polynom proměnné x f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a0

Slides:



Advertisements
Podobné prezentace
GONIOMETRICKÝ TVAR KOMPLEXNÍHO ČÍSLA
Advertisements

Množiny Přirozená čísla Celá čísla Racionální čísla Komplexní čísla
Komplexní čísla. Komplexní číslo je uspořádaná dvojice [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část. Pokud je reálná část nulová,
Pravidla pro počítání s mocninami
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Seminární práce číslo: 7 Zpracoval : Vladimír KORDÍK T-4.C
Algebra.
Úplné kvadratické rovnice
Mnohočleny a algebraické výrazy
Lineární algebra.
Úvod do Teorie množin.
Dělitelnost přirozených čísel
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Počítáme s celými čísly
Gaussova eliminační metoda
Lineární rovnice Kvadratické rovnice Soustavy rovnic
Mocniny, odmocniny, úpravy algebraických výrazů
Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 08
Neurčitý integrál. Příklad. Na ploše 10 m x 10 m se vysazuje stejný typ rostlin ve 2 barvách. Obě barvy jsou odděleny křivkou y = x ( 1 – 0.1x ). Kolik.
VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE
L i n e á r n í r o v n i c e II. Matematika 8.ročník ZŠ
Matice.
2.2.2 Úplné kvadratické rovnice
Výpočet kořenů kvadratické rovnice
Kvadratická rovnice Kvadratickou rovnicí s jednou neznámou x je každá rovnice tvaru: ax2 + bx + c = 0 kvadratický člen absolutní člen lineární člen Dostupné.
Řešení kubických rovnic
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Kvadratické rovnice Každá kvadratická rovnice se dá vyjádřit ve tvaru: a,b,c jsou číselné koeficienty, přičemž a musí být nenulové, jinak by se jednalo.
Algebra II..
2.2 Kvadratické rovnice.
Neúplné kvadratické rovnice
Lineární zobrazení.
Algebraické výrazy a jejich úpravy
* Násobení mnohočlenů Matematika – 8. ročník *
Mgr. Martin Krajíc matematika 1.ročník rovnice a nerovnice
Vektorové prostory.
Komplexní čísla - 1 VY_32_INOVACE_ Motivační úvod.
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
Čísla Množiny a podmnožiny čísel Přirozená čísla Nula Celá čísla
KVADRATICKÉ NEROVNICE
Matice přechodu.
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_61.
Hledání racionálních kořenů. f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 1 x + a 0 a i  Z a 0  0 Všechna řešení jsou ve tvaru zlomku, kde ra0ra0 sansan.
(řešení pomocí diskriminantu)
Kvadratické nerovnice
Kvadratická rovnice.
Materiály jsou určeny pro výuku matematiky: 3. ročník, Ekonomické lyceum Učivo v elektronické podobě zpracovala Mgr. Iva Vrbová.
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým.
Největší společný dělitel Nejmenší společný násobek 6. třída.
MATEMATIKA Kvadratická rovnice. Výukový materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT.
Matice Přednáška č.4. Definice: Soubor prvků nazýváme maticí typu i-tý řádek j-tý sloupec prvky matice.
R OVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice – Algebraické způsoby řešení I. VY_32_INOVACE_M1r0108 Mgr. Jakub Němec.
3. LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE
L i n e á r n í r o v n i c e II. Matematika 8.ročník ZŠ
Dělitelnost přirozených čísel
Matematika pro ekonomy Jaro 2012 Ivana Vaculová
Lomené algebraické výrazy
3.2 LINEÁRNÍ ROVNICE s neznámou ve jmenovateli
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
Prvočísla, čísla složená, dělitel, násobek
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
1 Lineární (vektorová) algebra
GONIOMETRICKÝ TVAR KOMPLEXNÍHO ČÍSLA
Lomené algebraické výrazy
KVADRATICKÁ ROVNICE Jitka Mudruňková 2012.
Střední škola obchodně technická s. r. o.
Matematický žebřík – komplexní čísla
27 ROVNICE – POČET ŘEŠENÍ.
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Analytická geometrie je část geometrie, která v euklidovské geometrii zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických.
Matematické operace, práce s výrazy, algebraické vzorce, poměr
Transkript prezentace:

