Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu:Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast:Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-49 – DERIVACE FUNKCE V (věty o derivaci funkcí) AnotaceVěty o derivaci funkcí (derivace součinu a podílu funkcí). AutorPaedDr. Milan Rieger JazykČeština Očekávaný výstup Žák chápe věty o derivování funkcí jako nástroj pro efektivní výpočet derivací funkcí a také jako nástroj odvození derivací dalších elementárních funkcí. Žák umí formulované a dokázané věty aplikovat. Klíčová slovaDerivace, matematická věta, důkaz věty, věta o derivování součinu a podílu funkcí. Druh učebního materiáluPracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivityAktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupinaŽák Stupeň a typ vzděláváníStřední vzdělávání Typická věková skupina17 – 19 let Datum vytvoření

 MOTIVACE VĚTY o derivaci součinu dvou funkcí Na obrázku vidíme graf funkce y = x. sin x [ y = f(x). g(x) ]. Ukažme si nejdříve výpočet derivace použitím definice derivace, pokusme se „objevit“ vzorec pro výpočet derivace součinu dvou funkcí.

 Výpočet derivace funkce y = x. sin x pomocí definice derivace: y = x. sinx  y' = [ x. sinx ]' = (x)'. sinx + x. (sinx)' = sinx + x. cosx y = f(x). g(x)  y' = [ f(x). g(x) ]' = f'(x). g(x) + f(x). g'(x) VĚTA 1: Předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce f(x). g(x) a platí: [f(x) g(x)]' (x0) = f'(x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g'(x 0 ).

Přímý důkaz věty: 1. předpoklad - Funkce f(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 2. předpoklad - funkce g(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 3. předpoklad - funkce g(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci, to znamená, že platí:

Je tedy patrné, že nemůžeme mechanicky přenášet zkušenost z derivování součtu a rozdílu funkcí na derivování součinu dvou funkcí.  ILUSTRATIVNÍ PŘÍKLAD – derivujte funkci

 MOTIVACE VĚTY o derivaci podílu dvou funkcí Na obrázku vidíme funkce y = x [funkce f(x)] a y = x [funkce g(x)]. Jejich vydělením [f(x) : g(x)] dostaneme novou funkci o rovnici Chceme vypočítat derivaci "nové" funkce v libovolném bodě x 0 definičního oboru funkce [to je množina všech reálných čísel]. Pomocí definice derivace dostaneme:

Z výpočtu derivace je zřejmé, že nebude platit pravidlo „derivace podílu je rovna podílu derivací“. Jak tedy vypočítáme derivaci podílu dvou funkcí? VĚTA 2: Předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x 0 a g(x 0 )  0.Potom má v bodě x 0 derivaci funkce f(x)/g(x) a platí: Přímý důkaz věty:

1. předpoklad - Funkce f(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 2. předpoklad – Funkce g(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 3. předpoklad - funkce g(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci, to znamená, že platí: 4. předpoklad - g(x0)  0

 ILUSTRATIVNÍ PŘÍKLAD  DŮLEŽITÝ PŘÍKLAD – odvození derivace funkce y = tg x pomocí věty 2

 DŮLEŽITÝ PŘÍKLAD – POROVNÁNÍ odvození derivace funkce y = tg x pomocí definice derivace

 Vypčítejte derivace následujících funkcí v libovolném bodě definičního oboru. (Vždy určete definiční obor dané funkce a její derivace.)

 ŘEŠENÍ ÚLOH Úloha 1 Úloha 2

Úloha 3 Úloha 4

Úloha 5 Úloha 6 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.