Téma 7, ODM, prostorové a příčně zatížené prutové konstrukce Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Výpočtový model prostorové konstrukce Tvorba výpočtového modelu Analýza prutu Prut roštového typu Příklad řešení příčně zatíženého rámu Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Prostorová prutová soustava Prostorové prutové soustavy nesplňují alespoň některou u těchto podmínek: střednice všech prutů leží v rovině soustavy (RS) jedna z hlavních rovin každého prutu leží v RS funkční roviny kloubů splývají s RS každá jednoduchá vnější vazba buď leží v RS (nebo je kolmá – u příčně zatížených konstrukcí) veškerá zatížení působí v RS (nebo kolmo u PZK)

Poloha prutu v prostoru [1] Prutovou soustavu umísťujeme v globálním souřadném systému s osami x, y a z Poloha prutu je jednoznačně určena osou prutu a bodem určujícím s osou prutu jednu jeho hlavní rovinu (bod c) Lokální souřadný systém má počátek v bodě a prutu. Osou prutu prochází lokální osa x*, 1. hlavní rovina lokálními osami x*, y*, 2. hlavní rovina lokálními osami x*, z*.

Tvorba výpočtového modelu Vychází ze stejných zásad jako u rovinné prutové konstrukce Monolitický styčník má v prostoru 6 stupňů volnosti Kladné směry globálních parametrů deformace vyplývají z obrázku Kloubový styčník (dokonalý kloub) umožňuje pootáčení v libovolné rovině, má jen tři nenulové globální složky posunutí, ui, vi, wi Kloubové připojení prutu k monolitickému styčníku má v prostoru více variant dle funkční roviny (funkčních rovin) kloubu(ů)

ODM, stupeň přetvárné neurčitosti prostorové prutové soustavy Stejně jako u rovinné soustavy je np roven celkovému počtu neznámých parametrů deformace soustavy. U nevázaného monolitického uzlu (bez vnějších vazeb) je to vždy šestice parametrů. U čistě kloubového uzlu (bez vnějších vazeb) jsou to minimálně tři parametry.

ODM, analýza prutu, přímý oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru Vektor výsledných globálních složek koncových sil prutu ab:

ODM, analýza prutu, přímý oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru, pokračování Vektor primárních globálních složek koncových sil prutu ab: Vektor globálních složek deformace prutu ab: Pro výsledný globální vektor koncových sil platí již známý vztah:

ODM, analýza prutu, přímý oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru, pokračování Lokální uzlové parametry deformace:

ODM, analýza prutu, přímý oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru, pokračování Lokální vektory výsledných a primárních složek koncových sil:

ODM, analýza prutu, přímý oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru, pokračování Příklady zatížení prutu: n vyvolává X*ab , X*ba , qz vyvolává Z*ab , Z*ba , M*y,ab , M*y,ba , qy vyvolává Y*ab , Y*ba , M*z,ab , M*z,ba , mx vyvolává M*x,ab , M*x,ba .

ODM, analýza prutu v prostoru, prvky primárního vektoru koncových sil v LSS Prvky primárního vektoru R*ab od zatížení v rovině x*z* (Z*ab , Z*ba M*y,ab M*y,ba) a od zatížení v ose prutu x* (X*ab , X*ba) se shodují s prvky primárního vektoru pro rovinné rámy. Prvky od zatížení v rovině x*y* (Y*ab , Y*ba M*z,ab M*z,ba) se určí analogicky. Vzhledem ke znaménkové konvenci mají však složky (M*z,ab M*z,ba) opačná znaménka.

ODM, analýza prutu v prostoru, prvky primárního vektoru koncových sil v LSS Složky koncových sil M*x,ab a M*x,ba se určí silovou metodou. Pro konstantní průřez platí:

ODM, analýza prutu v prostoru, prvky primárního vektoru koncových sil v LSS Pro oboustranně monoliticky připojený prizmatický prut ab zatížený dle obr. je primární vektor koncových sil v LSS:

ODM, analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně monoliticky připojeného prutu Zatížení prutu ab v LSS v prostoru lze rozdělit na zatížení působící: v ose prutu  X*ab , X*ba (uplatní se A) v rovině x*z*  Z*ab , Z*ba , M*yab , M*yba (uplatní se Jy) v rovině x*y*  Y*ab , Y*ba , M*zab , M*yzba (uplatní se Jz) kolem osy x *  M*x,ab , M*xba (uplatní se Jt) Při sestavování matice tuhosti k*ab lze využít pro ad1) a ad2) matici tuhosti pro rovinné konstrukce, pro ad3) při zvážení znaménkové konvence také, pro ad4) nutno řešit vliv kroucení.