polynom proměnné x f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a0 např.: f = 2x5 – 3x2 + 5x + 1

f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a0 akxk členy a0 absolutní člen ak koeficienty an vedoucí koeficient n  N0 stupeň polynomu

vedoucí koeficient an = 1 normovaný polynom vedoucí koeficient an = 1 f =  xn  + an-1xn-1 +  ……. + a0   např.: f =  x3  +  4x2 – 5

nulový polynom a polynom stupně nula konstantní polynom nulový polynom a polynom stupně nula f = 0 f = a0

lineární polynom polynom stupně 1 f = a1x + a0 f = 5x + 1

kvadratický polynom polynom stupně 2 f = a2x2 + a1x + a0 f = 3x2 + 5x + 1

kubický polynom polynom stupně 3 f = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 f = 2x3 + 3x2 + 5x + 1

uspořádaná n-tice f = (an, an-1, …, a0) f =  anxn  + an-1xn-1 +  ……. + a0

rovnost polynomů f = (an, an-1, …, a0) a g = (bn, bn-1, …, b0) f = g   ai = bi pro i = 0, 1, …, n

součet polynomů f + g f = 2x3 + 3x2 – 5x + 2 g = 2x2 + x – 4 f + g =

rozdíl polynomů f – g f = 2x3 + 3x2 – 5x + 2 g = 2x2 + x – 4 f – g =

součin polynomů f.g f = x – 4 g = x2 – 5x + 2 f.g = = x.(x2 – 5x + 2) – 4.(x2 – 5x + 2) = = x3 – 5x2 + 2x – 4x2 + 20x – 8 = = x3 – 9x2 + 22x – 8

Dělení polynomu f polynomem g st(f) = n st(g) = m Pak existují právě jeden polynom d a právě jeden polynom z takové, že x  C platí: f = g.d + z  st(z) < st(g) d podíl z  zbytek

Dělte polynomy: (2x3 + 3x2 – x + 2) : (x + 3) = 2x2 – 3x + 8 2x3 + 6x2 – 22

polynom g je dělitelem polynomu f značíme g  f f = g.d + z polynom g  0 dělí polynom f právě tehdy, když zbytek z je roven nule tedy: f = g d polynom g je dělitelem polynomu f značíme g  f

Pomocná tvrzení Polynom g nultého stupně je dělitelem každého polynomu. (2x3 + 3x2 – x + 2) : 4 = ½x3 + ¾x2 – ¼x + ½ Jestliže g  f, f  0, pak st g  st f. f = g d st f = st g + st d 0  st g a 0  st d st g  st f

Pomocná tvrzení Jestliže h  g a g  f, pak h  f. Jestliže g  f, pak c.g  f, kde c je libovolné nenulové číslo.

Společný dělitel dvou polynomů Polynom, který dělí dva dané polynomy se nazývá jejich společným dělitelem.

Polynom nultého stupně je dělitelem každého polynomu. Polynom nultého stupně je společným dělitelem libovolných dvou polynomů. Nesoudělné polynomy nemají již žádného dalšího společného dělitele Každé dva polynomy mají společného dělitele.

Největší společný dělitel Společný dělitel d polynomů g a f se nazývá jejich největším společným dělitelem právě tehdy, když je dělitelný libovolným společným dělitelem polynomů g a f. Symbolicky: 1. d  f a d  g 2. e  f a e  g  e  d

Jestliže g  f, pak c.g  f, kde c je libovolné nenulové číslo. d = NSD (g, f)  c.d = NSD (g, f), kde c  0 Ten, jehož vedoucí koeficient je 1 nazveme NSD(g, f).

