Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombinatorika – Procvičování VY_32_INOVACE_M4r0111 Mgr. Jakub Němec

Permutace, variace, kombinace (bez opakování) V této lekci se zaměříme na upevnění kombinatorických úkonů bez opakování prvků, které jsme se naučili během minulých lekcí. Pro přehlednost si zopakujeme vzorce, podle kterých lze následující úlohy řešit. Permutace: 𝑃 𝑛 =𝑛! Variace: 𝑉 𝑘 𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑘 ! Kombinace: 𝐶 𝑘 𝑛 = 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑘!∙ 𝑛−𝑘 !

tři manželské páry seděly u sebe? V divadle je šest míst na sezení. Kolika možnostmi lze usadit šest lidí tak, aby: bylo jedno, jak sedí? Petr seděl na kraji? tři manželské páry seděly u sebe? První příklad je čistou aplikací vzorce permutace (záleží na pořadí a počet prvků odpovídá počtu míst). Při řešení druhého příkladu je nutné si uvědomit, že jedno místo je již obsazeno Petrem, ale v řadě jsou dva kraje. Třetí příklad je obtížnější. Trojice párů může nabýt 3! možností. Ale je nutné si uvědomit, že každý z párů má dvě možnosti, jak se usadit. 𝑎) 𝑃 6 =6!=𝟕𝟐𝟎 𝑏) 2∙𝑃 5 =2∙5!=𝟐𝟒𝟎 𝑐) 2 3 ∙𝑃 3 =8∙3!=𝟒𝟖

tak, aby mezi nimi byl červený míček? Mějme 11 různobarevných míčků. Kolika způsoby lze uspořádat míčky do pětic: bez omezení? tak, aby mezi nimi byl červený míček? tak, aby byl červený míček na prvním místě? První příklad je aplikací vzorce pro variaci (záleží na pořadí a počet prvků je větší než počet míst). U druhého příkladu si musíme uvědomit, že jedno místo je obsazeno červenou kuličkou. Ta se může nacházet na pěti místech, tedy pětkrát více možností. Třetí příklad je podobný druhému, jen s tím faktem, že červená kulička je pouze na prvním místě. 𝑎) 𝑉 5 11 = 11! 6! = 11∙10∙9∙8∙7∙6! 6! =𝟓𝟓𝟒𝟒𝟎 𝑏) 5∙𝑉 4 10 =5∙ 10! 6! =5∙ 10∙9∙8∙7∙6! 6! =𝟐𝟓𝟐𝟎𝟎 𝑐) 𝑉 4 10 = 10! 6! = 10∙9∙8∙7∙6! 6! =𝟓𝟎𝟒𝟎

Na turnaji hraje 12 různých mužstev Na turnaji hraje 12 různých mužstev. Kolik je možností umístění na stupních vítězů? Kolik je možností umístění, když bude ČR na stupních vítězů? První příklad je aplikací vzorce pro variaci (záleží na pořadí a počet prvků je větší než počet míst). U druhého příkladu si musíme uvědomit, že jedno místo je obsazeno ČR. ČR může být na třech možných místech, tedy je třikrát více možností. 𝑎) 𝑉 3 12 = 12! 9! = 12∙11∙10∙9! 9! =𝟏𝟑𝟐𝟎 𝑏) 3∙𝑉 2 11 =3∙ 11! 9! =3∙ 11∙10∙9! 9! =𝟑𝟑𝟎

U tohoto typu příkladu je nutné si uvědomit, že nezáleží na pořadí, v jakém budou kartičky měněny, jedná se tedy o kombinaci. Vzájemná výměna je založena na kombinatorickém pravidle součinu (pro všechny možnosti dvojic, resp. trojic Petra, existuje určitý počet dvojic, resp. trojic Jirky). Jirka a Petr si vyměňují hokejové kartičky. Jirka má šest, které chce Petr, a Petr má osm, které chce Jirka. Kolik možností mají, když si chtějí vyměnit: dvě kartičky? tři kartičky? 𝑎) 6 2 ∙ 8 2 = 6! 4!∙2! ∙ 8! 6!∙2! = 6∙5∙4! 4!∙2 ∙ 8∙7∙6! 6!∙2 =𝟒𝟐𝟎 𝑏) 6 3 ∙ 8 3 = 6! 3!∙3! ∙ 8! 3!∙5! = 6∙5∙4∙3! 3!∙3∙2 ∙ 8∙7∙6∙5! 5!∙3∙2 =𝟏𝟏𝟐𝟎

právě dva špatné výrobky. nejvýše jeden špatný výrobek. Mějme deset výrobků, z nichž tři jsou vadné. Určete, kolik existuje možností, jak z pěti výrobků vytáhnout: právě dva špatné výrobky. nejvýše jeden špatný výrobek. alespoň jeden špatný výrobek. Na podobném principu jako v předchozím případě je založeno i řešení tohoto příkladu. Ve druhém a třetím příkladu se jedná o využití kombinatorického pravidla součinu i součtu. Třetí příklad lze ovšem řešit i tak, že od všech možností, jak vytáhnout pět výrobků, odečteme jedinou možnost, která neplatí (žádný vadný výrovek). 𝑎) 3 2 ∙ 7 3 =3∙ 7! 3!∙4! = 3∙7∙6∙5∙4! 3∙2∙4! =𝟏𝟎𝟓 𝑏) 3 0 ∙ 7 5 + 3 1 ∙ 7 4 =1∙ 7! 5!∙2! +3∙ 7! 4!∙3! = 7∙6∙5! 5!∙2 + 3∙7∙6∙5∙4! 3∙2∙4! =21+105=𝟏𝟐𝟔 𝑐) 3 1 ∙ 7 4 + 3 2 ∙ 7 3 + 3 3 ∙ 7 2 = =3∙ 7! 4!∙3! +3∙ 7! 3!∙4! +1∙ 7! 2!∙5! =105+105+21=𝟐𝟑𝟏 𝑐) 10 5 − 3 0 ∙ 7 5 = 10! 5!∙5! −1∙ 7! 5!∙2! = = 10∙9∙8∙7∙6∙5! 5!∙5∙4∙3∙2 − 7∙6∙5! 2∙5! =252−21=𝟐𝟑𝟏

Úkol závěrem 1) Auto má projet čtyřmi blokovými křižovatkami (nebude couvat). Kolik různých tras můžete projet? (úloha s opakováním prvků) 2) Petra chce do knihovničky uložit deset knih. Kolik má možností, když chce mít tři knihy Stephena Kinga u sebe? 3) Na táboře je 20 dětí – 9 dívek a 11 chlapců, které si mají zvolit čtyřčlenné vedení. Kolik mají možnosti, když ve vedení mají být alespoň dvě dívky?

Zdroje Literatura: Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN 987-80-7196-362-2. Schémata byla tvořena v programu Malování, který je součástí operačního systému Windows.