MATEMATIKA Variace

Název projektu: Nové ICT rozvíjí matematické a odborné kompetence Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0228 Název školy: Střední odborná škola Litovel, Komenského 677 Číslo materiálu: III-2-09-03_Variace Autor: Mgr. Stanislav Prucek Tematický okruh: Matematika Ročník: II. Datum tvorby: červenec 2013 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Stanislav Prucek

VARIACE Určete počet všech trojciferných přirozených čísel utvořených z číslic 4, 5, 6, 7, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. ? 456 465 546 564 645 654 457 475 547 574 745 754 467 476 647 674 746 764 567 576 657 675 756 765

Označíme 𝑽 𝒌 𝒏 počet všech variací k-té třídy z n prvků, kde 𝑘≤𝑛. S uspořádanými k-ticemi sestavených z prvků dané množiny, které každý prvek této množiny obsahuje nejvýše jednou, se v kombinatorických úvahách setkáváme často. Proto se pro ně zavádí zvláštní označení. VARIACE k-té třídy z n prvků je každá uspořádaná k-tice sestavená pouze z těchto n prvků tak, že každý je v ní obsažen nejvýše jednou. Označíme 𝑽 𝒌 𝒏 počet všech variací k-té třídy z n prvků, kde 𝑘≤𝑛. zpět

Určete počet všech variací k-té třídy z n prvků dané množiny pomocí kombinatorického pravidla součinu. ? Pro výběr prvního členu uspořádané k-tice máme právě n možností. 𝒏 𝟏 =𝒏 Pro výběr druhého členu máme o jednu možnost méně. 𝒏 𝟐 =𝒏−𝟏 Pro výběr třetího členu máme o dvě možnosti méně. 𝒏 𝟑 =𝒏−𝟐 Pro výběr čtvrtého členu máme o tři možnosti méně. 𝒏 𝟒 =𝒏−𝟑 Pro výběr k-tého členu máme o 𝑘−1 možnosti méně. 𝒏 𝒌 =𝒏−(𝒌−𝟏) 𝒏 𝟏 ∙ 𝒏 𝟐 ∙ 𝒏 𝟑 ∙ 𝒏 𝟒 ∙ … ∙ 𝒏 𝒌 =𝒏 𝒏−𝟏 𝒏−𝟐 𝒏−𝟑 … 𝒏− 𝒌−𝟏 = =𝒏 𝒏−𝟏 𝒏−𝟐 𝒏−𝟑 …(𝒏−𝒌+𝟏) zpět

! U variací záleží na pořadí prvků v uspořádané k-tici. Pro počet 𝑽 𝒌 𝒏 všech variací k-té třídy z n prvků platí: 𝑽 𝒌 𝒏 =𝒏 𝒏−𝟏 𝒏−𝟐 …(𝒏−𝒌+𝟏). ! U variací záleží na pořadí prvků v uspořádané k-tici. zpět

Anotace: Tato prezentace slouží k výkladu Kombinatorika - Variace. Žáci řeší jednoduché příklady na Variace. Určují uspořádané k-tice. Použité zdroje: RNDr. Oldřich Petránek a kol.: Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 4. část, 5. vydání 1996, Prometheus, ISBN 80-7196-040-3 Doc. RNDr. František Jirásek, DrSc. a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU, 2. část, 3. vydání 2000, Prometheus, ISBN 80-7196-012-8 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Stanislav Prucek zpět