Teorém E. Noetherové v teorii pole : 1 = Ke každé spojité jednoparametrické grupě transformací zachovávající tvar pohybových rovnic pole beze změny, přísluší čtyřvektor s nulovou čtyřdivergencí. // hustota Lagrangiánu popisujícího náš systém // akce, aby se jednalo o transformace zachovávající tvar pohybových rovnic, tak variace této akce musí být nulová pro libovolnou oblast // takto lze zapsat obecnou infinitesimální změnu souřadnic a polí // toto tedy požadujeme, tj. variace akce je nulová pro libovolný element // značí totální variaci // naše transformační vztahy nám umožňují dohromady napsat tuto totální variaci transformace, obecně (4.3.2) // s přesností do prvního řádu // vtáhneme variaci dovnitř integrálu, který je ovšem nezávislý na objemovém elementu, takže musíme provést i variaci tohoto elementu // nejprve vypočteme co je to totální variace objemu // vlastně se jedná o přechod do jiné soustavy souřadné a proto je tento podíl vyjádřen jako Jakobián elementů čtyřobjemu // parciální derivace změny ke každé souřadnici podle každé souřadnice, tj. bude nenulové pouze pro

// totální variaci hustoty Langrangiánu získáme stejně jako v případě transformací pole // opět zde byl použit analogický postup pro zjištění totální variace jako u totální variace transformací // k dalším úpravám potřebujeme vědět jak vypadá variace hustoty Lagrangeovy funkce // k odvození variace použijeme tento postup: // zjednodušíme díky tomu, že máme pohybové rovnice vzniklé z Lagrangoeovy funkce Hamiltonovým formalismem: // pozor! nesmíme zapomenout, že stále platí sumační pravidlo, proto nový zavlečený index musíme značit novým písmenem // trochu si to zesložitíme, později uvidíme proč, přeindexujeme v prvním členu, kde díky derivaci vyvstane Cronekerovo delta // jedná se o integrál přes libovolný čtyřobjem, tj. aby byl nulový, tak musí být toto nulové

// zde je důvod zesložitění výrazu výše, obdrželi jsme formulaci zahrnující tenzor energie-hybnosti // pokud je splněna tato podmínka všude v prostoročasu, pak zachovávající se veličina K je tímto integrálem // speciálně pro infinitesimální posunutí souřadnic // druhý člen je roven nule díky nulové variaci // po vydělení infinitesimálním tak získáváme složky čtyřhybnosti pole // infinitesimální rotace kolem osy 3 s uvedenými transformacemi pole // protože: // neboť: // získáváme tak (po vydělení infinitesimálním ) příslušnou zachovávající se veličinu, což v tomto případě je třetí složka momentu hybnosti pole // třetí člen se nazývá hustota spinu pole, což nám umožňuje relativisticky zobecnit moment hybnosti // relativistické zobecnění momentu hybnosti nazývané čtyřproud a jeho integrál, bohužel tento čtřproud se nám jaksi nezachovává a je nutné nejprve opravit (zesymetrizovat) tenzor energie-hybnosti

// předefinujme si tenzor energie hybnosti takto, kde Q je libovolný antisymetrický tenzor // předpokládejme navíc toto (symetrie) // o našem starém tenzoru energie-hybnosti (nazývá se Canonický) víme toto a díky antisymetrii Q získáme to, že tuto rovnost splňuje i nově definovaný tenzor energie-hybnosti (nazývá se Symetrický) // zde je důkaz // tenzor momentu hybnosti pak definujeme takto // takovýto tenzor momentu hybnosti, definovaný ze symetrického tenzoru energie-hybnosti je zachovávající se veličinou // u prvních dvou členů využijeme symetrie, u dalších vlastnost dokázanou výše