Další typy dopravních problémů

Přiřazovací problém Stejný počet dodavatelů a spotřebitelů (m) Čtvercová matice sazeb Přiřazení 1:1 Silně degenerovaná řešení Maďarská metoda

Příklad Navrhněte plán rozvozu aut do garáží tak, aby celková ujetá vzdálenost byla minimální. V tabulce jsou vzdálenosti mezi auty a jednotlivými garážemi v kilometrech.

Maďarská metoda 1) Primární redukce – od každé řady odčítáme hodnou minimálního prvku 2) Vybíráme nezávislé nuly a vedeme krycí čáry - nula je nezávislá, je-li jediná v řádku nebo sloupci - krycí čáru vedeme přes řadu, která je kolmá na řadu nezávislé nuly 3) Je-li počet krycích čar menší než m => sekundární redukce: - vybereme minimum z nepřeškrtnutých prvků - toto minimum odečteme od nepřeškrtnutých polí - 1x přeškrtnutá pole necháme beze změny - 2x přeškrtnutá pole – k těmto minimum přičteme Zpěk k bodu 2 tak dlouho, dokud počet krycích čar není roven m

Okružní dopravní problém Problém pošťáka, problém obchodního cestujícího Dána síť míst, která je potřeba projít tak, že do každého místa se jde právě jednou skončí se tam, odkud se začalo (uzavře se okruh) Minimalizuje se délka trasy Přibližné řešení Metoda nejbližšího souseda Vogelova aproximační metoda

Příklad Naplánujte trasu návštěv vybraných měst v ČR tak, aby celková ujetá vzdálenost byla minimální. Přepravní vzdálenosti jsou v tabulce:

Metoda nejbližšího souseda Stanoví se výchozí místo pro tvorbu okruhu Přejde se k místu, které je nejbližší místu aktuálnímu (nesmí se do výchozího ani tam, kde už jsme byli) Postup se opakuje tak dlouho, dokud se nevrátíme do výchozího místa Prověřit všechna místa jako výchozí

Vogelova aproximační metoda Podobná jako v JDÚ Výpočet diferencí v každé řadě Do řešení se zařazuje přednostně nejvýhodnější trasa z řady s maximální diferencí Pozor na předčasné uzavírání okruhu

MODELY TEORIE GRAFŮ

Obsah Graf - základní pojmy Základy grafových algoritmů Základní modely

Graf G = ( V, E ) V je množina vrcholů (uzlů) grafu E je množina hran grafu

Graf - základní pojmy sousednost vrcholů - incidence vrcholu s hranou souvislý graf orientovaný graf cesta a kružnice strom a síť ohodnocený graf

Základy grafových algoritmů zobrazení grafů prohledávání grafu do hloubky prohledávání grafu do šířky topologické číslování vrcholů orientovaného grafu

Prohledávání grafu do šířky v každém kroku všechny další hrany do ještě nenavštívených uzlů

Prohledávání grafu do hloubky v každém kroku jedna hrana do ještě nenavštíveného uzlu

Topologické číslování vrcholů orientovaného grafu jsou-li vrcholy očíslovány přirozenými čísly, pak platí pro každou hranu (i,j) že i < j 4 5 2 3 1

Základní modely Nejlevnější kostra Nejkratší cesta Maximální tok v síti

Nejlevnější kostra minimální délky větví síťového propojení počítačů kostra: souvislý graf s minimálním počtem hran princip: přidáváme hrany podle ohodnocení tak, aby netvořily kružnici

Příklad – zapojení el. sítě Při přípravě karnevalu bylo potřeba vyřešit problém, jak propojit jednotlivé elektrické lampiony kabelem tak, aby bylo spotřebováno co nejméně kabelu a všechny lampiony byly zapojeny. Rozmístění lampionů a rozvodu elektrické energie je na následujícím obrázku:

Příklad – zapojení el. sítě Matice vzdáleností mezi komponentami v metrech:

Nejkratší cesta nejkratší cesta mezi místem A a B maximální délka navazujících činností princip: v(i,k) porovnáme s v(i,j) + v(j,k) (kdykoliv je nalezena nová cesta z uzlu i do uzlu k přes uzel j) i k j

Nejkratší cesta v grafu Nalezení nejkratší cesty mezi dvěma místy Síť cest Některé cesty nemusí existovat Postup řešení Vypočteme délku tras od počátku do všech uzlů, do nichž se lze dostat z uzlu aktuálního Přesuneme se do uzlu, který je nejblíže počátku a v němž jsme ještě nebyli Algoritmus končí, jakmile se dostaneme do cílového místa

Příklad – nejkratší cesta Najděte nejkratší cestu z místa A do místa H:

Maximální tok v síti proputnost produktovodů Ford Fulkersonova věta maximální tok v síti je roven jejímu minimálnímu řezu

Příklad Jaké maximální množství plynu lze pustit do následující sítě? Kapacity hran jsou dány v m3.

