Vzájemná poloha tří rovin Stereometrie Vzájemná poloha tří rovin VY_32_INOVACE_M3r0107 Mgr. Jakub Němec

Vzájemná poloha tří rovin V této lekci si ukážeme, jaké vzájemné polohy mohou mít tři roviny. Těchto poloh je pět: Tři roviny jsou po dvou rovnoběžné – nemají žádný společný bod. Dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí je k nim různoběžná – existují dvě rovnoběžné přímky (průsečnice). Tři roviny jsou po dvou různoběžné a jejich průsečnice splynou v jednu přímku – tzv. svazek rovin. Tři roviny jsou po dvou různoběžné a mají tři různé rovnoběžné průsečnice. Tři roviny jsou po dvou různoběžné a jejich různé průsečnice se protnou v jednom bodě – tzv. trs rovin. V následujících snímcích si každou vzájemnou polohu ukážeme.

Tři navzájem rovnoběžné roviny V krychli ABCDEFGH mějme roviny ADE, BCF a KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AB, CD a GH. Dokázat vzájemnou rovnoběžnost těchto tří rovin je jednoduché cvičení (využití rovnoběžnosti různoběžných přímek v rovinách).

Zde vyznačeny různoběžky v rovinách, které jsou navzájem rovnoběžné.

V krychli ABCDEFGH mějme roviny BCE, KLM a RST, kde body K, L, M, R, S a T jsou po řadě středy hran AB, CD, AE, BF, CG a EF. Důkaz vzájemné rovnoběžnosti je založen opět na rovnoběžnosti různoběžných přímek.

Zde vyznačeny různoběžky v rovinách, které jsou navzájem rovnoběžné.

Dvě rovnoběžné roviny a třetí různoběžná V krychli ABCDEFGH mějme roviny ABC, BCF a EFG. Je zřejmé, že podstavy jsou rovnoběžné roviny.

Přímky BC a FG, které jsou průsečnicemi podstav z boční stěnou jsou rovnoběžné, což vyplývá z vlastností krychle.

V krychli ABCDEFGH mějme roviny ABL, KGH a CEF, kde body K a L jsou po řadě středy hran AE a CG. Rovnoběžnost rovin ABL a KGH je snadno dokazatelná (opět pomocí různoběžek v rovinách, které jsou navzájem rovnoběžné).

Zelenou a růžovou barvou jsou vyznačeny průsečnice, které jsou rovnoběžné.

Tři navzájem různoběžné roviny s jednou průsečnicí V krychli ABCDEFGH mějme roviny ABC, BCE a BCF. Již z pojmenování rovin je jasné, že tyto navzájem různoběžné roviny mají dva společné body, což je dostačující k určení průsečnice (přímku určují dva různé body).

Společná průsečnice pro roviny ABC, BCE a BCF je přímka BC.

V krychli ABCDEFGH mějme roviny BCE, KLM a RST, kde body K, L, M, R, S a T jsou po řadě středy hran AB, EF, GH, AE, BF a CG. Je patrné, že roviny jsou navzájem různoběžné.

Všechny tři roviny se protínají ve středu přední (P) a zadní stěny (Q), což lze dokázat pomocí vlastnosti krychle. Průsečíky P a Q nám jednoznačně určují průsečnici PQ daných tří rovin.

Tři navzájem různoběžné roviny se třemi různými průsečnicemi V krychli ABCDEFGH mějme roviny ABC, ABL a CDK, kde body K a L jsou po řadě středy hran EH a FG. Opět je zcela patrné, že roviny jsou navzájem různoběžné (nemůžeme najít dvě různoběžky v rovině, které by měly své rovnoběžky v ostatních rovinách).

Společné body po dvou různoběžných rovin určují hledané průsečnice Společné body po dvou různoběžných rovin určují hledané průsečnice. Dvě z nich najdeme v dolní podstavě, kde se protínají roviny ABL a CDK s rovinou ABC. Třetí průsečnice je určena body K a L, které náleží rovinám ABL a CDK současně.

V krychli ABCDEFGH mějme roviny ACE, DHK a DHL, kde body K a L jsou po řadě středy hran AB a BC. Vidíme, že jednotlivé roviny jsou navzájem různoběžné.

Roviny se protínají vždy v horní a dolní podstavě. Spojením příslušných bodů získáme hledané průsečnice.

Tři navzájem různoběžné roviny s jedním společným bodem V krychli ABCDEFGH mějme roviny BCG, CDG a EFG. Již s pojmenování rovin je zřejmé, že všechny roviny mají alespoň jeden společný bod. Vzhledem k tomu, že roviny jsou navzájem různoběžné, bude tento bod zároveň jediný a určený třemi různoběžnými průsečnicemi rovin.

Zadané roviny mají průsečnice CG, FG a HG. Všechny se protínají v bodě G.

V krychli ABCDEFGH mějme roviny KLM, RST a XYZ, kde body K, L, M, R, S, T, X, Y a Z jsou po řadě středy hran AB, EF, GH, AE, BF, CG, BC, FG a EH. Průsečíky po dvou různých daných rovin jsou vždy ve středu protilehlých stěn, což vychází z vlastností krychle.

Spojením příslušných bodů získáme tři různoběžné průsečnice, které se protínají v jednom bodě (P).

Úkol závěrem V krychli ABCDEFGH urči vzájemnou polohu tří rovin určených body: a) BGE, ACH a ACG b) ADE, BCF a KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AB, CD a EF c) ACE, BDH a RST, kde body R, S a T jsou po řadě středy hran AE, BF a CG d) ACG, BDH a XYZ, kde body X, Y a Z jsou po řadě středy hran BC, FG a EH e) ACE, BDH a BCF.

Zdroje Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.