ODM, analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně monoliticky připojeného prutu Sekundární kroutící momenty jsou indukovány pootočením ja a jb. V matici tuhosti k*ab představuje příslušný koeficient kij moment, který vyvolává jednotkové potočení. Platí tedy

ODM, analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně monoliticky připojeného prutu

ODM, analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně monoliticky připojeného prutu [1]

ODM, analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně kloubově připojeného prutu

Prut v prostorové příhradové konstrukci

Výpočet směrových úhlů

Oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru [1] Poloha hlavní roviny x* z* je určena přímkou ab a bodem c [xc, yc, zc]. Globální osa x svírá s osami x*, y* a z* úhly ai (i=1, 2, 3), osa y bi a osa z gi.

ODM, transformační matice v prostoru Transformační matice Tab je 12. řádu.

ODM, určení směrových kosinů prutu v prostoru z globálních souřadnic tří bodů Směrové kosiny a1, b1, c1, se určí stejně jako u prutu příhradové konstrukce v prostoru: 2. Z obecné rovnice roviny A(x-xa)+B(y-ya)+C(z-za)=0 procházející bodem a se po postupném dosazení souřadnic bodů b, a c vypočtou konstanty A, B, a C: Osa y* je je normálou k rovině, její směrové kosiny proto vyplývají ze vztahů:

ODM, určení směrových kosinů prutu v prostoru z globálních souřadnic tří bodů 3. Pro směrové kosiny osy z* platí podmínka ortogonality: 4. Určením směrových kosinů z globálních souřadnic bodů a, b, a c lze určit transformační matici Tab a inverzní matici:

ODM, převodní transformační vztahy s maticemi pro prut v prostoru Tyto vztahy jsou obecně stejné jako pro rovinné rámové konstrukce:

ODM, řešení roštů Rošt je pravoúhlá nebo kosoúhlá rovinná soustava prutů, která je zatížena kolmo na rovinu roštu. Leží-li rošt v rovině určené globálními osami xy, pak v něm nevznikají složky sil ve směru těchto os a momenty Mz. Totéž platí o posunutích u, v, a o potočení jz. V prutu ab roštového typu vznikají koncové síly a parametry deformace

Příklad roštové konstrukce [1]

Řešení roštů x y z jx jy w Lokální vektor koncových sil prutu: Globální vektor parametrů deformací prutu: jx w jy

Řešení roštů Lokální matice tuhosti prutu: Globální matice tuhosti prutu:

Rošt – lokální matice tuhosti prutu X* Y* Z* Mx* My* Mz*

Rošt – lokální matice tuhosti prutu X* Y* Z* Mx* My* Mz*

Rošt – lokální matice tuhosti prutu X* Y* Z* Mx* My* Mz*

Rošt – lokální matice tuhosti prutu Z* Mx* My* Z* My*

Rošt – transformační matice X* Y* Z* Mx* My* Mz*

Rošt – transformační matice X* Y* Z* Mx* My* Mz*

Rošt – transformační matice X* Y* Z* Mx* My* Mz*

Rošt – transformační matice Z* Mx* My* Z* My*

Příklad – rošt, zadání 3 2 2 2 1 4 1 3 1 2 1 1

Příklad – rošt, zadání 3 (0 4 0) 2 2 (0 0 0) 2 1 4 1 (1 2 3) 3 1 2 1 1

Příklad – rošt,průběhy vnitřních sil posouvající síly - V _ 13,01 10,01 -4,47 7,01 3,53 + + 1,01 _ -12,51 -12,51

Příklad – rošt,průběhy vnitřních sil kroutící momenty- T 0,72 + -0,57 _ _ + 0,38 0,38

Příklad – rošt,průběhy vnitřních sil ohybové momenty- M -11,91 + -11,68 2,5 _ -0,4 0,95 _ 1,01 -4,16 + 0,84 7,63 8,35

Použitá literatura [1] Kadlčák, J., Kytýr, J., Statika stavebních konstrukcí II. Staticky neurčité prutové konstrukce. Učebnice, druhé vydání. VUTIUM, Brno 2004.