Pokročilá fyzika C803/C710 fIIp_02 Za tajemstvím kontinua http://stein.upce.cz/msfIIp14.html Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029 7. 1. 2015

Hlavní body Úvod do mechaniky kontinua Hydrostatika ideálních kapalin Základní rovnice hydrostatiky, zákony Pascalův a Archimédův. Hydrodynamika ideálních kapalin Popis proudící kapaliny Zachování množství, hybnosti a energie – Bernoulliho r. Reálné kapaliny Newtonovské kapaliny - viskozita Základy reologie ne-Newtonovské kapaliny, viskoelastické chování 7. 1. 2015

Soustřeďte se na tyto otázky Jak je definováno mechanické napětí? Jak je definována deformace? Jakými oblastmi prochází závislost mech. napětí na deformaci? Jakým směrem a jak se mění tlak v tekutinách? Jaké veličiny se zachovávají v proudící ideální kapalině? Co je to Newtonovská kapalina a jak je definována její viskozita? 7. 1. 2015

Pružnost I Z vzájemného působení součástek hmoty, které jsme si přiblížili pomocí potenciálové jámy, je patrné, že tělesa nemohou být dokonale tuhá. Jejich tvar v každé situaci odpovídá jisté rovnováze vnějších a vnitřních sil. Změnou působení vnějších sil se mění síly uvnitř. Snaží se vyrovnat účinek této změny. Výsledkem je nová rovnováha odpovídající stavu napjatosti. 7. 1. 2015

Pružnost II Vzájemné působení může být velmi složité a existují látky s bizardními vlastnostmi. Naše potenciálová jáma je zjednodušení, zhruba fungující pro velké množství látek. Zatím přijměme tvrzení, že velmi malé deformace jsou elastické a tedy těleso se po vymizení vnějších sil, vrátí do původní rovnováhy. Zaveďme si vhodně veličiny, které jsou ve hře: 7. 1. 2015

Napětí I Experiment ukazuje, že pro deformační účinek je rozhodující veličinou působící síla, vztažená na jednotku plochy, na kterou působí tzv. mechanické napětí Jednotkou napětí je 1 Pascal [Pa]=Nm-2 Hydrostatický tlak je speciální druh napětí. 7. 1. 2015

Napětí II Odezva látek může být komplikovaná, ale i u nejjednodušších látek (homogenních a izotropních) je rozdílná nejméně v tečném a normálovém směru. Proto má význam rozkládat napětí alespoň na normálové a tečné: 7. 1. 2015

Deformace Odezva látek je vždy úměrná rozměru před deformací, proto je užitečné ji k tomuto původním rozměru vztáhnout. Podle typu deformace používáme například relativní prodloužení Střih dx dy stlačení 7. 1. 2015 v

Závislost napětí na deformaci Průběh namáhání látek se obvykle zobrazuje jako závislost napětí na deformaci (nebo obráceně). Má následující oblasti a meze: úměrnosti ... zde platí Hookův zákon elasticity ... návrat do původního tvaru plasticity ... zůstává trvalá deformace kluzu ... velká změna chování pevnosti ... porušení materiálu 7. 1. 2015

Závislost napětí na deformaci  oblast tečení mez pevnosti elastická oblast plastická oblast p E H oblast proporcionality – zde platí Hookův zákon  7. 1. 2015

Hookův zákon I Pro velmi malé (přesně nekonečně malé) deformace potom například platí : Veličiny E, G a K jsou tzv. moduly, vyjadřují odpor vůči deformaci a u pevných látek mají značně velké hodnoty ~1010 Pa. v 7. 1. 2015

Hookův zákon II Moduly se nazývají : E …Youngův modul pružnosti v podélném prodloužení G … Youngův modul pružnosti ve smyku K … modul objemové pružnosti Často se používají i reciproké hodnoty modulů. Vyjadřují samozřejmě poddajnost materiálů a jsou typicky velmi malé. 7. 1. 2015

Hookův zákon III Podélná deformace je doprovázena deformací příčnou Například podélné prodloužení Δl tyčky l0 je vždy doprovázeno zkrácením Δa každého příčného rozměru a : V hookovské oblasti je relativní příčné zkrácení  přitom úměrné podélnému napětí a tedy i podélné deformaci : 7. 1. 2015

