Fyzikální systémy hamiltonovské Celková energie systému je vyjádřená Hamiltonovou funkcí H – hamiltoniánem Energie hamiltonovského systému je funkcí zobecněné souřadnice q i a zobecněné hybnosti p i (obecně v i dimenzích) a samozřejmě času. Rozdíl kinetické a potenciální energie systému vyjadřuje obecná Lagrangeova funkce: je zobecněná rychlost Hamiltonova funkce je součtem kinetické a potenciální energie systému, což koresponduje se vztahem k Lagrangeově funkci neboť Výsledný hamiltonián klasické mechaniky

Fyzikální systémy hamiltonovské Z uvedených vztahů lze vyvodit kanonické Hamiltonovy rovnice: Hybnost je kanonicky sdružená se souřadnicí Působení protisíly je spojeno s prostorovým růstem potenciálu při stejné kinetické energii Růst kinetické energie je ekvivalentní rychlosti (při stejné potenciální energii) Relace časové změny Hamiltonovy a Lagrangeovy funkce

Fyzikální systémy hamiltonovské Nestlačitelnost fázového objemu Suma determinantů matice změn hustoty zobr. bodů D a celkové energie H v dimenzích fázového prostoru p i, q i je nulová Např. při pohybu ideálního jednorozměrného kyvadla je změna q vždy spojena s ekvivalentní změnou p – systém je prost tření. Fázový tok zobrazený v prostoru p, q zachovává hustotu zobrazovacích bodů (tj. infinitezimální krok fázového toku je konstantní).

Fyzikální systémy hamiltonovské – příklad

Fyzikální systémy disipativní Disipativní systém kontrahuje objem fázového prostoru

Statistická mechanika - smysl Mikroskopické vlastnosti Makroskopické stavové vlastnosti

Statistická mechanika - entropie a neuspořádanost Smíšený stav je výrazně pravděpodobnější oproti nesmíšenému, neboť způsobů, jak rozmístit molekuly A a B, aby vznikl smíšený stav, je mnohem více než způsobů vedoucích k separovaným látkám. Způsoby uspořádání = rozlišitelné stavy soustavy W Smíšený stav má vyšší entropii oproti nesmíšenému S je aditivní S = S 1 + S 2, W je multiplikativní W = W 1 W 2 Vztah mezi S a W musí být logaritmický – obecný tvar: S = a ln W + b

Statistická mechanika - entropie a neuspořádanost Konstantu a lze zjistit z pravděpodobnostní analýzy jednoduché stavové změny Expanze ideálního plynu z nádoby o objemu V 1 do evakuované nádoby s objemem V 2 - konečný objem je V 1 + V 2 Pravděpodobnost přítomnosti určité molekuly v první nádobě: Pravděpodobnost přítomnosti všech N molekul v první nádobě -počáteční stav Konečný stav – každá molekula s jistotou v první nebo druhé nádobě:

Statistická mechanika - entropie a neuspořádanost Po porovnání s výchozí obecným logaritmickým vztahem Přechod ze stavu 1 do 2 – vztah mezi změnou stavové (makroskopické) entropie a změnou mikroskopické neuspořádanosti dané poměrem počtů možných stavů obou uspořádání (makrostavů) Relativní pravděpodobnost poklesu entropie pod rovnovážnou hodnotu – pravděpodobnost samovolného navýšení uspořádanosti Relativní pravděpodobnost dvou uspořádání je úměrná poměru počtů možných stavů těchto uspořádání