Vzdálenost rovnoběžných rovin Stereometrie Vzdálenost rovnoběžných rovin VY_32_INOVACE_M3r0120 Mgr. Jakub Němec

Vzdálenost rovnoběžných rovin Připomeňme si, proč se nebavíme o vzdálenosti různoběžných a totožných rovin – vzdálenost mezi dvěma útvary měříme vždy na kolmici, což u různoběžných rovin není možné (velikost určená různými kolmicemi má různé hodnoty) a totožné roviny mají vždy vzdálenost nulovou. Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin odpovídá vzdálenosti libovolného bodu jedné roviny od roviny druhé. Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin odpovídá vzdálenosti bodů, které leží na průsečnicích libovolné kolmé roviny s danými rovinami. Obdobně můžeme říci, že vzdálenost přímky od rovnoběžné roviny je určena vzdáleností libovolného bodu přímky od roviny.

V krychli ABCDEFGH o hraně 9 cm určete vzdálenost rovin BCG a KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AB, EF a GH.

Abychom mohli hledat vzdálenost rovin, musíme nalézt rovinu, která bude k oběma daným rovinám kolmá (vzhledem k vlastnostem rovnoběžných rovin je postačující, aby byla kolmá pouze k jedné z nich, a ke druhé bude kolmá také). V našem příkladu je zřejmé, že rovina přední stěny je kolmá k daným rovinám.

V nalezené rovině můžeme bez větších problémů určit vzdálenost (jak sami vidíte, máme nekonečně mnoho možností, jak vzdálenost najít).

Zde je vykreslena rovina ABF s průsečnicemi zadaných rovin.

Můžeme zvolit libovolnou kolmici k průsečnicím. Průsečíky kolmice s průsečnicemi vymezí vzdálenost. V tomto příkladu je jasné, že vzdálenost je polovina hrany krychle, tedy v = 4,5 cm.

V krychli ABCDEFGH o hraně 8 cm určete vzdálenost mezi rovinami ACH a BEG.

Stejně jako v předchozím příkladu musíme nalézt kolmou rovinu, v níž nalezneme průsečnice, jejichž vzdálenost budeme určovat.

V lekci o vzdálenosti bodu a roviny jsme řešili příklad, v němž jsme hledali vzdálenost bodu F od roviny BEG, což je vzdálenost y na vedlejším obrázku. V rámci obecného výpočtu jsme zjistili, že tato vzdálenost se rovná 𝑦= 𝑎× 3 3 . Stejná vzdálenost tedy musí být i mezi bodem D a rovinou ACH (označena jako x). Pokud 𝑥+𝑦= 2𝑎× 3 3 , tak velikost v musí být 𝑣= 𝑎× 3 3 , tedy 𝑣= 8× 3 3 . Příklad lze samozřejmě řešit i početně.

Úkol závěrem 1) V krychli ABCDEFGH o hraně 14 cm urči vzdálenost rovin KLM a XYZ, kde body K, L, M, X, Y a Z jsou po řadě středy hran AB, BC, EF, AD, CD a EH. 2) V krychli ABCDEFGH o hraně 9 cm urči vzdálenost rovin KLM a XYZ, kde body K, L, M, X, Y a Z jsou po řadě středy hran AB, BC, BF, AD, CD a DH.

Zdroje Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.