují se rychlostmi mnohem menšími než c. Pracujeme s hmotným bodem má: nenulovou hmotnost zanedbatelné geometrické rozměry vzhledem k rozměrům problému. (Jde hlavně o zanedbání rotací, Kallysto, kulečníková koule, moucha, můra ).

Kinematika I Kinematikou se zabýváme proto, že zde lze na známých a snadno pochopitelných představách a veličinách ilustrovat postupy řešení problémů ve složitějších oblastech. Například: Prvním krokem řešení problému je zjištění jeho skutečného rozměru a zavedení příslušných souřadnic. Obdobný aparát jako je používán u přímočarého pohybu, který lze popsat jednorozměrně, lze aplikovat při popisu časového vývoje všech skalárních veličin, např. počet obyvatel města, koncentrace alkoholu při kvašení apod.

Kinematika II Poloha hmotného bodu je určena polohovým vektorem = (x 1, x 2, x 3 ). Průměrná rychlost v = s/t = celková dráha/čas. Obecně se v průběhu času mění velikost i směr. Okamžitá rychlost = d /dt. (v i = dx i /dt). V daném okamžiku má vždy směr tečný k dráze. Zrychlení = d /dt = d 2 /dt 2. (a i = d 2 x i /dt 2 ). Je to “rychlost rychlosti”. Směr vůči vektoru rychlosti může být obecně různý, podle okolností.

Kinematika III Vzhledem ke směru rychlosti je účelné rozložit zrychlení na tečné a normálové. Tečné zrychlení mění pouze velikost rychlosti, zatímco zrychlení normálové mění jenom její směr. Ve vlastním zájmu si zopakujte základy vektorového počtu: vektor, jeho složky a fyzikální význam hlavních operací, násobení konstantou, součtu, rozdílu, skalárního a vektorového součinu.

Kinematika IV Má-li být hmotný bod v určitém místě vychýlen z přímočaré trajektorie, musí zde existovat nenulové normálové zrychlení směřující do okamžitého středu křivosti – dostředivé zrychlení. Zatáčky je zvykem popisovat jejich poloměrem křivosti: Čím je tento poloměr menší, tím je zatáčka ostřejší a tím větší musí být normálové zrychlení, aby bylo příslušného zakřivení dráhy dosaženo. Je-li poloměr křivosti zatáčky nekonečný, jedná se o pohyb přímočarý.

!Pohyb přímočarý rovnoměrný Souřadnou soustavu zavádíme tak, aby se jedna osa (např. x) ztotožňovala se směrem pohybu, potom vystačíme se skalární rychlostí v, popř. se skalárním zrychlením a. Pozůstatkem vektorové povahy těchto veličin je jejich orientace. Pohyb rovnoměrný přímočarý v = dx/dt => x(t) = x 0 + v t, kde x 0 ≡ x(t=0) je integrační konstanta - počáteční podmínka: Abychom mohli popsat, kde je bod v libovolném čase, musíme znát, kde byl v jednom určitém čase, obvykle počátečním.

!Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený I Přímočaré pohyby mohou mít i zrychlení vyššího řádu, ale často je nenulové jen zry. řádu prvního: Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený a = dv/dt => v(t) = v 0 + a t, kde v 0 ≡ x(t=0) je druhá integrační konstanta x(t) = x 0 + v 0 t + a t 2 /2. Po druhé integraci přibyla další integrační konstanta. Počáteční podmínky jsou určeny dvěma nezávislými parametry x 0 a v 0. Na počátečních podmínkách záleží, zda se jedná o pohyb zrychlený nebo o pohyb zpomalený!

Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený II Závisí to na zrychlení a i na počáteční rychlosti v 0 ! Je-li v 0 > 0 znamená a > 0 pohyb zrychlený; a < 0 pohyb zpomalený Ale je-li v 0 < 0 je tomu naopak (!) a > 0 pohyb zpomalený; a < 0 pohyb zrychlený Tedy, mají-li zrychlení a počáteční rychlost stejnou orientaci, jedná se o pohyb zrychlený, mají-li orientaci opačnou, je pohyb zpomalený.

Pohyb křivočarý Normálová složka zrychlení musí být obecně alespoň někde nenulová a poloměr křivosti  se může měnit. Speciální případ je pohyb po kružnici. Odehrává se v jedné rovině a poloměr křivosti je konstantní  = r.

!Časová závislost veličin nemechanických Jedním z důvodů, proč se vyučuje již celkem probádaná kinematika jsou analogie kinematických a nemechanických veličin. Porozumění časových průběhů takových veličin je značně usnadněno díky tomu, že vzhledem ke každodenní zkušenosti je chápání mechanických veličin je relativně nejsnadnější. Příkladem může být radioaktivní rozpad.