Projektové plánování

Projektové řízení "Plánování organizování a řízení úkolů a jejich zdrojů v rámci uceleného projektu za respektování časových, zdrojových a nákladových omezení" - obvykle s cílem dosažení maximálního ekonomického efektu) Dva typy pohledů Manažerský (Co je reálné) Systémově analytický (Co je teoreticky možné) Ad a) Personalistika, teorie organizace Především lidské zdroje (motivace, odpovědnost) Důraz na realizaci projektu Ad b) Operační výzkum, systémová analýza Především exaktní realizace (analýza rezerv, optimalizace využití zdrojů, minimalizace nákladů Důraz na projektovou osnovu

Uplatnění postupů projektového řízení ANO Jedinečné projekty s jasně daným počátkem a koncem (stavebnictví, marketing) Typové projekty s jasně daným počátkem a koncem (výrobní linky, sériová výroba) NE Kontinuální procesy, procesy s velkým podílem operativního řízení (služby, zásobování)

Projekt a jeho komponenty Definice projektu „Projekt je soubor provázaných činností, které je třeba provést k dosažení stanoveného cíle" Činnost např. : Kopání základů domu, Cesta Praha - Brno, Pracovní směna, ale i Zahájení projektu, Odpočinek Zdroj (Resource) Faktor zabezpečující činnost, v průběhu projektu se využívá nebo spotřebovává, např. : Zedník, Řidič, Vedoucí projektu, ale i Osobní automobil, Kancelář nebo písek, PHM

Nástroje projektového řízení Zakladatel - Henry L. Gantt (1861 - 1919) • 1901 - první společnost pro řízení projektů • od řízení lidí k řízení projektů • první postupy - Ganttův diagram, časová osa, lineární diagram Hranově orientované grafy Metoda kritické cesty - CPM (Critical Path Method) Technika hodnocení a kontroly programů - PERT (Program Evaluation and Review Technique) Grafická technika hodnocení a kontroly GERT (Graphical Evaluation and Review Technique) Uzlově orientované grafy Metoda měření potenciálů v sítích - MPM (Metra Potential Method)

Graf = >Dvojice {U,V} U..množina vrcholů U={u1,u2,…,un} V..množina neuspořádaných dvojic prvků {ui,uj} z U .. tj. hrana Graf -konečný x nekonečný -cesta v grafu (posloupnost navazujících hran mezi uzly ui a uj) -souvislý x nesouvislý (resp. spojitý x nespojitý) -orientovaný x neorientovaný -cyklický x acyklický

Síť Síť je graf, který je: spojitý orientovaný acyklický má jeden počáteční a jeden koncový uzel

Časová analýza projektu Metoda CPM Pro hranově orientované grafy, konjunktivě deterministická Výpočet Celkové doby trvání projektu Termínů nejdříve možné a nejpozději přípustné doby realizace uzlů Časových rezerv pro uzly a činnosti Určení kritické cesty

Grafické zobrazení činností Činnost A

Příklad Rekonstrukce výrobního provozu

Postup řešení metodou CPM Tvorba hranově orientovaného grafu Výpočet nejdříve možných počátků činností Výpočet nejpozději přípustných počátků činností Určení kritických činností a kritické cesty Výpočet časových rezerv činností a uzlů

Výpočet časových rezerv nezávislá rezerva činnosti zvláštní rezerva činnosti volná rezerva činnosti celková rezerva činnosti

Řešení

Časová a pravděpodobnostní analýza projektu Metoda PERT Pro hranově orientované grafy, konjunktivě stochastická Výpočet Celkové průměrné doby trvání projektu Průměrných termínů nejdříve možné a nejpozději přípustné doby realizace uzlů Průměrných časových rezerv pro uzly a činnosti Určení pravděpodobné kritické cesty Pravděpodobnosti, že projekt skončí dříve/později než je stanovený čas V jakém čase projekt skončí s danou pravděpodobností

Příklad Rekonstrukce výrobního provozu

Grafické zobrazení uzlů

Postup řešení metodou PERT Tvorba hranově orientovaného grafu Výpočet nejpravděpodobnějších dob trvání činností Časová analýza pravděpodobnostního charakteru (viz CPM) Pravděpodobnostní analýza projektu

PERT – pravděpodobnostní analýza Pravděpodobnost, že projekt skončí do stanoveného času = P(x), kde Interval skutečného konce projektu s požadovanou pravděpodobností resp.