Hookův zákon IV Změna v příčném směru je charakterizována dalším materiálovým parametrem  nebo m : Poissonova konstanta: m = / Poissonovo číslo (poměr):  = 1/m = / Velké Poissonovo číslo znamená relativně velkou příčnou deformaci 7. 1. 2015

*Hookův zákon V Existuje souvislost mezi ději ve směru namáhání a ve směru k namáhání kolmém. zde m je Poissonova konstanta a  její reciproká hodnota tzv. Poissonovo číslo. Pro součinitel objemové stlačitelnosti platí : 7. 1. 2015

Deformace neizotropních látek I V obecném případě neizotropních těles je nutné napětí i deformaci vyjádřit pomocí symetrických tenzorů druhého řádu  a . ij je j-tá složka napětí působící na plošku kolmou k ose i. pq je výchylka plošky kolmé k ose p ve směru osy q. 7. 1. 2015

Deformace neizotropních látek II Zobecněný Hookův zákon je možné vyjádřit jako: ij = Cijpq pq Cijpq je obecně 36 nezávislých elastických parametrů. Každá symetrie materiálu znamená i symetrií v C, tedy nějakou vzájemnou relaci, čili i snížení počtu nezávislých materiálových parametrů. Nejtriviálnější je symetrie vůči záměně dvojic ij a pq. Ta snižuje počet nezávislých parametrů na 21. Tento počet odpovídá monokrystalům v triklinické soustavě. Amorfní nebo polykrystalické látky se chovají jako izotropní a zůstávají u nich jen dva parametry E a G. 7. 1. 2015

Úvod do mechaniky tekutin I Tekutiny je společný název pro kapaliny a plyny. Přitažlivé síly v nich jsou kohézního charakteru. Mají společný téměř nulový modul ve smyku. Díky tomu snadno mění tvar. Relativně lehce se rozdělují. Na rozdíl od plynů jsou kapaliny téměř nestlačitelné. V případě, že se neprojevují efekty, které souvisí s existencí atomové struktury, lze tekutiny, podobně jako pevné látky považovat za tak zvané kontinuum – spojité prostředí. 7. 1. 2015

Tekutiny II Z hlediska elastických vlastností lze tekutiny definovat následovně: kapaliny ... K velmi veliké, G malé plyny ... K konečné dané EOS, G malé 7. 1. 2015

Tekutiny III Pro odhalení základních mechanických vlastností kapalin a plynů je vhodné začít od ideální kapaliny a později zavádět korekce, popisující reálnější chování například viskozitu a stlačitelnost. Ideální kapalina má K nekonečné a G nulové. Čili ideální kapalina je nestlačitelná, ale neexistují v ní smyková napětí ani deformace. 7. 1. 2015

Hydrostatika ideální kapaliny I Hydrostatika se zabývá kapalinami nebo plyny v rovnováze, bez ohledu na to, jak a za jak dlouho k ní dojde (např. smůla na stromě není v rovnováze). Budeme nejprve uvažovat ideální a tedy dokonale nestlačitelnou kapalinu, navíc homogenní a izotropní. Je pohodlné charakterizovat kapalinu fyzikálními veličinami vztaženými na jednotku objemu, tedy hustotami fyzikálních veličin. 7. 1. 2015

Hydrostatika ideální kapaliny II Nejběžnější jsou : hustota  je hmotnost na jednotku objemu :  = m/V, [] = kg m-3 hustota působících sil , tedy síla na jednotku objemu : , [f] = N m-3 tlak p lze chápat jako hustotu tlakové energie : [p] = N/m2 = J/m3 7. 1. 2015

*Základní rovnice hydrostatiky I Pro tenzor napětí u ideální kapaliny platí jednoduše Pascalův zákon : ij=-pij. ij je tzv. Croneckerovo delta. Nabývá dvou hodnot: ij=1 pro i=j nebo ij=0 pro ij. p = F/S [Pa] je tlak - normálové napětí. Budeme upravovat základní vztah pro rovnováhu kontinua : 7. 1. 2015

*Základní rovnice hydrostatiky II Po dosazení za tenzor napětí platí : Síla působí ve směru největší změny tlaku nebo naopak největší změna tlaku je ve směru působící síly. Jde-li speciálně o sílu vytvořenou polem majícím potenciál 7. 1. 2015