!Pohyb po kružnici I Pohyb rovnoměrný je konstantní a zrychlení směřuje neustále do středu otáčení je to tedy zrychlení dostředivé. Při zjednodušeném skalárním popisu ztotožníme osu otáčení s jednou z os souřadné soustavy (z). Hmotný bod prochází pravidelně kruhovou dráhu s = 2  r rychlostí s konstantní velikostí v. Doba jedné otáčky nebo-li perioda je T [s]. Počet otáček za jednotku času f = 1/T se nazývá frekvence f [s -1  Hz].

Pohyb po kružnici II Při popisu pohybů bodů v konstantní vzdálenosti od středu otáčení je výhodné požívat úhlové veličiny : ds = r d  v = ds/dt = r d  /dt = r  = 2  r / T  = 2  f = 2  / T Takto se zavádí úhlová rychlost  [s -1 ], která je v tomto případě konstantní pro všechny body tělesa vyjma bodů na ose.

Pohyb po kružnici III Pro úhel nebo dráhu v jistém čase je po integraci:  (t) =  0 +  t s(t) = s 0 + r  t  0 nebo s 0 jsou integrační konstanty opět dané počátečními podmínkami jako u přímočarého pohybu. Skutečná dráha a rychlost mohou záviset na čase: s(t) = r  (t) v(t) = r  (t)

Pohyb po kružnici IV Při rovnoměrném pohybu po kružnici : Jsou průměty určitého bodu do kolmých os harmonické kmity. Tedy souřadnice hmotného bodu jsou : x(t)=cos  (t) = cos(  0 +  t) y(t)=sin  (t) = sin(  0 +  t)  0 se zde nazývá počáteční fáze Dostředivé zrychlení má konstantní velikost: Dostředivé zrychlení

Pohyb po kružnici V Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici. Hmotný bod se pohybuje s konstantním tečným a t nebo úhlovým zrychlením  :  = d  /dt a t = r  Po integraci  (t) =  0 +  t  (t) =  0 +  0 t +  t 2 /2

Pohyb po kružnici VI Zda se jedná o pohyb rovnoměrně zrychlený nebo zpomalený, opět závisí na počátečních podmínkách, konkrétně počáteční úhlové rychlosti  0, která určuje smysl počáteční rotace : Je-li  0 > 0 a  > 0 jde o pohyb zrychlený. Při  < 0 jde o pohyb zpomalený. Je-li  0 < 0 je tomu samozřejmě naopak.

**Pohyb po kružnici VII Protože rovina kruhové dráhy může mít různou polohu v prostoru, je nutné pro úplný popis pohybu použít vektorů Orientovaný úhel má směr normály ke kružnici, orientované tak, že je úhel vidět jako kladný nebo-li pravotočivý(!). Obdobně je definován i směr a orientace úhlové rychlosti a úhlového zrychlení.

*Pohyb po kružnici VIII Jedná-li se o pohyb rovnoměrně zrychlený je orientace vektorů stejná v případě pohybu zpomaleného je jejich orientace opačná. Vektorové vyjádření rychlosti a zrychlení:

Úvod do dynamiky Mechanika by byla neúplná, kdyby se nezabývala, důvody proč se tělesa dávají do pohybu, zrychlují, zpomalují, zakřivuje se jejich dráha nebo co se děje při jejich srážce. Pohybují-li se tělesa s nenulovým zrychlením, musí na ně působit nenulová síla, obecně výslednice působících sil. K udržení rovnoměrného přímočarého pohybu síly tedy třeba není. Dojít k tomuto jednoduchému závěru bylo velice obtížné a zdlouhavé, protože síly, jako například tření, nemusí být patrné. Navíc existují dalekodosahové síly, působící na dálku, tedy bez přímého kontaktu ovlivňujících se těles.

!Hybnost Pohybový stav hmotného bodu se popisuje vektorem hybnosti definovaným jako: Význam hybnosti spočívá ve skutečnosti, že se zachovává, když je výslednice sil působících na hmotný bod nulová a mění se, když nulová není. Taková situace může nastat v důsledku interakce s jinými hmotnými body nebo se silovými poli.

!Newtonovy zákony Isaac Newton ( ) geniálně shrnul poznatky klasické dynamiky do tří zákonů: Zákonu setrvačnosti Zákonu síly Zákonu akce a reakce Upřesnění těchto zákonů je nutné až za hranicemi klasické mechaniky, při vysokých rychlostech a v mikrosvětě.

