3. Mechanika tuhého tělesa … 3.2 Dynamika tuhého tělesa 3.3 Statika tuhého tělesa 4. Mechanika kontinua 4.1 Síly v kontinuu 4.2 Deformace pevného kontinua 4.3 Hydrostatika 4.4 Proudění ideální kapaliny Fyzika I-2015, přednáška 4

hom. válec: r, m, F = konst, tečný směr, t = 0: klid , viz obr. Př. rotace kolem pevné osy hom. válec: r, m, F = konst, tečný směr, t = 0: klid , viz obr. e =?, w (t1) =? Př. Obecný pohyb, valení po nakl. rov. hom. válec: r, m, J nakl. rov.: a t = 0: klid , viz obr. a =? Ř.: rot. pohyb – pohyb. rovnice pro rotaci kolem osy proch. hmot. středem transl. pohyb – pohyb. rovnice pro hm. střed 𝑀 𝑜𝑠𝑎 =𝐽𝜀 𝐹 𝑥 =𝑚 𝑎 𝑥 FT

transl. pohyb (jednorozm.): rotace kolem pevné osy: práce Práce, výkon transl. pohyb (jednorozm.): rotace kolem pevné osy: práce výkon Teorém práce – kinetická energie 1. kinetická energie pro rovinnou rotaci: 2. kinetická energie pro obecný pohyb: 𝑊= 𝐴 𝐵 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 𝑊= 𝜑 1 𝜑 2 𝑀 𝑜𝑠𝑎 𝑑𝜑 𝑃= 𝑑𝑊 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑥 𝑣 𝑥 𝑃= 𝑀 𝑜𝑠𝑎 𝜔 Δ 𝐸 𝑘 =𝑊 𝐸 𝑘 = 1 2 𝐽 𝜔 2 𝐸 𝑘 = 1 2 𝐽 𝜔 2 + 1 2 𝑚 𝑣 2 Fyzika I-2015, přednáška 4

Teorém práce – kinetická energie Př. Rot. kolem pevné osy, tuhé těleso: J, t = 0: frekvence f1, moment brzdných sil Mt = konst, n otáček do zastavení, Mt = ? Př. Obecný pohyb, valící se těleso: r, m, J, nakl. rov.: a, t = 0: klid rychlost vl po uražení dráhy l ? A FT B Fyzika I-2015, přednáška 4

3.3 Dynamika tuhého tělesa. Souhrn. Tab. 3.1 ve skriptech Analogické veličiny a vztahy pro: Translační pohyb Rotace kolem pevné osy (jednorozm. podél osy x) hmotnost m moment setrvačnosti J síla F moment síly M hybnost p moment hybnosti L I. věta impulsová II. věta impulsová pohybová rovnice pohybová rovnice práce W práce W výkon P výkon P kinetická energie Ek kinetická energie Ek teorém práce-kin. energie teorém práce-kin. energie Pozn. Teorém práce – kinetická energie pro obecný pohyb obsahuje kin. energii rotačního i translačního pohybu Fyzika I-2015, přednáška 4

výsledná síla na tuhé těleso 3.4 Statika tuhého tělesa Podmínky rovnováhy z I a II. věty impulsové 𝑖 𝐹 𝑖 = 0 výsledná síla na tuhé těleso 𝑖 𝑀 𝑖 = 0 výsledný moment sil na tuhé těleso 6 skalárních podmínek aplikace na semináři Fyzika I-2015, přednáška 4

Zjednodušení soustavy sil, těžiště Soustavy sil jsou ekvivalentní, jestliže vykazuji stejný pohybový účinek na těleso. Podle I. a II. věty impulsové – stejnou výslednici sil a stejný výsledný moment sil. Př. Soustava tíhových sil na těleso je nahrazenou jednou silou, která působí v těžišti Dvojice sil soustava stejně velkých opačných sil 𝐹 1 =− 𝐹 2 , neleží v př. rot. úč. tabule tabule 𝑟 𝑇 = 1 𝑚 𝑖=1 𝑛 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 𝑀=𝐹 1 𝑑= 𝐹 2 𝑑 d … rameno dvojice sil = vzdálenost přímek sil těžiště leží v hmot. středu tělesa Fyzika I-2015, přednáška 4

pevné – svůj tvar, deformace 4. Mechanika kontinua kontinuum – aproximace, spojitě rozložená hmota (neuvažuje se složení hmoty z molekul) deformovatelné pevné – svůj tvar, deformace tekuté – nemá svůj tvar, tvar nádoby plastické elastické kapaliny: málo stlačitelné, hladina plyny: hodně stačitelné, celý objem nádoby Fyzika I-2015, přednáška 4