Základní rovnice hydrostatiky III Tedy: A konečně po integraci obdržíme : Tuto rovnici lze iterpretovat tak, že místa stejného tlaku leží na ekvipotenciálních plochách a s poklesem potenciálu = růstem hloubky se tlak zvětšuje. 7. 1. 2015

Základní rovnice hydrostatiky IV Všechna rozhraní kapalin, samozřejmě včetně hladiny, která je rozhraním kapaliny a plynu, jsou tedy ekvipotenciální plochy. Hladiny nejsou ve skutečnosti zcela vodorovné : Kopírují například zemský povrch a sledují i jemnější změny potenciálu v důsledku rotace Země, její nehomogenity i společné působení Měsíce a Slunce. Zakřivují se v blízkosti okrajů nádoby. V neinerciální soustavě, např. v rotující nádobě, jsou kolmé k výslednici působících sil 7. 1. 2015

Tlak v kapalině I Pascalův zákon V důsledku neexistence tečných napětí působí v každém bodě pouze tlak (=normálové napětí) a je stejný ze všech směrů. Na tomto principu je založena např. hydraulika. Můžeme-li zanedbat vlastní tíhu kapaliny, je tlak v ní všude stejný a na různě velké plochy tedy působí různě velká síla: F1/S1 = p1 = p2 = F2/S2 7. 1. 2015

Tlak v kapalině II Předpokládejme gravitační pole v blízkosti povrchu Země.  = gz osa z je svislá a její kladná část míří vzhůru. Obecně musíme připustit závislost hustoty na z, potom : 7. 1. 2015

Tlak v kapalině III Průběh tlaku v kapalině je lineární U těžko stlačitelných kapalin lze hustotu považovat za konstantní a tedy : Integrace vede na lineární pokles tlaku s výškou : Často uvažujeme naopak vzrůst s hloubkou pod hladinou: 7. 1. 2015

Tlak v kapalině IV Průběh tlaku v atmosféře je exponenciální Předpokládejme izotermickou atmosféru, stlačitelnou podle Boyle-Marriotova zákona Potom : Diferenciální rovnici řešíme integrací po separaci proměnných a po odlogaritmování: 7. 1. 2015

Archimédův zákon I Těleso ponořené do tekutiny je nadlehčováno silou, která se rovná tíze tekutiny tělesem vytlačené. Nadlehčování je způsobeno tlakovými silami, které se snaží tekutinu “vrátit”, do míst, odkud byla tělesem vytlačena nebo kam se může alespoň principiálně dostat. Protože tlak roste s hloubkou, lze očekávat, že výslednice tlakových sil bude směřovat vzhůru resp. proti výslednici působících sil. 7. 1. 2015

Archimédův zákon II Archimédův zákon úzce souvisí s růstem tlaku s hloubkou lze ilustrovat na tělese speciálního tvaru nebo dokázat obecně jako rovnováhu objemových a povrchových sil. Druhý důkaz nepožaduje konstantní hustotu, čili nezávisí na možné stlačitelnosti tekutiny a platí tedy i pro plyny a také tělesa, která mohou být v několika prostředích, např. neúplně ponořená. 7. 1. 2015

Archimédův zákon III Mějme rotační válec o výšce h a podstavě S v ideální kapalině o hustotě 0. Tlakové síly na plášť se v každé hloubce vyrovnají. Nevykompenzovaná zůstane pouze tlaková síla působící na spodní podstavu a tedy vzhůru, protože tato podstava je hlouběji o výšku válce než podstava horní: F = Sh0g. To je ale přesně tíha vytlačené kapaliny. 7. 1. 2015

Archimédův zákon IV V kapalině, která je v rovnováze si mysleme její určitý objem libovolného tvaru. Tento objem má svoji hmotnost, a tíha směřuje svisle dolů. Na povrch objemu působí tlakové síly. Protože je objem v rovnováze, musí jejich výslednice vykompenzovat tíhu, čili musí směřovat svisle vzhůru a její velikost se musí rovnat tíze myšleného objemu. 7. 1. 2015

Povrchové napětí I Částice kapaliny blízko rozhraní mají ve svém okolí prostředí dvojího druhu. To obecně vede k nesymetrii působících sil, jak dovedeme vysvětlit opět pomocí potenciálové jámy. Takový efekt existuje i na rozhraní dvou pevných látek. Jak jsme poznali, rozhraní kapaliny se vyznačuje tím, že zaujímá v každém bodě směr kolmo k působící síle. 7. 1. 2015

Povrchové napětí II l F Δx Práce vykonaná při zvětšení blány o plochu ΔS: ΔW = 2σlΔx l F Povrchové napětí je Energie na jednotku plochy : ΔW/2lΔx = σ [σ] = N.m-1 = J.m-2 Δx Mýdlová blána (2 povrchy) Proč se mince položená opatrně na povrch vody nepotopí?