Euklidův algoritmus f a g jsou nenulové polynomy f : g = d1 (z1) kde st z1 < st g g : z1 = d2 (z2) kde st z2 < st z1 z1 : z2 = d3 (z3) kde st z3 < st z2 . . . zk-2 : zk-1 = dk (zk) kde st zk < st zk-1 zk-1 : zk = dk+1 (0) st g > st z1 > st z2 > …. > 0 zk je poslední nenulový zbytek, tj. NSD(g, f)

Výpočet NSD pracujeme jenom se zbytky prováděných dělení je jedno, zda k výpočtu použijeme daný zbytek nebo libovolný jeho nenulový konstantní násobek můžeme v kterémkoli kroku kteréhokoliv dělení v Euklidově algoritmu násobit kterýkoliv z polynomů libovolným nenulovým číslem při praktických výpočtech se vyhneme zlomkům, které by komplikovaly výpočet

Kořeny polynomu

Kořen cC polynomu f f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a1x + a0  f(c) = 0 kořen algebraické rovnice anxn + an-1xn-1 + ……. + a1x + a0 = 0

Je c = –1 kořen polynomu x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12? (–1)4 – 2.(–1)3 – 7.(–1)2 + 8.(–1) + 12 = = 1 + 2 – 7 – 8 + 12 = 0 Algebraická rovnice x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12 = 0 má kořen x1 = –1

kořen polynomu stupně 1 f = a1x + a0 c = –a0/a1 f = 5x + 3 c = –3/5

kořeny polynomu stupně 2 f = a2x2 + a1x + a0 má v C dva kořeny např.: x2 – 2x – 3 má kořeny x1 = 3 a x2 = –1

Nejjednodušší příklady kořen nulového polynomu f = 0 cC kořen polynomu stupně nula f = a nemá žádný kořen

Podíl d je polynom stupně n –1 s vedoucím koeficientem bn-1 = an. Bézoutova věta Číslo c je kořenem polynomu f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a1x + a0  (x–c)f Podíl d je polynom stupně n –1 s vedoucím koeficientem bn-1 = an.

Podíl d je polynom stupně 5 s vedoucím koeficientem 1 f = x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu f (x – 2) ( x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 ) ( x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 ) : (x – 2) = = x5 – 4x4 + x3 + 10x2 – 4x – 8 Podíl d je polynom stupně 5 s vedoucím koeficientem 1

x – 2 nazýváme kořenovým činitelem polynomu f. Kořenový činitel ( x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 ) = (x – 2).(x5 – 4x4 + x3 + 10x2 – 4x – 8) 2 je kořen polynomu f, x – 2 nazýváme kořenovým činitelem polynomu f.

Vícenásobný kořen Číslo c se nazývá k-násobný kořen polynomu f, jestliže (x–c)k dělí polynom f a (x–c)k+1 nedělí polynom f. Je-li k = 1, říkáme, že kořen c je jednoduchý.

c je k-násobným kořenem polynomu f  (x–c)k f f = (x–c)k . g

Dělení daného polynomu f polynomem x–c. f = (x–c) . g + f(c) ověřování, zda c je kořen polynomu f zjišťování násobnosti kořene c výpočet zbytku po dělení polynomu f polynomem x – c [je roven f(c)]

Hornerovo schéma f = x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu f 1 –6 9 8 –24 16 2 1 –4 1 10 –4 –8 f = (x – 2).(x5 – 4x4 + x3 + 10x2 – 4x – 8)

Základní věta algebry. Každý polynom f stupně n  1 má alespoň jeden komplexní kořen (tj. buď reálný, nebo imaginární).

D´Alembertova věta. Počítáme-li každý k-násobný kořen za k kořenů, má polynom f stupně n  1 právě n komplexních kořenů. Označíme-li tyto kořeny c1 … cn je možné polynom f rozložit na tvar f = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn).

polynom f (st f  1) je reducibilní (rozložitelný) právě tehdy když existují polynomy g, h (st g  1, st h  1) takové, že f = g.h. Jinak je polynom f ireducibilní (nerozložitelný). Polynomy g a h nazýváme faktory.

Příklady reducibilních a ireducibilních polynomů Lineární polynom f = a1x + a0 = a1(x-c) (kde c je kořen) ireducibilní Kvadratický polynom f = a2x2 + a1x + a0 = a2(x-c1)(x-c2) reducibilní

Polynomy vyššího stupně než 2 f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a1x + a0 jsou vždy reducibilní: f = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn) (podle D´Alembertovy věty)