!Zákon setrvačnosti Nepůsobí-li na hmotný bod síla, pohybuje se rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu. Přesně: Je-li síla působící na hmotný bod nebo některá její složka nulová, je jeho hybnost nebo její odpovídající složka konstantní. Silou se zde a dále obecně rozumí výslednice všech působících sil. V této obecné formulaci jsou zahrnuty i speciální pohyby, kde se mění hmotnost těles, jako raketový nebo relativistický.

!Zákon síly I Síla působící na hmotný bod je rovna časové změně jeho hybnosti. Často, ale ne vždy (!) je splněn předpoklad, že hmotnost zůstává konstantní. Potom platí formulace jednodušší : Jednotkou síly je 1 newton : N = kg m s -2

!Zákon síly II Předchozí vztahy jsou vektorové. Platí tedy i v příslušných složkách. Například: Druhá složka síly je rovna časové změně druhé složky hybnosti. Na žádné jiné složce však nezávisí: Je-li třetí složka síly nulová, je třetí složka hybnosti konstantní:

!Zákon akce a reakce Působí-li těleso 1 na těleso 2 silou, působí i těleso 2 na těleso 1 silou. Obě síly jsou stejně velké, ale opačně orientované:. Každá působí na jiné těleso a proto se tyto síly spolu nedají obecně složit. Složit se dají jen když je mezi tělesy tzv. vazba, Tedy jsou spojena. Potom je účinek sil nulový.

!Časový účinek síly - impuls Za určitých okolností víme, že konstantní síla působí na jisté těleso po určitou dobu, potom integrací 2. Newtonova dostáváme přímo změnu jeho hybnosti : Změna hybnosti se tedy rovná impulsu síly. Je tedy důležité, jak dlouho síla působí. Vztah platí samozřejmě opět i ve složkách.

!Dráhový účinek síly – práce I Za určitých okolností víme, že konstantní síla působí na jisté těleso po určité dráze, potom známe jakou práci síla vykonala a tím také, jak se změnila celková energie tohoto tělesa. Proti předchozímu případu konstantní doby je nyní situace komplikovaná tím, že dráha může být 3D a síla může mít sice konstantní velikost, ale měnit svůj směr. Takovou dráhu dělíme na potřebný počet rovných úseků a řešíme příslušný počet jednorozměrných případů.

*Dráhový účinek síly – práce II Předpokládejme konstantní sílu, působící na volnou částici konstantní hmotnosti v jednom směru (po přímce = ose x), v němž se částice pohybuje. V důsledku působení síly se stav částice změní (t 1, x 1, v 1 ) -> (t 2, x 2, v 2 ). * Použijeme vztahu pro souřadnici v čase t při rovnoměrně zrychleném pohybu :

*Dráhový účinek síly - práce III Pro čas t 2 tedy platí: Nyní dosadíme : a = F/m (t 2 – t 1 ) = (v 2 – v 1 )/a = (v 2 – v 1 )m/F Po úpravě :

!Dráhový účinek síly – práce IV  A = F  x = v 2 2 m/2 – v 2 1 m/2 =  E k Tedy práce, kterou vykoná konstantní F síla na dráze  x je rovna změně kinetické neboli pohybové energie  E k = mv 2 /2 Obě veličiny mají rozměr energie a v SI jednotku 1 joule : J = Nm = kg m 2 s -2 Obecně síla nemusí působit ve směru pohybu a práce jej její průmět do směru pohybu, tedy skalární součin :skalární součin

**Dráhový účinek síly V Uvažujme opět jednorozměrný případ působení konstantní síly na kompaktní hmotný bod. V obecnějším případě bychom ztotožnili osu x se směrem posunu a uvažovali pouze složku síly do tohoto směru. Použili jsme: Lze ukázat:

!Výkon působící síly Obvykle je také důležité i za jakou dobu došlo k vykonání určité práce. To charakterizujeme výkonem, který chápeme jako ‘rychlost konání práce’ a definujeme analogicky jako rychlost ‘klasickou’ : Průměrný výkon : =  A/  t Okamžitý výkon : P = dA/dt Jednotkou výkonu v SI je 1 watt W = Js -1

*Gravitační síla a pole Gravitační pole, které nás obklopuje, je názorným příkladem dalekodosahového působení. Jeho prostřednictvím na sebe hmotné body vzájemně působí, aniž by byly v přímém kontaktu. Na základě gravitačního působení funguje nebeská mechanika. Gravitační zákon vznikl zobecněním dlouhodobých astronomických pozorování. Tyto představy se mění až v rámci obecné teorie relativity, která chápe gravitaci jako důsledek existence neinerciální vztažné soustavy.