4.1 Síly v kontinuu objemové (např. tíhová) 𝐹 V plošné 𝐹 S jednotky tlaku: SI: Pa = N/m2 1 bar = 105 Pa, 1kbar = 108 Pa 1 atm = 101 325 Pa 1 torr = 1 atm/760 = 133,322 Pa poh. rovnice v kont. 𝐹 V + 𝐹 S =𝑚 𝑎 podmínka rovnováhy v kont. 𝐹 V + 𝐹 S = 0 tečné napětí namáhání smykem nebo ohybem normálové napětí namáhání tahem nebo tlakem (p) 𝜏= 𝑑 𝐹 𝜏 𝑑𝑆 𝜎 𝑛 = 𝑑 𝐹 𝑛 𝑑𝑆

…Hookův zákon – relativní prodloužení e je úměrné napětí Reálná tělesa 4.2 Deformace pevného kontinua vněj. síly vyvolávají v tělese napětí, které je s nimi v rovnováze → deformace Deformace tahem a tlakem …Hookův zákon – relativní prodloužení e je úměrné napětí E…Youngův modul pružnosti v tahu [N m-2] Reálná tělesa s1 mez úměrnosti (pružnosti) s2 mez kluzu (průtažnosti) s3 mez pevnosti 𝜀= 𝜎 𝑛 𝐸

4.3 Hydrostatika kapalina v klidu ideální kapalina – nestlačitelná, (teče bez tření, viz dále hydrodynamika) Hydrostatický tlak objem kapaliny dV = dxdydz, hustota r : obj. síla FG = mg = r dV g plošná síla FS souvisí s tlakem na povrch před.: p (y), p ≠ funkce (x,z), tlakové síly na boční stěny se vyruší v klidu → výsledná síla = 0 tabule p = r g h + pA ... celk. tlak r g h …hydrostatický tlak p … výsledný tlak Pascalův zákon: tlak se šíří v celém objemu kapaliny Heimlichův manévr zubní pasta r 𝐹 𝑆 ~𝑝∆𝑆

Př. Tlaková síla na dno a svislou stěnu nádoby b) na svislou stěnu - velikost výsledné síly - působiště síly (moment výsledné síly = součet momentů jednotl. sil) Fyzika I-2015, přednáška 4

Př. U-trubice, dvě nemísitelné kapaliny podle obrázku, v rovnováze Zapište podm. rovnováhy. pL pP rx FP FL Stačí vyjadřovat rovnost tlaku v levé a pravé trubici v místě rozhraní kapalin Fyzika I-2015, přednáška 4

důsledek závislosti p(h) → Archimedův zákon důsledek závislosti p(h) → vztlaková síla na těleso ponořené v kapalině kapalina hust. r těleso objemu DxDyDz vztlaková síla Fvz (směrem vzhůru) tabule Archimedův zákon: těleso je nadlehčováno silou, která se rovná váze kapaliny tělesem vytlačené závisí pouze na ponořeném objemu Pohyb tělesa určuje celková síla 1. Fvz > FG nakonec plave, pak Fvz = FG 2. Fvz(úplně ponořené) = FG - vznáší se 3. Fvz < FG – klesá ke dnu Fvz

4.4 Proudění ideální kapaliny pevné kontinuum – může existovat tečné napětí tekutiny – tečné napětí → „tečou“ v rovn. stavu přejímají tvar nádoby ideální kapalina – nestlačitelná, pohyb bez vnitřního tření popis pohybu - vektorové pole rychlosti proudnice – křivka, jejíž tečnou v každém bodě je vektor rychlosti proudová trubice – stěny tvoří proudnice Tvrzení: stěnou proud. trub. kapalina neteče tok vektoru rychlosti plochou Fyzika I-2015, přednáška 4

tok vektoru rychlosti elementární plochou : vektor plochy 𝑆 – směr kolmý k ploše (vnější normála, v příp. uzavř. plochy) – velikost ≡ velikost plochy tok vektoru rychlosti elementární plochou : tok vektoru rychlosti plochou : význam: objemový tok hmotnostní tok 𝑑𝑄=𝑣𝑑𝑆 𝑑𝑄=𝑣𝑑𝑆 cos 𝛼 𝑑𝑄= 𝑣 ∙𝑑 𝑆 𝑑𝑆 𝑛   𝑑𝑄= 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑉   = 𝑚 Fyzika I-2015, přednáška 4

