Aplikace při řízení tržních rizik Kvalitativní analýza rizik Citlivostní analýza Dynamické zajišťování Kvantifikace rizika Volatilita Value at Risk Ekonomické modelování

Citlivostní analýza nelineárních rizik Zkoumáme faktorovou citlivost D = V / x (V je velikost pozice, x hodnota rizikového faktoru) Riziko je zajištěno, pokud D = 0 (pozice je uzavřená). U lineárních rizik (měnové, akciové, komoditní) je tato citlivost konstantní a odpovídá velikosti pozice. U nelineárních rizik (úrokové riziko, opční rizika) je analýza složitější, protože D se mění s x. Citlivostní analýza slouží ke kvalitativnímu posuzování tržních rizik a jeho zajišťování. Úlohu lze řešit analyticky (většinou) nebo numericky (vždy). Ekonomické modelování

Příklad 1 (úroková citlivost) Dlouhá pozice v SD 3,8%/2015 při tržní úrokové sazbě i = 3%. Simulujte procentní změnu hodnoty této pozice DV / V při růstu/poklesu tržní úrokové sazby o různé násobky 0,5 p.b. (tzn. na 2%, 2,5%, 3,5%, 10% atd.) Znázorněte graficky funkci DV / V = ƒ(Di). Funkce je nelineární a konvexní. Ekonomické modelování

Durace (srov. Vlachý s. 62-63) K odhadu úrokového rizika se jako míra citlivosti používá durace. Durace vyjadřuje změnu hodnoty pozice jako závislost na velmi malé změně úrokové sazby. Názorně ji lze chápat jako směrnici tečny k funkci citlivosti v počátečním bodě. ΔV/V Δi Ekonomické modelování

Příklad 2 (modifikovaná durace) Duraci úrokové pozice lze zjistit analyticky (Macaulayho durace), ale i numericky (modifikovaná durace). Odhadněte modifikovanou duraci Dmod dlouhé pozice v SD 3,8%/2015 při tržní úrokové sazbě i= 3%, pokud víte, že je definována vztahem — Dmod V = V / x. Ekonomické modelování

Dynamické zajišťování Durace se používá při tzv. dynamickém zajišťování (imunizaci) úrokového rizika (viz Vlachý s. 99). Analogicky se postupuje při zajišťování opčních pozic (tzv. delta hedging). Ekonomické modelování

Ekonomické modelování Kvantifikace rizika Mírou tržního rizika je volatilita. Volatilita je směrodatná odchylka výnosů (tzn. oboustranná míra variability). Volatilitu lze odhadnout Z historických dat (u jednotlivých tříd aktiv se volatilita dlouhodobě zpravidla příliš nemění) Implicitně (výpočtem z tržních hodnot opcí) Kvalifikovaným odhadem Volatilita se využívá K analytickému oceňování opcí (např. pomocí Blackova-Scholesova modelu) K analytickému odhadu Value at Risk Ekonomické modelování

Příklad 3 (historický odhad volatility) Pořídit vhodnou časovou řadu tržních cen. Spočítat výnosy za jednotlivá období (nejlépe logaritmické výnosy podle vztahu r = ln(p1/p0). Volatilita (vztažená k výnosovému období) je rovna směrodatné odchylce těchto výnosů. Volatilita se zpravidla uvádí jako roční (případně denní); převod na jiné období se provádí podle tzv. pravidla druhé odmocniny času sY / sM =  tY/tM. Ekonomické modelování

Riziko investičního portfolia Volatilita (riziko) investičního portfolia je (někdy výrazně) nižší než průměr volatilit jeho složek. Tento jev popisuje Moderní (Markowitzova) portfoliová teorie a jde o aplikaci diverzifikace. Míra diverzifikace závisí na korelaci mezi jednotlivými složkami (nízký korelační koeficient r  1 znamená vysokou diverzifikaci a naopak). Ekonomické modelování

Ekonomické modelování Value at Risk (VAR) O jakou hodnotu mohu maximálně přijít za určitou dobu v důsledku daného rizika? Vzhledem k tomu, že jde o statistický odhad, mohu to určit pouze s určitou mírou spolehlivosti, za použití příslušného kvantilu. VAR lze odhadnout Analyticky Historickou simulací Statistickou simulací Úlohy, které lze řešit pomocí VAR: Kolik (ekonomického) kapitálu kryje dané riziko? Jaká je tržní hodnota daného rizika? Jaký limit je třeba stanovit pro obchodování? Ekonomické modelování

Kvantily normálního rozdělení Vycházejí z distribuční funkce normovaného norm. rozdělení (tabelováno, nebo funkce Excelu =normsdist()) u50% = 0 (medián) u90% = 1,28 (9. decil) u95% = 1,65 (95. percentil) u99% = 2,33 (99. percentil) x > xmin = m — u s x < xmax = m + u s P(x) x m 2,33s 99% Ekonomické modelování

Příklad 4 (historická simulace VaR) Jaká je maximální ztráta, kterou realizuje investor do portfolia, složeného z akciového indexu S&P 500 a zlata, při době držení 1 měsíc a statistické spolehlivosti odhadu 95%? Ekonomické modelování

Příklad 5 (statistická simulace VaR) Jaká je maximální ztráta, kterou realizuje v desetidenním horizontu kupec 1000 ks SD 3,8%/2015, je-li aktuální tržní úroková sazba 5%? Předpokládáme chování úrokových sazeb podle stochastického procesu it = i0 + e s  t (tzv. geometrický Brownův pohyb, e je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením). Odhadujeme denní volatilitu úrokových sazeb s = 0,08%. Požadujeme statistickou spolehlivost odhadu 95%. Simulaci lze provést jako semiparametrickou (při každém pokusu se přepočítává hodnota dluhopisu v závislosti na vygenerované úrokové sazbě) nebo jako plně parametrickou (s využitím známé modifikované durace dluhopisu). Ekonomické modelování

Dodatek- Korelovaná náhodná čísla Předpokl. normální rozdělení veličin x, y Korelační koeficient rxy  <-1; 1> Očekávané hodnoty mx, my, směrodatné odchylky sx, sy Generujeme dvojice nezávislých normovaných normálních náhodných čísel z1, z2 = normsinv(rand()) Z nich vždy vytvoříme třetí proměnnou z3 = rxy z1 + (1- rxy2) z2 Spočítáme dvojice korelovaných náhodných čísel x = mx + z1 sx y = my + z3 s3 Tento postup vychází z tzv. Choleského faktorizace Ekonomické modelování