Povrchové napětí III Například na rozhraní kapalina – plyn působí síly směřující do kapaliny. Výsledkem je, že se rozhraní snaží zaujímat minimální povrch, např. se tvoří kapky. Na rozhraní kapalina – pevná látka mohou síly směřovat : do kapaliny - kapalina látku nesmáčí z kapaliny ven - kapalina látku smáčí. 7. 1. 2015

Kapilární elevace a deprese

Úvod do hydrodynamiky Popsat tekutiny v pohybu patří mezi nejobtížnější problémy, které v klasické fyzice existují. Pro jednoduchost vyjdeme ze zákonů zachování, které platí pro pomalé proudění neviskózní a nestlačitelné kapaliny. Později podrobněji popíšeme chování nejjednodušší viskózní, tzv. Newtonovské kapaliny a ukážeme příklady chování některých ne-Newtonovských kapalin. 7. 1. 2015

Hydrokinematika I Proudící kapalinu lze popsat pomocí : Trajektorií, křivek, po nichž se částice pohybují v čase. Částicí se zde rozumí makroskopicky malý ale mikroskopicky velký objem kapaliny. Proudnic, křivek tečných v každém bodě k vektorům rychlosti. Proudnice tvoří proudové trubice, jejichž stěnami kapalina neprochází. Jejich vnitřek se nazývá proudová vlákna. 7. 1. 2015

Zákony zachování U ideálních kapalin lze jednoduše využít zákonů zachování. Zachovávají se : Množství – rovnice kontinuity Hybnost Energie – Bernoulliho rovnice 7. 1. 2015

Rovnice kontinuity Časový objemový průtok Q kapaliny určitou proudovou trubicí se zachovává. Jinak by se kapalina musela někde objevovat nebo mizet. Má-li proudová trubice u nestlačitelné kapaliny v jednom místě průřez S1 a v druhém S2, platí : S1v1 = Q1 = Q2 = S2v2 U stlačitelných tekutin je konstantní průtok hmotnostní a platí : S1v11 = S2v22 7. 1. 2015

Zachování hybnosti Ke změně směru proudové trubice může dojít jen v případě existuje-li impuls síly, který příslušnou změnu hybnosti umožní v čase : Proudnice musí zpravidla podpírat i síly tlakové, změna rychlosti vede k nové rovnováze. 7. 1. 2015

Zachování energie Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování hustoty energie : V praxi se vyjadřuje několika způsoby, například v rozměrech délkových : 7. 1. 2015

*Odvození Bernoulliho rovnice I Uvažujme dvě různá místa, ohraničující určitý úsek jedné proudové trubice, která jsou popsána rychlostí vi, tlakem pi a výškou hi. Působením tlakových sil se určitý objem V se přemístí za čas t z prvního místa do druhého. Na oba objemy působí z vnějšku úseku tlakové síly opačné orientace Fi = Si pi. Práce, kterou vykonají tyto síly za t se musí rovnat přírůstku celkové energie daného objemu. 7. 1. 2015

* Odvození Bernoulliho rovnice II Tedy : Po dosazení : Aplikujme rovnici kontinuity : 7. 1. 2015

*Odvození Bernoulliho rovnice III Tento vztah, vyjadřující zachování energie, bývá zvykem vztáhnout ke jednotkovému objemu, tedy vydělit V a přeskupit podle uvažovaných míst : Rci odvodil Švýcar Daniel Bernoulli 1700-1783 Celková energie proudící kapaliny má tedy tři složky : tlakovou, kinetickou a potenciální. 7. 1. 2015

Použití Bernoulliho rovnice I Bernoulliho rovnice lze použít jako prvního přiblížení při řešení řady praktických problémů. Uvažujme například výtok kapaliny ze široké (nebo doplňované) nádoby malým otvorem umístěným v hloubce h pod hladinou. V Bernoulliho rovnici můžeme udělat několik úprav a zanedbání : 7. 1. 2015