Rovnice kontinuity obecná formulace rovnice kontinuity bilance hmotnosti kapaliny vyteklé a vteklé z objemu uzavřeného plochou S za jednotku času je rovna úbytku hmotnosti kapaliny uvnitř tohoto objemu za jed. času proudová trubice prochází uzavřenou plochou zákon zach.hmot.→celkový hmotnost. tok = 0 pro nestlač. kap. →celkový objemový tok = 0 vytíná plochy S1 a S2, kde jsou rychlosti v1 a v2 rovnice kontinuity S1 > S2 => v1 < v2 𝑆 𝜌 𝑣 ∙𝑑 𝑆 =− 𝑑 𝑑𝑡 𝑉 𝜌𝑑𝑉 dS dS 𝑆 1 𝑣 1 = 𝑆 2 𝑣 2 =𝑄

Bernoulliho rovnice vyjadřuje teorém práce - kinetická energie pro proudící kapalinu: změna kin. energie objemu kap. = práci sil, které tuto změnu vykonaly proudová trubice: práci koná tíh. síla a tlak. síla element kap. se za čas dt posune o ds1, resp. o ds2 v místě 1: výška h1, plocha S1, rychlost proudění v1, tlak p1 v místě 2: “ h2, “ S2 “ v2 “ p2 Bernouliho rovnice 1 2 𝜌 𝑣 1 2 +𝜌𝑔 ℎ 1 + 𝑝 1 = 1 2 𝜌 𝑣 2 2 +𝜌𝑔 ℎ 2 + 𝑝 2

Řešení fyzikálních problému z hydrodynamiky : rovnice kontinuity Bernouliho rovnice vše na jedn. objemu Řešení fyzikálních problému z hydrodynamiky : rovnice kontinuity 1 2 𝜌 𝑣 2 +𝜌𝑔ℎ+𝑝=𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 kinet. energie pot. energie v poli tíhové síly práce tlakové síly 𝑆 1 𝑣 1 = 𝑆 2 𝑣 2 =𝑄 1 2 𝜌 𝑣 2 +𝜌𝑔ℎ+𝑝=𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 Fyzika I-2015, přednáška 4

Př. Výtoková rychlost malým otvorem: široká otevřená nádoba, hladina ve výšce h, otvor malého průřezu S2 << S1 ve dně, rychlost v2 výtoku kapaliny malým otvorem ? Pozn. tlaky v místě 1 a 2 nemusí být stejné Fyzika I-2015, přednáška 4

Př. Proudění ideální kapaliny vodorovným potrubím pokles tlaku ve vodorov. potrubí = přírůstek kin. energie jedn. objemu p2<patm → využití využití – vodní vývěva Fyzika I-2015, přednáška 4

Př. Měření objemového průtoku Venturiho trubicí: Situace podle obr., vodorovná trub., známe S1 , S2 , hustota proudící kapaliny r, hust. kap. v manometru r´ , rozdíl výšek v manometru H, objemový průtok Q ? Fyzika I-2015, přednáška 4

4.5 Proudění reálné kapaliny proudění ideální kapaliny (bez tření): rychlostní profil mezi vrstvami – tečné napětí t u běžných kapalin: tzv.newtonovské kap. … změna rychlosti ve směru kolmém na proudění h … dynamická viskozita [Pa s] … kinematická viskozita [m2 s-1] reálné kapaliny (tření) 𝜏=𝜂 𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝜈= 𝜂 𝜌

ideální kapaliny – element se neotáčí newtonovská kapalina – natáčení elementu – vznik vírů laminární proudění – malá intenzita vírů, proudnice se nepromíchají turbulentní proudění – rozvinuté víry charakteristika proudění reál. kapaliny: součinitel tření l, Reynoldsovo kritérium Re~1/l Fyzika I-2015, přednáška 4

turbulentní proud. malé > Rekr laminární velké < Rekr Proudění l Re ideální kapalina 0 → turbulentní proud. malé > Rekr laminární velké < Rekr Rekr = 2,3 . 103 Fyzika I-2015, přednáška 4

5. Kmity a vlnění Fyzika I-2015, přednáška 4