Vektorová grafika

Vektorové entity Úsečka Kružnice, elipsa, kruhový oblouk,… Složitější křivky, splajny, Bézierovy křivky, … Plochy Tělesa Modely

Interpolace Křivka prochází přímo zadanými body

Interpolace polynomem Lineární – 2 body Kvadratická – 3 body Polynom n-tého stupně – n+1 bodů

Lineární interpolace

Kvadratická interpolace

Interpolace polynomem 4 stupně Interpolované body: (-2,4) (-1,0) (0,3) (1,1) (2,-5) Rovnice: 16a -8b +4c -2d + e = 4 a - b + c -d +e = -3 e = 3 a + b + c + d +e = 1 16a +8b +4c +2d +e =-5 Řešení: a=0.458 b=-0.75 c=-2.95 d=1.25 e=3 Funkce: 0.458*x^4-0.75*x^3-2.95*x^2+1.25*x+3

Spline křivka Křivka se skládá z úseků vyjádřených polynom nižšího stupně, než odpovídá počtu bodů. Křivky na sebe v hraničních bodech hladce navazují

Lineární „spline“ Polynomy prvního stupně. V hraničních bodech na sebe navazují spojitě. Není zaručena spojitost ani první derivace. Česky se tomu říká lomená čára

Kvadratický spline Křivka jsou úseky parabol. V hraničních bodech na sebe paraboly hladce navazují – mají spojitou první derivaci. Další derivace nemusí být (a obvykle nejsou) spojité. Je nejpoužívanější, pokud se řekne jen spline, myslí se obvykle kvadratický spline (viz AutoCAD)

Kvadratický spline

Spline křivky vyšších stupňů Kubický – funkce po částech 3-tího stupně (kubika), zaručuje spojitost první a druhé derivace Obecný (n-tého stupně), zaručuje spojitost (n-1). derivace.

Aproximační křivky Nemusí procházet přímo zadanými body. Formálně lze za aproximační křivku považovat libovolnou křivku. Problém je nalézt takové vyjádření, které bude Jednoduché Bude dostatečně dobře aproximovat danou křivku

Aproximace metodou nejmenších čtverců Zvolím typ funkce (obvykle polynom nižšího stupně, než by byl potřeba pro interpolaci bodů). Vypočítám takové parametry, aby součet čtverců odchylek v zadaných bodech byl minimální. ∑(yi-f(xi))2→ min

Metoda nejmenších čtverců

Bézierova aproximace (Bézierova křivka) Aproximace polynomem daného stupně n-tý stupeň pro n+1 bodů P0,P1,…,Pn Křivka prochází krajními body P0 a Pn Tečna v počátečním bodě P0 je rovnoběžná s vektorem P0P1. Tečna v koncovém bodě Pn je rovnoběžná s vektorem Pn-1 Pn Celá křivka leží v konvexním obalu bodů P0, … ,Pn

Vyjádření Bézierovy křivky

Lineární Bézierova křivka B(t) = (1-t).P0 + t.P1 Parametrická rovnice úsečky

Kvadratická Bézierova křivka B(t) = (1-t)2P0 + 2t(1-t)P1 + t2P2

Kubická Bézierova křivka B(t) = (1-t)3P0 + 3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t)P2 + t3P3

Bézierovy křivky vyšších řádů Příklad vzorce pro křivku 5.stupně

B-spline Úseky Bézierových křivek nižších stupňů (obvykle kvadratické a kubické křivky) budou v krajních bodech na sebe hladce navázány.

Příklad B spline křivky 6 řídících bodů → 2 paraboly (2 Bézierovy křivky 2, stupně)

Zobrazování

Modelování a zobrazování Obraz(y) modelu model Realita (sutečnost) modelování Zobrazování (vizualizace)

Promítání Zobrazení Φ: Rn→ Rk n>k Konkrétní situace pro 3D grafiku Φ: R3→ R2 Promítání je určeno Středem (může být i nevlastní -v nekonečnu) Promítací rovinou

Promítání rovnoběžné Střed promítání v nekonečnu Promítací paprsky navzájem rovnoběžné Směr paprsků určen dvěma úhly (azimut,zenit)

Perspektiva Střed promítání vlastní

Drátěný „model“

Řešení viditelnosti hran

Řešení viditelnosti hran

Prosté zobrazení všech bodů tělesa

Stínování (render) pozorovatel Zdroj světla Promítací rovina Úhel α

Stínování

Typy zdrojů světla Bodové Bodové se směrovanými paprsky (obvykle do tvaru kužele) Plošné (obvykle aproximováno maticí bodových zdrojů) Rozptýlené (ambientní)

Sledování paprsku (Ray Tracing) Zrcadlový odraz Zdroje světla Promítací rovina Difusní odraz Paprsek prochází tělesem

Co se může stát s paprskem Je pohlcen tělesem (barva tělesa) Odrazí se Zrdcadlově (lesklost) Difusně Kombinovaně Projde tělesem Rovně (průhlednost) Se zlomem

Radiozita Ei = zi + oi * ∑vijej