Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/ Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora - Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko. NÁZEV MATERIÁLU: Geometrická posloupnost Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2013

Geometrická posloupnost

Osnova a)pojem geometrická posloupnost b)vzorce + ukázkové příklady c)příklady na procvičení včetně řešení

Geometrická posloupnost posloupnost nazýváme geometrickou, právě když existuje reálné číslo q, že pro každé přirozené číslo n je a n+1 = a n. q této hodnotě se říká kvocient; značí se - q např. q = 3 posloupnost 1, 3, 9, 27, 81, stejná hodnota 3

Vzorce + ukázkové příklady vzorec pro výpočet dalšího členu pomocí předcházejícího a kvocientu a n+1 = a n. q Př. a 1 = 3 ; q = 4 ; a 2 = ? ; a 3 = ? a 2 = a 1. 4 a 3 = a 2. 4 a 2 = 3. 4 a 3 = a 2 = 12 a 3 = 48 vzorec pro výpočet libovolného členu pomocí prvního členu a kvocientu a n = a 1.q n - 1 Př. a 1 = -7 ; q = -2 ; a 5 = ? a n = a 1. q n-1 a 5 = -7. (-2) 5-1 a 5 = -7. (-2) 4 a 5 = a 5 = - 112

Vzorce + ukázkové příklady vzorec pro výpočet libovolného členu pomocí nějaké členu a kvocientu a s = a r. q s - r Př. a 3 = -2 ; a 7 = - 32; q = ? a 7 = a 3. q = - 2. q 4 / : (-2) 16 = q 4 / 2 = q 1 -2 = q 2 pozn.: sudá odmocnina kladného čísla výsledek: 3 a -3 lichá odmocnina kladného čísla výsledek: 2 sudá odmocnina záporného čísla výsledek: NŘ v reál.číslech lichá odmocnina záporného čísla výsledek: - 4 !!!

Vzorce + ukázkové příklady vzorec pro součet konečného počtu členů geometrické posloupnosti S n = Př. a 1 = 20 ; q = ; n = 10 ; S n = ? S 20 = S 20 = =

Příklady na procvičení př. 1: Určete tři členy a a 8 GP, když a 1 = 2; q = 3. Řešení př. 2: Určete první člen a kvocient v GP, když a 3 = 8; a 7 = 128. Řešení př. 3: Určete první člen a kvocient v GP, když a 4 = 3; a 7 = Řešení př. 4: Řešte: a 1 = - 6; q = 2; S 10 = ? Řešení přeskočit

Řešení př. 1: a 1 = 2 ; q = - 3 ; a 2 = ? ; a 3 = ? ; a 8 = ? a 2 = a 1. q a 3 = a 2. q a 2 = 2. (-3) a 3 = - 6. (-3) a 2 = - 6 a 3 = 18 a n = a 1. q n-1 a 8 = 2. (-3) 8-1 a 8 = 2. (-3) 7 a 8 = 2. (-2187) a 8 = zpět

Řešení př. 2: a 3 = 8 ; a 8 = 128 ; a 1 = ? ; q = ? a r = a s. q r-s q 1 = 2 q 1 = - 2 a 7 = a 3. q 7-3 a n = a 1. q n-1 a n = a 1. q n = 8. q 4 / : 8 a 7 = a 1. q 7-1 a 7 = a 1. q = q 4 / 128 = a = a 1. (-2) 4 2 = q = a /: = a /: = q 2 8 = a 1 8 = a 1 pozn.: sice členy a 1 vycházejí pro q 1 i q 2 stejně (a 1 = 8), ale když bychom třeba řešili člen a 4, tak pro q 1 nám bude vycházet a 4 = 64, ale pro q 2 to bude a 4 = -64 zpět

Řešení př. 3: a 4 = 3 ; a 7 = - 81 ; a 1 = ? ; q = ? a r = a s. q r-s q = - 3 a 7 = a 4. q 7-4 a n = a 1. q n = 3. q 3 / : 3 a 7 = a 1. q = q 3 / - 81 = a 1. (-3) = q - 81 = a /: = a 1 zpět

Řešení př. 4: a 1 = - 6 ; q = 2 ; S 10 = ? zpět

Shrnutí geometrická posloupnost -zvětšuje či zmenšuje se neustále o stejný násobek či podíl – tzv. kvocient vzorce a n+1 = a n. q a n = a 1.q n – 1 a s = a r. q s – r

Zdroje HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., Učebnice pro střední školy. ISBN