Přednes 5 Lokální interpolační funkce na trojúhelníkovém prvku
Lokální interpolační funkce umožňují lokální aproximaci hledané funkce na daném prvku v jeho uzlech Hlavní význam těchto funkcí je zobecnění MKP jako aproximační metody a snadné odvození základních rovnic deformační varianty MKP Tvar interplačních funkcí je formálně stejný jako tvar aproximačních funkcí – to platí pro jakýkoli prvek.
Složky posunu u,v aproximujeme interpolační funkcí – tj. funkcí závislou na hodnotách posunů u,v v uzlech prvku Interpolační funkce N i mají takový tvar, že nezávisí při jejich stanovení, zda se vychází s posunu vodorovného u či svislého v
Máme řešit soustavu 3 rovnic Její determinant je roven dvojnásobku plochy prvku Pro konstanty a 1,a 2,a 3 platí D am je matice D, kde je za m-tý sloupec dosazená pravá strana soustavy rovnic – tj. (u i,u j,u k )
Aproximační funkci pro vodorovný posun zapíšeme s využitím matice D D rs am je subdeterminant vzniklý z determinantu D aj Vynecháním r-tého řádku a s-tého sloupce
Porovnáním rovnic pro posun u a Dostaneme interpolační funkce N i
Interpolační funkce N i Konstanty m,n,p závisí pouze na souřadnicích uzlů prvku tj. N p =N p (x,y)
Každá interpolační funkce N m má ve vrcholu m hodnotu 1 a ve zbývajících dvou vrcholech N m =0 Takže platí Průběh lokálních interpolačních funkcí N i,N j,N k u trojúhelníkového prvku
Posun uzlu vyjádříme interpolačními funkcemi
Vyjádříme přetvoření pomocí operátorové matice a dosazením posunů vyjádřených interpolačními funkcemi získáme
Kde matice C je součin operátorové matice a matice interpolačních funckí