* 16. 7. 1996 Pythagorova věta Matematika – 8. ročník *

Pravoúhlý trojúhelník * 16. 7. 1996 Pythagorova věta Pravoúhlý trojúhelník B přepona pravý úhel c a . . C b A odvěsny *

𝐜 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 Pythagorova věta * 16. 7. 1996 Pythagorova věta Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad jeho odvěsnami. tj. platí: Pro pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou o délce c a s odvěsnami o délkách a, b platí: 1 2 3 4 . 𝐜 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 2 1 3 4 *

Pythagorova věta 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 Důkaz a b b a * 16. 7. 1996 Pythagorova věta Důkaz a b b a 1. Oba velké čtverce mají délky stran a + b c c 𝒃 𝟐 a b c b b  2. Oba čtverce obsahují čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky. 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐  c a c a b c a 3. Vlevo jsou dva čtverce s obsahy 𝒂 𝟐 a 𝒃 𝟐 .  a b a b 4. Součet úhlů a a b je 90° => čtyřúhelník vpravo je čtverec s obsahem 𝒄 𝟐 . 5. Vybarvené části mají stejné obsahy a tudíž platí: 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 = 𝒄 𝟐 *

Pythagorova věta Užití * 16. 7. 1996 Pythagorova věta Užití Vypočítejte délku přepony c v pravoúhlém trojúhelníku ABC, který má délky odvěsen a a b: 1) a = 36 cm; b = 15 cm 2) a = 5,2 dm; b = 8,3 dm 3) a = 3,2 m; b = 17 dm a = 36 cm a = 5,2 dm a = 3,2 m = 32 dm b = 15 cm b = 8,3 dm b = 17 dm c = … cm c = … dm c = … dm 𝐜 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 𝐜 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 𝐜 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 𝐜 𝟐 = 𝟑𝟔 𝟐 + 𝟏𝟓 𝟐 𝐜 𝟐 = 𝟓,𝟐 𝟐 + 𝟖,𝟑 𝟐 𝐜 𝟐 = 𝟑𝟐 𝟐 + 𝟏𝟕 𝟐 𝐜 𝟐 =𝟏 𝟐𝟗𝟔+𝟐𝟐𝟓 𝐜 𝟐 =𝟐𝟕,𝟎𝟒+𝟔𝟖,𝟖𝟗 𝐜 𝟐 =𝟏 𝟎𝟐𝟒+𝟐𝟖𝟗 𝐜 𝟐 =𝟏 𝟓𝟐𝟏 𝐜 𝟐 =𝟗𝟓,𝟗𝟑 𝐜 𝟐 =𝟏 𝟑𝟏𝟑 𝐜= 𝟏 𝟓𝟐𝟏 𝐜= 𝟗𝟓,𝟗𝟑 𝐜= 𝟏 𝟑𝟏𝟑 𝐜=𝟑𝟗 𝐜=𝟗,𝟕𝟗 𝐜=𝟑𝟔,𝟐 𝐜=𝟑𝟗 𝐜𝐦 𝐜=𝟗,𝟕𝟗 𝐝𝐦 𝐜=𝟑𝟔,𝟐 𝐝𝐦 *

Pythagorova věta Užití * 16. 7. 1996 Pythagorova věta Užití Vypočítejte délku úhlopříčky obdélníku, s délkami stran 27 cm a 12 dm. a = 27 cm u a b = 12 dm = 120 cm u = … cm 𝐮 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 b 𝐮 𝟐 = 𝟐𝟕 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎 𝟐 𝐮 𝟐 =𝟕𝟐𝟗+𝟏𝟒 𝟒𝟎𝟎 𝐮 𝟐 =𝟏𝟓 𝟏𝟐𝟗 𝐮= 𝟏𝟓 𝟏𝟐𝟗 𝐮=𝟏𝟐𝟑 𝐮=𝟏𝟐𝟑 𝐜𝐦 Obdélník má úhlopříčku dlouhou 123 cm. *

Pythagorova věta 𝐜 𝟐 𝐚 𝟐 𝐛 𝟐 Užití 𝐜 𝟐 =𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 𝐚 𝟐 =𝐜 𝟐 − 𝐛 𝟐 * 16. 7. 1996 Pythagorova věta Užití Platí-li: 𝐜 𝟐 =𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 𝐜 𝟐 Pak platí také: 𝐚 𝟐 a c 𝐚 𝟐 =𝐜 𝟐 − 𝐛 𝟐 ale též: b 𝐛 𝟐 𝐛 𝟐 =𝐜 𝟐 − 𝐚 𝟐 *

