Polohové úlohy 2 Mgr. Martin Krajíc matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu: Moderní škola

Polohové úlohy vzájemná poloha dvou rovin v prostoru: různoběžné … průsečíkem je přímka (průsečnice) rovnoběžné – totožné … všechny body společné různé … žádný společný bod

Polohové úlohy dány roviny ,  pomocí směrových vektorů určíme jejich vzájemnou polohu: a) rovnoběžné: vektor n  je násobkem vektoru n  n  = k.n  i. totožné: číslo d  = k. d  ii. totožné: číslo d  ≠ k. d  b) různoběžné: vektor n  není násobkem vektoru n  n  ≠ k.n  Průsečík: ze dvou obecných rovnic sestavíme soustavu dvou rovnic o třech neznámých, vyřešením soustavy vznikne rovnice přímky (průsečnice)

Polohové úlohy Př: Určete vzájemnou polohu rovin , , u různoběžných určete rovnici průsečnice. a)  : x – 3y + 2z – 3 = 0 n  = (1, -3, 2)  : -3x + 9y – 6z + 1 = 0n  = (-3, 9, -6) ověříme, zda vektor n  je násobkem vektoru n  : n  = k.n  (1, -3, 2) = k.(-3, 9, -6) (1, -3, 2) = (-3k, 9k, -6k) 1 = -3k -3 = 9k 2 = -6k k = -⅓ k = -⅓ k = -⅓ n  = k.n  Ověříme, jestli je číslo d  k-násobkem čísla d  : d  = k.d  -3 = -⅓ ≠ -⅓ rovnoběžné různé

Polohové úlohy Př: Určete vzájemnou polohu rovin , , u různoběžných určete rovnici průsečnice. b)  : x – 3y + 2z – 3 = 0 n  = (1, -3, 2)  : -3x + 9y – 6z + 9 = 0n  = (-3, 9, -6) ověříme, zda vektor n  je násobkem vektoru n  : n  = k.n  (1, -3, 2) = k.(-3, 9, -6) (1, -3, 2) = (-3k, 9k, -6k) 1 = -3k -3 = 9k 2 = -6k k = -⅓ k = -⅓ k = -⅓ n  = k.n  Ověříme, jestli je číslo d  k-násobkem čísla d  : d  = k.d  -3 = -⅓ ≠ -3 rovnoběžné totožné

Polohové úlohy Př: Určete vzájemnou polohu rovin , , u různoběžných určete rovnici průsečnice. c)  : x – 3y + 2z – 3 = 0 n  = (1, -3, 2)  : 2x + 4y – z + 2 = 0n  = (2, 4, -1) ověříme, zda vektor n  je násobkem vektoru n  : n  = k.n  (1, -3, 2) = k.(2, 4, -1) (1, -3, 2) = (2k, 4k, -k) 1 = 2k -3 = 4k 2 = -k k = 0,5 k = -¾ k = -2 n  ≠ k.n 

Polohové úlohy určíme rovnici průsečnice:  : x – 3y + 2z – 3 = 0  : 2x + 4y – z + 2 = 0zvolíme z = t  : x – 3y + 2t – 3 = 0/.(-2)  : 2x + 4y – t + 2 = 0  : -2x + 6y - 4t + 6 = 0  : 2x + 4y – t + 2 = 0 10y – 5t + 8 = 0 y = -0,8 + 0,5t průsečnice má rovnici: x = 0,6 – 0,5ty = -0,8 + 0,5tz = t(t  R) dopočteme x: x – 3y + 2t – 3 = 0 x – 3(-0,8 + 0,5t) + 2t – 3 = 0 x + 2,4 – 1,5t + 2t – 3 = 0 x = 0,6 – 0,5t

Polohové úlohy vzájemná poloha přímky a roviny v prostoru různoběžné … průsečíkem je bod rovnoběžné – totožné … všechny body společné různé … žádný společný bod

Polohové úlohy dány rovina  (n), a přímka p(P, u) pomocí směrového a normálového vektoru určíme jejich vzájemnou polohu: a) rovnoběžné: skalární součin vektorů je roven nule u.n = 0 i. totožné: bod P   ii. totožné: bod P   b) různoběžné: skalární součin vektorů není nulový u.n ≠ 0 Průsečík: z parametrického vyjádření přímky p dosadíme za x,y,z do obecné rovnice roviny, vypočteme parametr t, dosazením zpět do parametrického vyjádření získáme souřadnice průsečíku

Polohové úlohy Př: Urči vzájemnou polohu roviny  a přímky p. a)  : 3x + 2y – z + 2 = 0n = (3, 2, -1) p: x = 2 + t, y = -1 + t, z = 3 + 5tu = (1, 1, 5), P [2, -1, 3] vypočteme skalární součin vektorů u, n: u. n = (-1).5 = 0 rovnoběžné ověříme, zda bod P leží v rovině  : 3x + 2y – z + 2 = (-1) – = 0 3 ≠ 0 rovnoběžné různé

Polohové úlohy b)  : 3x + 2y – z + 2 = 0n = (3, 2, -1) p: x = 2 + t, y = -1 + t, z = 6 + 5tu = (1, 1, 5), P [2, -1, 6] vypočteme skalární součin vektorů u, n: u. n = (-1).5 = 0 rovnoběžné ověříme, zda bod P leží v rovině  : 3x + 2y – z + 2 = (-1) – = 0 0 = 0 rovnoběžné totožné

Polohové úlohy c)  : 3x + 2y – z + 2 = 0n = (3, 2, -1) p: x = 1 - 2t, y = 3 + t, z = 4 - 3tu = (-2, 1, -3), P [1, 3, 4] vypočteme skalární součin vektorů u, n: u. n = 3.(-2) (-1).(-3) = -1 různoběžné vypočteme souřadnice průsečíku: 3x + 2y – z + 2 = 0 3(1 – 2t) + 2(3 + t) – (4 – 3t) + 2 = 0 t = 7 dosadíme t = 7 do parametrického vyjádření přímky: x = 1 – 2.7 = -13, y = = 10, z = 4 – 3.7 = -17 průsečík má souřadnice X[-13, 10, -17]

Polohové úlohy – samostatná práce Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení). Eduard Bass: „Ať už říkají cokoli, ve skutečnosti mají žáci i učitelé školu rádi: jsou …… přestávky.“ Př: Určete vzájemnou polohu rovin nebo roviny a přímky: 1.  : 2x – 3y + z – 4 = 0,  : 4x + y – 5z + 3 = 0 a) T = různoběžnéb) J = rovnoběžné různé 2.  : 2x + 3y – 4z + 2 = 0,  : -x – 1,5y + 2z – 1 = 0 a) E = různoběžnéb) A = rovnoběžné totožné 3.  : -x + 2y + z – 1 = 0, p: x = 1 – t, y = t, z = 2 – 3t a) N = různoběžnéb) M = přímka leží v rovině

Polohové úlohy – správné řešení Eduard Bass: „Ať už říkají cokoli, ve skutečnosti mají žáci i učitelé školu rádi: jsou ……… přestávky.“ TAM

Polohové úlohy – použitá literatura Použitá literatura: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. [online]. [cit ].