Použití Bernoulliho rovnice II Oba tlaky jsou atmosférické : p1= p2. Vyjádříme hloubku: h = z1 – z2 Rychlost v1 můžeme zanedbat. Po zkrácení  a úpravě : Je zajímavé, že tento tzv. Torrichellio vzorec byl znám již sto let před Bernoullim. 7. 1. 2015

Použití Bernoulliho rovnice III Není-li možné rychlost v1 zanedbat, použijeme rovnici kontinuity v1 = v2S2/S1 : Po zkrácení , zavedení hloubky a úpravě : (výraz má zjevně smysl jen pro S1 > S2) 7. 1. 2015

Použití Bernoulliho rovnice IV Uvažujeme-li místa o stejné výšce je z Bernoulliho rovnice patrná zajímavá vlastnost proudících tekutin a to, že v místech s větší rychlostí je nižší tlak. Na tomto principu je založena řada jevů od bouchání dveří v průvanu, přes střílení rohového kopu ve fotbale, po létání letadel. Protože jsou důsledky na první pohled překvapivé, je tento jev znám jako hydrodynamický paradoxon. Významné je jeho využití při měření rychlosti. 7. 1. 2015

Použití Bernoulliho rovnice V Pitotova trubice (fajfka) : do měřené tekutiny jsou vnořeny dvě trubice, ústí jedné je kolmo, ústí druhé rovnoběžně s jejím proudem (fajfka) v2 = 0. v každé trubici vystoupí tekutina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí ve vztahu vystupuje pouze rozdíl výšek zi 7. 1. 2015

*Použití Bernoulliho rovnice VI Venturiho trubice (potřebuje zúžení) : do měřené kapaliny jsou kolmo vnořeny dvě trubice, jedna v místě s průřezem S1, druhá S2. v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí 7. 1. 2015

*Použití Bernoulliho rovnice VII Z obou rovnic : Pro rychlost v1 a průtok Q platí po úpravě : 7. 1. 2015

Viskózní kapaliny I Při proudění reálných tekutin se sousední vrstvy ovlivňují tečným napětím, které závisí na vzájemné rychlosti vrstev a viskozitě tekutiny. Mějme tekutinu proudící ve směru osy x. Potom pro tečné napětí, čili napětí působící ve směru proudění, platí Newtonův zákon: 7. 1. 2015

Viskózní kapaliny II dynamická viskozita  (éta) – míra odporu tečení [] = kg m-1s-1 = Nm-2s = Pa s Starší jednotka Poise [P]=gcm-1s-1=0.1 Pa s Převrácená hodnota se nazývá tekutost:  = 1/ Často se používá viskozita vztažená na hustotu, tzv. kinematická viskozita (ný)  = / D je gradient rychlosti rovný časové změně deformace ve střihu . 7. 1. 2015

Viskózní kapaliny III Dynamická a kinematická viskozita některých kapalin:  [Pa s]  (ný) [m2/s] ETOH 1.2 10-3 1.51 10-6 benzín 2.9 10-4 4.27 10-7 rtuť 1.5 10-3 1.16 10-7 olej 0.26 2.79 10-4 voda 1.005 10-3 0.804 10-6 7. 1. 2015

Viskózní kapaliny IV Viskozita : snižuje průtok kapaliny (za daných podmínek) způsobuje, že rychlost v protékaném průřezu není konstantní, ale má určité rozložení, u krajů je minimální (nulová) a uprostřed maximální. Ukážeme, že v (proudové) trubici kruhového průřezu je rozložení rychlosti na vzdálenosti od osy parabolické. 7. 1. 2015

Viskózní kapaliny V Mysleme si v laminárně a rovnoměrně proudící kapalině váleček o poloměru y. Na podstavy působí tlakové síly (p1 > 0, p2 < 0) plášť síla způsobená třením okolních vrstev. Pohybuje-li se válec rovnoměrně, musí být všechny síly na něj působící, tedy síly působící na podstavy plus na plášť v rovnováze : 7. 1. 2015

Výpočet objemu proteklé tekutiny potrubím při laminárním proudění Ft r F1 F2 2y p1 p2 Směr pohybu tekutiny