Pythagorova věta Užití * 16. 7. 1996 Pythagorova věta Užití Vypočítejte délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku ABC, znáte-li délku přepony c a druhé odvěsny: 1) c = 75 cm; b = 21 cm 2) a = 4,8 m; c = 8,6 m 3) c = 6 m; a = 37 dm c = 75 cm a = 4,8 m c = 6 m = 60 dm b = 21 cm c = 8,6 m a = 37 dm a = … cm b = … m c = … dm 𝐚 𝟐 = 𝐜 𝟐 − 𝐛 𝟐 𝐛 𝟐 = 𝐜 𝟐 − 𝐚 𝟐 𝐛 𝟐 = 𝐜 𝟐 − 𝐚 𝟐 𝐚 𝟐 = 𝟕𝟓 𝟐 − 𝟐𝟏 𝟐 𝐛 𝟐 = 𝟖,𝟔 𝟐 − 𝟒,𝟖 𝟐 𝐛 𝟐 = 𝟔𝟎 𝟐 − 𝟑𝟕 𝟐 𝐚 𝟐 =𝟓 𝟔𝟐𝟓−𝟒𝟒𝟏 𝐛 𝟐 =𝟕𝟑,𝟗𝟔−𝟐𝟑,𝟎𝟒 𝐛 𝟐 =𝟑 𝟔𝟎𝟎−𝟏 𝟑𝟔𝟗 𝐚 𝟐 =𝟓 𝟏𝟖𝟒 𝐛 𝟐 =𝟓𝟎,𝟗𝟐 𝐛 𝟐 =𝟐 𝟐𝟑𝟏 𝐚= 𝟓 𝟏𝟖𝟒 𝐛= 𝟓𝟎,𝟗𝟐 𝐛= 𝟐 𝟐𝟑𝟏 𝐚=𝟕𝟐 𝐛=𝟕,𝟏𝟒 𝐛=𝟒𝟕,𝟐 𝐚=𝟕𝟐 𝐜𝐦 𝐛=𝟕,𝟏𝟒 𝐝𝐦 𝐜=𝟒𝟕,𝟐 𝐝𝐦 *

Pythagorova věta Užití * 16. 7. 1996 Pythagorova věta Užití Vypočítejte délku výšky rovnoramenného trojúhelníku, s délkami ramen 65 cm a základny 5 dm. a = 65 cm b = 5 dm = 50 cm v = … cm 𝐯 𝟐 = 𝐚 𝟐 − 𝐛 𝟐 𝟐 a a v 𝐯 𝟐 = 𝟔𝟓 𝟐 − 𝟓𝟎 𝟐 𝟐 . b 𝐯 𝟐 =𝟒 𝟐𝟐𝟓−𝟔𝟐𝟓 𝐛 𝟐 𝐯 𝟐 =𝟑 𝟔𝟎𝟎 𝐯= 𝟑 𝟔𝟎𝟎 𝐯=𝟔𝟎 Výška rovnoramenného trojúhelníku je 60 cm. 𝐯=𝟔𝟎 𝐜𝐦 *

Pythagorova věta 𝐜 𝟐 𝐚 𝟐 𝐛 𝟐 Obrácená věta 𝐜 𝟐 =𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 * 16. 7. 1996 Pythagorova věta Obrácená věta Jestliže v trojúhelníku platí, že součet druhých mocnin délek dvou kratších stran je roven druhé mocnině délky nejdelší strany, potom je tento trojúhelník pravoúhlý. 𝐜 𝟐 𝐚 𝟐 a c tj. platí-li v trojúhelníku: 𝐜 𝟐 =𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 b 𝐛 𝟐 je trojúhelník pravoúhlý. *

Pythagorova věta Obrácená věta * 16. 7. 1996 Pythagorova věta Obrácená věta Rozhodněte, zda je trojúhelník s danými délkami stran pravoúhlý. 1) a = 75 mm; b = 1 dm; c = 12,5 cm 2) a = 48 cm; b = 0,5 m; c = 140 mm 3) k = 4,3 m; l = 4 m; m = 1,7 m a = 75 mm = 7,5 cm a = 48 cm k = 4,3 m b = 1 dm = 10 cm b = 0,5 m = 50 cm l = 4 m c = 12,5 cm c = 140 mm = 14 cm m = 1,7 m 𝐜 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 𝐛 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐜 𝟐 𝐤 𝟐 = 𝐥 𝟐 + 𝐦 𝟐 𝟏𝟐,𝟓 𝟐 = 𝟕,𝟓 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐 𝟓𝟎 𝟐 = 𝟒𝟖 𝟐 − 𝟏𝟒 𝟐 𝟒,𝟑 𝟐 = 𝟒 𝟐 + 𝟏,𝟕 𝟐 𝟏𝟓𝟔,𝟐𝟓=𝟓𝟔,𝟐𝟓+𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟓𝟎𝟎=𝟐 𝟑𝟎𝟒+𝟏𝟗𝟔 𝟏𝟖,𝟒𝟗=𝟏𝟔+𝟐,𝟖𝟗 𝟏𝟓𝟔,𝟐𝟓=𝟏𝟓𝟔,𝟐𝟓 𝟐 𝟓𝟎𝟎=𝟐 𝟓𝟎𝟎 𝟏𝟖,𝟒𝟗=𝟏𝟖,𝟖𝟗 △ je pravoúhlý △ je pravoúhlý △ není pravoúhlý *

Pythagorova věta Pythagorova věta na Wikipedii. * 16. 7. 1996 Pythagorova věta Pythagorova věta na Wikipedii. Pár příkladů na procvičení. Pro ty co chtějí přemýšlet a pocvičit si angličtinu. *