ZÁKLADNÍ POJMY VÝROKOVÉ LOGIKY Věra Machová

Výrok Tvrzení, jemuž lze přiřadit právě jednu ze dvou pravdivostních hodnot (tj. má smysl se ptát, zda je pravdivý): pravda ……….. p (1) nepravda ……. n (0)

Výroková forma Věta, která obsahuje jednu nebo více proměnných (není výrokem) „Číslo a2 je větší než 1“ „Studenti GUH se učí francouzštinu“ Výrok se z ní stane 1. dosazením konkrétní hodnoty za proměnnou 2. kvantifikováním (vymezením rozsahu – počtu objektů, jichž se týká)

Kvantifikovaný výrok Vymezuje počet objektů, jichž se týká (obsahuje tzv. kvantifikátory) „Mám právě tři sourozence“ „Každá kvadratická rovnice má nejvýše 2 různé kořeny“ „Podám si aspoň 4 přihlášky na VŠ“ „Všechny rovnoběžníky jsou středově souměrné“ „Někteří savci žijí ve vodě“ Velmi často se používají dva speciální typy kvantifikátorů

Obecný kvantifikátor Přisuzuje určitou vlastnost všem uvažovaným objektům Slovní vyjádření: všichni, každý, nikdo, žádný, pro všechny… Symbolické vyjádření …..  Všichni občané ČR jsou povinni dodržovat její zákony. Rozdíl každých dvou přirozených čísel je přirozené číslo. Žádný učený z nebe nespadl.

Existenční kvantifikátor vypovídá o existenci alespoň jednoho objektu, který má uvažované vlastnosti Slovní vyjádření: existuje, lze najít, aspoň jeden, někteří,… Symbolické vyjádření:  Někteří studenti GUH chodí do školy pěšky. Aspoň jedno prvočíslo je sudé. V ČR existují obce, které mají míň než 100 obyvatel.

Operace s výroky Negace Skládání výroků - používáme 4 základní typy složených výroků: konjunkce disjunkce implikace ekvivalence

Negace výroku Negací výroku A je výrok A´(nonA, ¬A, A), který popírá to, co tvrdí výrok A A´…. „Není pravda, že A“; „A neplatí“ Platí vždy právě jeden z výroků A a A´ A … Sparta vyhrála A´… Sparta nevyhrála Pozor na negace kvantifikovaných výroků !

Negace kvantifikovaných výroků Negace obecného kvantifikátoru A : x; V(x) A´: x; V´(x) A: Všichni studenti GUH mají rádi matematiku. A´: Aspoň jeden student GUH nemá rád matematiku. (Někteří studenti GUH ….) Negace existenčního kvantifikátoru A : x; V(x) A´: x; V´(x) A: Existuje aspoň jedno prvočíslo, které je sudé. A´: Všechna prvočísla jsou lichá. (Žádné prvočíslo není sudé)

Konjunkce výroků AB Platí A a současně B (A a zároveň B, A i B, A ale B, A ani B…) Včera pršelo a (ale) dneska svítí sluníčko. Úhlopříčky v kosočtverci se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé. Nemá výtvarný talent ani nehraje fotbal.

Disjunkce výroků AB Platí výrok A nebo výrok B Koupíme si psa nebo se přestěhujeme. Petr studuje v Brně nebo v Olomouci.

Implikace AB Jestliže platí A, pak platí B (Když A, pak B; Z A vyplývá B,…) Jestliže je číslo dělitelné šesti, pak je dělitelné třemi. Když prší, beru si deštník.

Ekvivalence AB Výrok A platí právě tehdy, když platí výrok B (A je ekvivalentní s B; A platí tehdy a jen tehdy když B) Číslo je dělitelné třemi právě tehdy, když jeho ciferný součet je dělitelný třemi. Student prospěl s vyznamenáním právě tehdy, když jeho průměr byl nejvýše 1,5.

Tabulky pravdivostních hodnot 1 A B AB 1 A B AB 1 A B AB 1

Implikace obrácená a obměněná A  B B  A B´ A´ 1 Implikace A  B Když jdu do divadla, tak si vezmu sako. Obrácená implikace B  A (není ekvivalentní s původní implikací) Vezmu-li si sako, pak jdu do divadla. Obměněná implikace B´ A´( je ekvivalentní s původní implikací) Jestliže si neberu sako, pak nejdu do divadla.

Negace složených výroků Konjunkce: C = A  B Adam je fotbalista a má výtvarný talent. C´= A´ B´Adam není fotbalista nebo nemá výtvarný talent Disjunkce: D = A  B Půjdu do kina nebo se budu učit. D´= A´ B´ Nepůjdu do kina ani se nebudu učit.

Negace složených výroků Implikace: E = AB Když prší , jedu do školy autem. E´= A  B´ Prší a (ale) já nejedu do školy autem. Ekvivalence: F = AB Půjdu do vězení právě tehdy, když spáchám zločin. F´= (A  B´)  (A´ B) Půjdu do vězení ale nespáchal jsem zločin nebo nepůjdu do vězení a zločin jsem spáchal.