Viskózní kapaliny VI Předpokládejme, že p1 > p2 a tedy kapalina se pohybuje ve směru růstu souřadnice x. Znaménko + znamená, že třecí sílu bychom považovali (jako obvykle) za kladnou, kdyby měla směr rychlosti. Protože první člen je kladný, musí být třecí síla záporná, čili brzdící a rychlost klesá směrem od osy. 7. 1. 2015

Viskózní kapaliny VII Po zavedení p = p1 – p2 a úpravě : Po integraci : 7. 1. 2015

Viskózní kapaliny VIII Uvažujeme-li trubici o poloměru r. Obdržíme hodnotu integrační konstanty k z okrajové podmínky v(r) = 0 : a celkově dostáváme parabolickou závislost : 7. 1. 2015

Viskózní kapaliny IX Důležitou a snadněji měřitelnou veličinou je průtok. Celkový průřez musíme rozdělit na mezikruží o poloměru y, v nichž je vždy rychlost konstantní: Celkový průtok obdržíme integrací : To je známá Hagen-Poiseuillova rovnice. 7. 1. 2015

Rozložení rychlosti při laminárním proudění potrubím kruhového průřezu v(y) r y vmax

Elegantní měření- pád kuličky ve viskózní kapalině Působící síly: tíha, vztlak, odpor FS FV G Koule nerovnoměrně zrychluje až do vyrovnání působících sil:

Viskózní kapaliny X Stokesův zákon: Na kuličku o poloměru r, která se pohybuje malou rychlostí v v kapalině působí brzdící síla F = 6rv Kulička o hustotě  bude po ustálení rovnováhy padat v kapalině 0 konstantní rychlostí vt : 7. 1. 2015

Viskózní kapaliny XI Laminární proudění Za mezí Stokesova zákona : brzdící síla je úměrná rychlosti rychlost je úměrná r2 střední rychlost vyplývající z H-P rovnice <v>=Qv/S je také úměrná r2 a tlakovému spádu Za mezí Stokesova zákona : Často je brzdící síla úměrná v2 : Fd = CdSv2 Cd je parametr, který závisí na tvaru 7. 1. 2015

Viskózní kapaliny XII Pro posouzení, zda je proudění ještě laminární se používá tzv. Reynoldsovo číslo. pro kuličku o poloměru r, pohybující se rychlostí v pro kapalinu pohybující se střední rychlostí <v> v trubici o poloměru r platí : (ve jmenovateli posledního výrazu je řecké  (ný), tedy kinematická viskozita!) Pro R >1000 se považuje proudění za turbulentní Téměř neuvěřitelné je chování kapalin s R <<1 : http://www.youtube.com/watch?v=QcBpDVzBPMk 7. 1. 2015

*Dynamika krevního oběhu I Na základě práce Dr. J. Tulky Krevní oběh je udržován srdcem. Levá část síň -> komora pumpuje krev do velkého (tělního) oběhu a pravá část do malého oběhu (plic). Krev v aortě : <v> = 0.3 ms-1 r = 0.01 m  = 1060 kg m-3  = 3.3 10-3 Pa s R  970 proudění je těsně ještě laminární. 7. 1. 2015

*Dynamika krevního oběhu II Ve velkých žilách proudí krev pomaleji, jen rychlostí <v> = 0.1 ms-1 a ve vlásečnicích dokonce jen rychlostí <v> = 0.001 ms-1. Pomocí rovnice kontinuity můžeme odhadnout, že celkový průřez vlásečnic je 300 krát větší než průřez aorty velkých žil je 3 krát větší než průřez aorty 7. 1. 2015

*Dynamika krevního oběhu III Podle H-P zákona je tlakový spád nepřímo úměrný čtvrté mocnině poloměru trubice. K největšímu spádu tedy musí docházet v arteriální sekci : aorta plicnice systola 16 kPa (120 torr) 3.3 kPa diastola 10.5 kPa (80 torr) 1.3 kPa 7. 1. 2015

*Dynamika krevního oběhu IV Práce srdce bývá vyjadřována jako součet statické – objemové dodávající tlakovou energii kinetické – dodávající kinetickou energii odpovídající příslušné střední rychlosti : Pro střední hodnoty V = 70 ml a p = 13.3 kPa je Wo= 0.93 J a Wk= 0.003 J, tedy W = 0.94 J 7. 1. 2015