*Potenciální energie I Gravitační silou na sebe působí všechna hmotná tělesa. Ale například na Zemi a v těsné blízkosti jejího povrchu, dominuje právě gravitační přitažlivost Země. Na těleso o hmotnosti m působí svisle dolu neboli směrem do středu Země tíhová síla G = mg. Tíhové zrychlení g je přitom pro všechna tělesa stejné.

!Potenciální energie II Vykonáme-li na tělese jistou práci, abychom jej přesunuli do větší výšky, zvýšíme jeho potenciální energii právě o tuto práci. Potenciální energii lze chápat jako 'zakonzervovanou' energii, kterou lze veškerou později využít. Samovolně probíhají procesy pouze ve směru klesající potenciální energie. Gravitační pole přitom vykonává práci. Ta může být dodána jinému tělesu (závaží u hodin) nebo vede k přeměně na jiný typ energie, například kinetické při volném pádu.

!Zákon zachování energie Zatím nebyla zpochybněna skutečnost: Má-li izolovaný systém určitou energii, která do něj byla například dodána jako práce, zůstává celkové množství této energie za všech okolností zachováno. Tato energie ale může měnit své formy a nemusí se za každých okolností zachovat jako energie mechanická. Zastaví-li se za jistou dobu roztočený setrvačník, neznamená to, že jeho energie byla zničena. Pouze se energie mechanická změnila na tepelnou a odvedla v této formě. I to ale může znamenat z hlediska využití ztrátu.

Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^^

Dostředivé zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici Průvodič určitého bodu oběhne za jednu periodu T kružnici o poloměru r. Když umístíme počátky všech vektorů rychlosti do jednoho bodu, oběhnou koncové body kružnici o poloměru v. Můžeme tedy uvažovat jednoduchou analogii: ^

Dva elektrony 1 m od sebe Jsou elektrostaticky odpuzovány, zato naopak gravitačně přitahovány. Která síla bude větší? ^

Jeden elektron a proton m od sebe To odpovídá jejich průměrné vzdálenosti v atomu vodíku. Takovou sílu je principiálně možné změřit makroskopicky! Značná velikost sil je tajemství, proč hmota drží pohromadě. ^

Oddělme elektrony a protony z 1 g vodíku a dejme je na póly Země. 1 g je 1 gram-molekula H, takže máme N A = obou typů částic. ^ To je tíha naloženého nákladního vagónu.

Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj? Přebytečný náboj : ^ Celkový a přebytečný /celkový náboj :

Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj? Přebytečný náboj : Celkový a přebytečný /celkový náboj : ^

Gradient I Je vektor sestrojený z diferenciálů funkce f ve směrech jednotlivých souřadných os. Je používán k odhadu změny funkce f provedeme-li elementární posun.

Gradient II Změna je druhý člen. Je to skalární součin. K největší změně dochází, je-li elementární posun paralelní ke směru gradientu. Jinými slovy má gradient směr největší změny funkce f ! ^

Zrychlení elektronu Jaké je zrychlení elektronu v elektrickém poli E = V/m ? a = E q/m = = ms -2 [J/Cm C/kg = N/kg = m/s 2 ] Pro srovnání: Ferrari Maranello za cca 0.5 MEur dosáhne 100 km/h za 3.6 s, tedy a = 7.5 ms -2 ^

Relativistické efekty při urychlování elektronu Relativistické efekty se začínají výrazněji projevovat, dosáhne-li rychlost c/10= ms -2. Jaké urychlovací napětí je potřebné k dosažení této rychlosti ? Ze zachování energie : mv 2 /2 = q U U=mv 2 /2e= / = 2.5 kV ! ^

Převod jednotek V obtížnějších případech je převod lineární: T(K) = T(°C) T(°F) = T(°C)·9/ ^ Obvykle jsou si jednotky přímo úměrné: 1u = kg v(m/s) = v(km/h)/3.6

Vektorový součin I Ať Definice (ve složkách) Velikost vektoru Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory.

Vektorový součin II Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém.  ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)} ^

Plocha kruhu v polárních s. ^ Zápis obou dvojných integrálů je stejně snadný. Ale výpočet prvního je ve skutečnosti velmi obtížný pro závislost dx.dy na souřadnicích. Druhý dvojný integrál lze napsat jako součin dvou integrálů jednorozměrných a řešit přímočaře:

Příklad důkazu součtových vzorců Podle Eulerova vzorce například platí: Použijeme-li vlastnost exponenciální funkce a znovu Eulerův vzorec platí současně: Z rovnosti komplexních čísel, tedy reálných i imaginárních složek pravých stran vyplývá: ^