Volné kroucení masivních prutů Řešení Metodou konečných prvků Pavel Gruber Jan Bažil
Předpoklady Geometrie prutu Zatížení prutu masivní prizmatický pouze krouticí moment => prosté kroucení nulové objemové síly
Účinek zatížení na prut natočení průřezu kolem osy x zprohýbání průřezu v rovině yz tzv. deplanace průřezu deplanaci není bráněno => volné kroucení (St. Vénantovo)
Redukce vektoru napětí vznikají pouze smyková napětí txy a txz působící v rovině průřezu na hranici průřezu je výslednice napětí tx tečnou k hranici průřezu
Redukce vektoru deformace
Kinematika přemístění průřezu průřez se chová jako tuhá deska
Geometrické rovnice
Relativní úhel zkroucení
Fyzikální rovnice
Statické rovnice podmínka rovnováhy ve směru osy x
Kruhový (eliptický) průřez kruhový (eliptický) průřez nedeplanuje, tudíž deplanační funkce je identicky rovna nule
Obecný masivní průřez silová varianta řešení základem je rovnice kompatibility
rovnice kompatibility a statická rovnice (podmínka rovnováhy ve směru osy x) tvoří soustavu dvou diferenciálních rovnic pro neznámé txy a txz. pomocí St. Vénantovy funkce napětí F(y,z), kterou zavedeme tak, aby splnila podmínku rovnováhy, převedeme soustavu diferenciálních rovnic na jedinou diferenciální rovnici
Rovnice kompatibility
Okrajová podmínka na hranici průřezu je výslednice napětí tx tečnou k hranici průřezu
hodnota relativního úhlu zkroucení je neznámá, není možné takto formulovaný problém řešit, je nutné jí z problému vyloučit zavedením substituce
Problém Slabá formulace problému
Galerkinovská aproximace lineární trojúhelníkoví prvek se třemi stupni volnosti
Báze
Moment tuhosti v kroucení
Příklad
chceme-li uvažovat chybu v řádu 10-4 použijeme dělení velikosti 1/32 hrany
Funkce x(y,z)
Smykové napětí txy resp. txz
Závěr MKP St.Vénant maximální hodnota napětí 45,97kPa 45kPa moment tuhosti v kroucení 0,14m4 0,15m4
Reference Pružnost a pevnost 10, Bittnarová, Šejnoha, ČVUT Numerické metody mechaniky I, Bittnar, Šejnoha, ČVUT