Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Název projektu: Moderní škola Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Mgr. Martin Krajíc   12.5.2013 matematika 1.ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Viétovy vzorce Francois Viéta byl francouzský matematik, který žil v letech 1540 – 1603. Podle něho jsou pojmenovány vzorce na zjištění kořenů kvadratické rovnice.

Viétovy vzorce Důkaz: Budeme vycházet z kvadratické rovnice ax² + bx + c = 0 (a,b,c ɛ R, a ≠ 0), která má nezáporný diskriminant. Diskriminant vypočteme pomocí vzorce: D = b² - 4ac. Kořeny rovnice vypočteme pomocí vzorců: x1 = x2 =

Viétovy vzorce Potom platí: x1 + x2 = + = = = = x1 . x2 = . = = = = Poznámka: Pokud a = 1, potom součet kořenů se rovná číslu opačnému ke koeficientu lineárního členu a jejich součin se rovná absolutnímu členu.

x1 . x2 = q Pro kořeny x1, x2 rovnice Viétovy vzorce Pro kořeny x1, x2 rovnice x² + px + q = 0 (p,q ɛ R, p² - 4q ≥ 0) platí: x1 + x2 = -p x1 . x2 = q Obráceně platí: Jestliže je x1 + x2 = -p, x1 . x2 = q, potom jsou čísla x1, x2 kořeny rovnice x² + px + q = 0, neboť x² + px + q = x² - (x1 + x2)x + x1 . x2 = (x - x1)(x – x2 )

Viétovy vzorce - příklad Př: Na základě Viétových vzorců určete kořeny rovnice: x² + 7x + 12 = 0 součin kořenů x1 ,x2 se musí rovnat číslu 12, jejich součet musí být číslo opačné k číslu 7, tudíž číslo -7 vypíšeme si všechny součiny dvou čísel čísla 12: 12 = 1.12 = 2.6 = 3.4 = (-1).(-12) = (-2).(-6) = (-3).(-4) vybereme dvojici čísel, jejíž součet je roven číslu -7: (-3) + (-4) = -7 kořeny jsou čísla -4 a -3, zapíšeme: x1 = -4, x2 = -3

Viétovy vzorce - příklad Př: Na základě Viétových vzorců určete kořeny rovnice: x² + 2x - 8 = 0 součin kořenů x1 ,x2 se musí rovnat číslu -8, jejich součet musí být číslo opačné k číslu 2, tudíž číslo -2 vypíšeme si všechny součiny dvou čísel čísla -8: -8 = 1.(-8) = (-1).8 = 2.(-4) = (-2).4 vybereme dvojici čísel, jejíž součet je roven číslu -2: 2 + (-4) = -2 kořeny jsou čísla -4 a 2, zapíšeme: x1 = -4, x2 = 2

Viétovy vzorce - příklady Př: Na základě Viétových vzorců určete kořeny rovnice a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): Martin Luther: „Medicína dělá lidi nemocnými, matematika smutnými a ………hříšnými“. 1) x² - 5x + 6 = 0 a) T = {3, 2}, b) N = {-3, -2} 2) x² + 20x + 75 = 0 a) S = {-5, -10}, b) E = {-5, -15} 3) x² - 3x + 2 = 0 a) O = {1, 2}, b) M = {-1, -2} 4) x² + 8x + 15 = 0 a) L = {-5, -3}, b) V = {3, 5} 5) x² - 10x + 9 = 0 a) O = {1, 9}, b) N = {-3, 3} 6) x² - 12x + 11 = 0 a) S = {1, -11}, b) G = {1, 11} 7) x² + 16x + 39 = 0 a) I = {-3, -13}, b) A = {3, 13} 8) x² - x - 2 = 0 a) E = {-1, 2}, b) O = {1, -2}

Viétovy vzorce – správné řešení Martin Luther: „Medicína dělá lidi nemocnými, matematika smutnými a .…….………hříšnými“. TEOLOGIE

Viétovy vzorce – použité zdroje Matematické citáty. [online]. [cit. 2013-05-12]. Dostupné z: elmartin.txt.cz/clanky/50290/matematicke-citaty/