*Dynamika krevního oběhu V Práce pravé komory je asi jedna pětina práce komory levé. Celková mechanická práce srdce při jedné systole je tedy asi 1.13 J. Při tepové frekvenci 70 min-1 je výkon srdce přibližně 1.3 W. Tato hodnota představuje jen asi jednu desetinu celkového mechanického výkonu srdce. Převažující část se spotřebuje na udržování stálého napětí (tonusu) srdeční svaloviny. 7. 1. 2015

*Dynamika krevního oběhu VI Celkový srdeční výkon je tedy 13 W, což představuje přibližně 13% celkového klidového výkonu organismu. Srdce ale funguje nepřetržitě řadu let. Za 60 let života vykoná práci 2.5 GJ, což je : 3 s výkonu Chvaletické elektrárny Vyzdvižení 30 t břemene na Mt. Everest 7. 1. 2015

Základy reologie I Reologie se zabývá deformacemi látek za reálných podmínek Tyto deformace mohou být obecně velmi komplikované a záviset na mnoha faktorech. Proto je reologie velice rozsáhlá a otevřená oblast výzkumu. Zde uvedeme příklad chování některých ne-Newtonovslých kapalin a visko-elastického chování. S. Pirkl : “Reologie a reometrie kapalin” 7. 1. 2015

Základy reologie II Ideálně může být deformace elastická – při ní se těleso po odstranění napětí vrátí do původního stavu a nedochází ke ztrátám energie – modelujeme pružinou plastická – po odstranění napětí zůstává trvalá deformace a dochází ke ztrátám energie – modelujeme tělesem, které táhneme se třením viskózní tečení – trvalá deformace je velká – modelujeme nádobou s perforovaným pístem Reálné deformace jsou zpravidla jejich kombinací 7. 1. 2015

neNewtonovské kapaliny – vliv proudění Klid Proudění Změna orientace Napřímení Deformace Rozmělnění

Typy ne-Newtonovských kapalin Pseudoplastické - viskozita klesá s rostoucím gradientem rychlosti Dilatantní - viskozita roste s rostoucím gradientem rychlosti Binghamské – k toku dochází po překročení určitého smykového napětí Tokové křivky Newtonovská τ dv/dy

Základy reologie III Zdánlivá viskozita může záviset také na době namáhání. Tokové křivky mají potom hysterezní chování. Příkladem jsou látky: tixotropní – u nichž viskozita s časem klesá reopektické – u nichž viskozita s časem roste 7. 1. 2015

Základy reologie IV Visko-elastické chování se často měří při namáhání látky harmonickým napětím. Odezva bude také harmonická, ale následkem ztrát fázově zpožděná. Můžeme ji tedy charakterizovat komplexním modulem. Jeho reálná část odpovídá elastickému chování a imaginární ztrátám. Existuje také např. visko-plastické chování. 7. 1. 2015

Tlaková deformace objemu I Mějme krychli V=aaa, vystavenou hydrostatickému tlaku p, tedy působí na ní stejné napětí n ze všech směrů. U změny rozměrů každé strany se musí uvažovat podélné i příčné změny tedy : a, = a(1-+2) → V, = V(1-+2)3 Po zanedbání kvadratických a vyšších členů: 7. 1. 2015

Tlaková deformace objemu II Protože vlastně n = p, platí pro součinitel objemové stlačitelnosti  : je to podíl relativního úbytku objemu dělený tlakem, který ji způsobil, tedy relativní úbytek objemu na jednotku tlaku. 7. 1. 2015

Tlaková deformace objemu III Předchozí definice naznačuje, že objemová stlačitelnost se řídí Hookovým zákonem a lze tedy opět definovat příslušný modul objemové pružnosti K : Z této definice lze dále definovat meze, v nichž musí ležet Poissonovo číslo . 7. 1. 2015

*Tlaková deformace objemu IV Z experimentu plyne, že K a E jsou kladné, protože délka se napětím prodlužuje a objem tlakem zmenšuje. Současně  > 0, protože protažení vyvolává zúžení a naopak. Potom tedy musí být jmenovatel větší než nula a platí : 0 <  < 1/2. Ve skutečnosti je obvykle 1/4 <  < 1/2 . Pro  = ½ by se jednalo o nestlačitelné, tedy dokonale tuhé těleso. ^ 7. 1. 2015