K OMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Permutace s opakováním VY_32_INOVACE_M4r0109 Mgr. Jakub Němec
P ERMUTACE S OPAKOVÁNÍM Permutace s opakováním je jedním z kombinatorických úkonů, který nám pomáhá určit, kolik možných uspořádaných k -tic lze sestavit z n prvků, které se v nich mohou vyskytnout alespoň jednou. V tomto případě není nutná podmínka, která by určovala rovnost mezi k a n, protože počet prvků může být menší než počet míst v k -tici. U této operace nám záleží na pořadí prvků. Uveďme si jednoduchý příklad: Sestavte různé čtyřmístné řady, když máte k dispozici jednu bílou a tři černé kuličky. BČČČ, ČBČČ, ČČBČ, ČČČB – tedy čtyři Pokud by řada byla pětimístná a byly by dvě bílé kuličky zvýšil by se počet na deset – BBČČČ, BČBČČ, BČČBČ, BČČČB, ČBBČČ, ČBČBČ, ČBČČB, ČČBBČ, ČČBČB, ČČČBB
P ERMUTACE S OPAKOVÁNÍM – DEFINICE A VZOREC
Řešení všech čtyřech příkladů vychází z definice permutace s opakováním. Je důležité, aby počet sčítanců v čitateli a počet činitelů ve jmenovateli odpovídal počtu druhů míčků ( n ). Určete kolik různých desetimístných řad lze sestavit: a)z pěti modrých a z pěti červených míčků. b)ze tří modrých a ze sedmi červených míčků. c)ze tří modrých, z pěti červených a ze dvou bílých míčků. d)ze tří modrých, ze dvou červených, ze čtyř černých míčků a z jednoho bílého míčku.
Při řešení tohoto druhu příkladu je nejdůležitější určit počet stejných písmen. Získáme tak počet prvků. Poté již počítáme dle definice permutace s opakováním. Kolik různých anagramů (přesmyček písmen) lze vytvořit ze slova: a)ABRAKADABRA b)POPOKATEPETL
Ú KOL ZÁVĚREM 1) Určete počet možných anagramů slova: a) SALAMANDRA b) RESTRUKTURALIZACE 2) Kolik různých devítimístných řad lze sestavit: a) ze čtyřech modrých a z pěti červených míčků? b) ze dvou modrých, ze třech červených a ze čtyř bílých míčků? 3) Kolik druhů barevných míčků a jaký počet těchto míčků budeme potřebovat, aby se počet různých devítimístných řad rovnal permutaci bez opakování z devíti prvků?
Z DROJE Literatura: Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN