Geometrické znázornění kmitů Skládání kmitů 5.2 Vlnění Popis vlnění 5. Kmity a vlnění 5.1 Harmonické kmity Netlumený kmit Tlumený kmit Vynucený kmit Geometrické znázornění kmitů Skládání kmitů 5.2 Vlnění Popis vlnění Harmonické vlnění Vlnová rovnice Rychlost šíření vlnění Intenzita vlnění Fyzika I-2015, přednáška 6

rovnovážná poloha, položíme x = 0 lin. návratná síla 𝐹 𝑥 =−𝑘𝑥 5. Kmity a vlnění Netlumený kmit rovnovážná poloha, položíme x = 0 lin. návratná síla 𝐹 𝑥 =−𝑘𝑥 pohyb. funkce 𝑥 𝑡 =𝐴 cos 𝜔𝑡+𝜑 průběh pohyb. funkce: analytické vyjádřeníí grafické znázornění Fyzika I-2015, přednáška 6

Vynucené kmity 𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 𝐹 0 cos Ω𝑡 lin. návratná + tlumicí + další periodická síla 𝐹 0 , Ω … amplituda, úhlová frekvence vnější periodické síly pohyb. rovnice stacionární řešení: 𝐵 …amplituda vynucených kmitů, Ω …kruhová frekvence vyn. kmitů 𝛼 …počáteční fáze vyn. kmitů konstanty – substitucí: rezonance : (2δ= 𝑏 𝑚 , 𝜔 0 = 𝑘 𝑚 , 𝐹= 𝐹 0 𝑚 ) 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 +2δ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝜔 0 2 𝑥=𝐹 cos Ω𝑡 d=0 𝑥(𝑡)=𝐵 cos Ω𝑡+𝛼 d1 d2 𝐵= 𝐹 𝜔 0 2 − Ω 2 2 +4 𝛿 2 Ω 2 d3 Ω 𝑟 = 𝜔 0 2 −2 𝛿 2

Geometrické znázornění kmitů pohyb. funkce lin. harm. oscilátoru: pro skládání kmitů – jednodušší popis → komplexní čísla tabule geometrické vyjádření kmitů vztah geometr. a graf. vyjádření 𝑥 𝑡 =𝐴 cos 𝜔𝑡+𝜑 → 𝐴 … fázor

* Skládaní kmitů skládání kmitů: grafické, analytické, geometrické Skládání rovnoběžných kmitů více lin. návrat. sil podél osy x: a) dva kmitz se stejnou frekvencí: w1 = w2 výsledná úhl. frekvence w =w1 = w2 výsledná amplituda: speciální případ: fáz. rozdíl j1 –j2 = 0°, 180°, 90° … počáteční fáze výsl. kmitu: * sčítání grafů sčítání goniometr. funkcí sčítání fázorů 𝑥 𝑡 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 (𝑡) t = 0 𝑥 1 𝑡 = 𝐴 1 cos 𝜔 1 𝑡+ 𝜑 1 𝐴 1 𝑥 2 𝑡 = 𝐴 2 cos 𝜔 2 𝑡+ 𝜑 2 𝐴 2 𝐴= 𝐴 1 2 + 𝐴 2 2 +2 𝐴 1 𝐴 2 cos ( 𝜑 2 − 𝜑 1 ) ve fázi v opačné fázi tan 𝜑= 𝐴 1 sin 𝜑 1 + 𝐴 2 sin 𝜑 2 𝐴 1 cos 𝜑 1 + 𝐴 2 cos 𝜑 2

Skládání rovnoběžných kmitů b) s různou frekvencí před.: A1 = A2 , n1, n2 … malá celá čísla volba času, aby j1 = j2 = j výsledná amplituda: … se mění s kr. frekvencí úhl. frekvence výsl. kmitu: 𝑓 1 𝑓 2 = 𝑇 2 𝑇 1 = 𝑛 1 𝑛 2 𝑥 1 𝑡 = 𝐴 1 cos 𝜔 1 𝑡+𝜑 𝐴 1 𝑥 2 𝑡 = 𝐴 1 cos 𝜔 2 𝑡+𝜑 𝐴 2 𝐴=2 𝐴 1 cos 𝜔 2 − 𝜔 1 2 𝑡 𝜔= 1 2 𝜔 2 − 𝜔 1 𝜔= 𝜔 2 + 𝜔 1 2 poč. fáze výsl. kmitu: j výsledný kmit: 𝑥 𝑡 = 2𝐴 1 cos 𝜔 2 − 𝜔 1 𝑡 2 cos 𝜔 1 + 𝜔 2 2 𝑡+𝜑 Fyzika I-2015, přednáška 6

f >>fm frekvence kmitu >> modulační frekvence typický průběh funkce změny amplitudy …modulační frekvence frekvence rázů f >>fm frekvence kmitu >> modulační frekvence 𝑥 𝑡 = 2𝐴 1 cos 𝜔 2 − 𝜔 1 𝑡 2 cos 𝜔 1 + 𝜔 2 2 𝑡+𝜑 𝑓 𝑚 = 1 2 𝑓 2 − 𝑓 1 𝑓 𝑟 = 𝑓 2 − 𝑓 1 Fyzika I-2015, přednáška 6

Skládání kolmých kmitů kmit podél osy x, kmit podél osy y, stejná frekvence w1 = w2 w1/ w2 = n2/n1 malá celá čísla…Lissajousovy obrazce a) j2 - j1 = j = 0 b) j2 - j1 = p/2 c) j2 - j1 = p Fyzika I-2015, přednáška 6

n1… počet dotykových bodů se stranou rovn. s osou x např. w1/ w2 = n2/n1 =3/2, n1… počet dotykových bodů se stranou rovn. s osou x n2… počet dotykových bodů se stranou rovn. s osou y Fyzika I-2015, přednáška 6

Vlnění – šíření rozruchu prostorem rozruch = kmit → postupné vlnění příklady: vlna na hladině, zvuk, elektromagnetické vlnění (světlo, radiové vlny, rentgenové záření..) Vlnění – šíření rozruchu prostorem rozruch = kmit → postupné vlnění kmit X vlnění vlnění společný popis mechanické – zdroj, hmotné prostředí, mechanismus přenosu elektromagnetické – zdroj, nepotřebuje hmotné prostředí Fyzika I-2015, přednáška 6

Popis harmonického vlnění Cíl: matematické vyjádření vlnění rozruch: harmonický kmit šíření jednorozměrným útvarem → Pojmy: frekvence vlnění f – frekvence harmonické kmitu, tj. zdroje rychlost šíření (fázová rychlost) v – rychlost, s jakou se rozruch šíří vlnové délka l – minimální vzdálenost mezi dvěma body, které kmitají se stejnou fází Zdroj: harmonický kmit v počátku souřadnicového systému, šíření rozruchu podél osy x počáteční fáze kmitu j = 0 jednorozměrné vlnění Fyzika I-2015, přednáška 6

(výchylka v bodě x v čase t) = (výchylka v bodě x = 0 v čase t – t = t – x/ v) 𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴 cos 𝜔 𝑡− 𝑥 𝑣 vlnová funkce funkce polohy a času l vlna „se posouvá“, ale nedochází k transportu hmoty ve směru šíření vlnové délka l – nejmenší vzdálenost dvou bodů, které kmitají ve stejné fázi 𝜆= 𝑣 𝑓 =𝑣𝑇 vzdálenost, kterou vlnění urazí za jednu periodu t = t1

Různé zápisy vlnové funkce: Další vlastnosti vlnění směr šíření: šíření v záporném směru osy x: 𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴 cos 𝜔 𝑡− 𝑥 𝑣 𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴 cos 2𝜋 𝑡 𝑇 − 𝑥 𝜆 𝑘≡ 2𝜋 𝜆 𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴 cos 𝜔𝑡−𝑘𝑥 … vlnové číslo 𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴 cos 𝜔 𝑡+ 𝑥 𝑣 Fyzika I-2015, přednáška 6

vlnění podle směru výchylky šířeného kmitu příčné … výchylka kolmo ke směru šíření (např. elmag. vln.) podélné … výchylka rovn. se směrem šíření (např. zvuk) nepolarizované – kmit ve všech směrech v rovině kolmé ke směru šíření lineárně polarizované – postupující kmit v jedné rovině Fyzika I-2015, přednáška 6

E … Youngův modul pruž. v tahu Vlnová rovnice = vztah, který splňuje funkce, aby popisovala vlnění derivujeme vln. funkci vlnová rovnice: Rychlost šíření vlnění závisí na setrvačných a elastických vlast. prostředí 𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴 cos 𝜔 𝑡− 𝑥 𝑣 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 … jednorozměrná, pro u(x,t) … třírozměrná, pro u(x, y, z, t) 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑧 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 Δ𝑢= 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 D … Laplaceův operátor 𝑣= 𝐾 𝜌 K … modul obj. pruž. r … obj. hustota 𝑣= 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑘é 𝑣𝑙𝑎𝑠𝑡𝑛𝑜𝑠𝑡𝑖 𝑠𝑒𝑡𝑟𝑣𝑎č𝑛é 𝑣𝑙𝑎𝑡𝑛𝑜𝑠𝑡𝑖 zvuk v plynu: 𝑣= 𝐸 𝜌 E … Youngův modul pruž. v tahu zvuk pruž. tyči: Fyzika I-2015, přednáška 6

Intenzita vlnění Intenzita vlnění – číselně energie přenesená za jedn. času jedn. plochy 𝐼= 𝑃 𝑆 Fyzika I-2015, přednáška 6

vlnění nepřenáší hmotu, ale přenáší energii 𝐼= 1 2 𝜌𝑣 𝜔 2 𝑠 𝑚 2 Intenzita ~ čtverci amplitudy ~ čtverci frekvence ~ rychlosti šíření jedn. W m-2 vlnění nepřenáší hmotu, ale přenáší energii Fyzika I-2015, přednáška 6

vzniká superpozicí vlnění jdoucích proti sobě, např. podél osy x Stojaté vlnění vzniká superpozicí vlnění jdoucích proti sobě, např. podél osy x uzly – nulová amplituda vlnění ve směru +x: kmitny – maximální amplituda vlnění ve směru –x: Fyzika I-2015, přednáška 6

vlastní frekvence ve struně upevněné na obou koncích Př. na stojaté vlnění vlastní frekvence ve struně upevněné na obou koncích f1 … fundamentální frekvence f2 … 1. harmonická f3 … 2. harmonická 𝑓 𝑘 = 𝑣 2ℓ 𝑘, 𝑘=1,2,… vlastní frekvence Fyzika I-2015, přednáška 6

koherentní zdroje – fázový rozdíl konstantní Interference vlnění skládání (superpozice) vlnění – výsl. výchylka v bodě, kam dorazí více vlnění, je vektor. součtem jednotlivých výchylek koherentní zdroje – fázový rozdíl konstantní superposice vlnění z koherentních zdrojů → interference ≡ výsledná intenzita není prostým součtem intenzit jednotlivých vlnění tabule Interference Dráhový rozdíl r2 - r1 Fázový rozdíl D konstruktivní, maximální zesílení intenzity k l k 2p destruktivní, zeslabení na nulovou hodnotu intenzity (2k+1) l/2 (2k+1) p Fyzika I-2015, přednáška 6

Před. : 2 zdroje podle obr., f1 = f2 = f, A1 = A2 Interference vlnění Před. : 2 zdroje podle obr., f1 = f2 = f, A1 = A2 lineárně polarizované kolmo k nákr. v čase t = 0 ve stejné fázi homogenní prostředí výsledek skládání kmitů v bodě P: a) konstruktivní interference A je maximální b) destruktivní interference A je minimální (= 0) =A Fyzika I-2015, přednáška 6

maximální zesílení intenzity k l k 2p Interference vlnění Interference Dráhový rozdíl r2 - r1 Fázový rozdíl D konstruktivní, maximální zesílení intenzity k l k 2p destruktivní, zeslabení na nulovou hodnotu intenzity (2k+1) l/2 (2k+1) p Fyzika I-2015, přednáška 6

6. Optika Fyzika I-2015, přednáška 6