Bayesův přístup pro statistický rozhodovací problém, aplikace pro vysoce spolehlivé prvky Radim Briš Bayesův přístup pro statistický rozhodovací problém, aplikace pro vysoce spolehlivé prvky Radim Briš VŠB - TU Ostrava, Czech Republic VŠB - TU Ostrava, Czech Republic

Obsah  Bayesův přístup pro statistický rozhodovací problém  Demonstrace spolehlivosti pro vysoce spolehlivé prvky  Aposteriorní riziko  Závěry

Statistický rozhodovací problém  Uvažujme problém, ve kterém rozhodovatel (DM) musí vybrat rozhodnutí z nějaké třídy možných rozhodnutí a předpokládejme, že důsledky tohoto rozhodnutí závisí na neznámé hodnotě  nějakého parametru .  Množina  všech možných hodnot  se nazývá parametrický prostor.  Množina D všech možných rozhodnutí d které DM může učinit v daném problému se nazývá rozhodovací prostor.  Každá kombinace skutečnosti () a rozhodnutí (d) bude spojena s nějakou ztrátou. V praktických problémech indukce obvykle není možné specifikovat ztrátu přesně. Všeobecně však můžeme říci, že tato ztráta roste se vzdáleností mezi rozhodnutím a skutečností.  Pokud aplikujeme teorii rozhodnutí na problémy odhadu, je obvyklé předpokládat kvadratickou ztrátovou funkci. L(, d) = k( - d) 2 L(, d) = k( - d) 2 pro účely problematiky testování hypotéz pak lze přisoudit ztráty chybám I. a II. druhu v případě nesprávného rozhodnutí a nulové ztráty v případě výběru správných hypotéz. pro účely problematiky testování hypotéz pak lze přisoudit ztráty chybám I. a II. druhu v případě nesprávného rozhodnutí a nulové ztráty v případě výběru správných hypotéz. Skutečnost Skutečnost H0 H1 H0 H1 Rozhodnutí H0 0 L2 Rozhodnutí H0 0 L2 H1 L1 0 H1 L1 0

Výsledek testu Pravdivá hypotéza Rozhodnutí H0H0 HAHA H0H0 OKChyba 2.druhu (Error II) …L2 HAHA Chyba 1.druhu (Error I) … L1 OK

Velikost chyby 1.druhu P(Error I) = P(P VALUE <  | H 0 ) =  Statistik volí maximální velikost chyby 1. druhu . Toto číslo jsme pojmenovali jako hladina významnosti. Obvykle se volí  =0,05 nebo  = 0,01. Tato volba samozřejmě závisí na povaze testu.

Velikost chyby 2.druhu P(Error II) = P(P VALUE >  | H A ) = 

Bayesův přístup pro statistický rozhodovací problém  Předpokládejme, že  má pravděpodobnostní rozdělení g().  Optimální Bayesovo rozhodnutí s ohledem na toto rozdělení g() je nějaké rozhodnutí d* pro které je očekávaná ztráta E( L | g(), d) minimální. E( L | g(), d) minimální.  Pro dané rozdělení g() parametru  očekávaná ztráta R(g, d)= E( L| g(), d) se nazývá riziko tohoto rozhodnutí d. R(g, d)= E( L| g(), d) se nazývá riziko tohoto rozhodnutí d. Minimum této funkce R(g, d), když d D … R 0 (g)= R(g, d* ) se nazývá Bayesovo riziko Minimum této funkce R(g, d), když d D … R 0 (g)= R(g, d* ) se nazývá Bayesovo riziko  Pokud DM má před rozhodnutím D příležitost pozorovat hodnoty náhodného vektoru X, který se vztahuje k parametru . Pozorování X poskytují informaci, která může pomoci výběru správného rozhodnutí. Budeme předpokládat, že podmíněné rozdělení X za podmínky  =  může být specifikováno pro každou hodnotu , pro kterou . Takovýto problém se nazývá statistický rozhodovací problém. Takovýto problém se nazývá statistický rozhodovací problém.

Statistický rozhodovací problém  Komponenty statistického rozhodovacího problému jsou: parametrický prostor Ω, rozhodovací prostor D, ztrátová funkce L a podmíněné rozdělení f(x|) pozorované veličiny X.  Ve statistickém rozhodovacím problému se pravděpodobnostní rozdělení  nazývá apriorní rozdělení protože je to rozdělení  před pozorováním X. Podmíněné rozdělení  dané pozorováním hodnot X = x je potom nazváno aposteriorní rozdělení .  Toto aposteriorní rozdělení: h( | x) Při aplikaci Bayesova teorému: Při aplikaci Bayesova teorému:  Rozhodovací funkce d(x) je ve skutečnosti nějaká statistika. Rozhodovací funkce je nějaké pravidlo, které specifikuje nějaké rozhodnutí d(x)  D, které bude vybráno pro pozorované hodnoty x veličiny X.  V problémech statistické indukce pro účel odhadu, je to estimátor. V problémech testování hypotéz je to pravidlo pro zamítnutí nulové hypotézy. Při přítomnosti informace tento rozhodovací problém spočívá spíše ve výběru rozhodovací funkce, nežli ve výběru jednoduchého rozhodnutí.

Riziková funkce a Bayesovo riziko  Riziková funkce R( , d) je ekvivalentní ztrátové funkci při přítomnosti informace. Riziková funkce pro jakoukoliv rozhodovací funkci d, je očekávaná ztráta plynoucí z použití této rozhodovací funkce, pokud skutečná hodnota je .  Teoretický rozhodovací problém je nalezení optimální rozhodovací funkce. Riziko R(g, d) pro jakoukoliv rozhodovací funkci d(x) s ohledem na apriorní rozdělení g(  ) je očekávaná ztráta (nebo očekávaná hodnota rizikové funkce R( , d) s ohledem na g(  )) : Riziko R(g, d) pro jakoukoliv rozhodovací funkci d(x) s ohledem na apriorní rozdělení g(  ) je očekávaná ztráta (nebo očekávaná hodnota rizikové funkce R( , d) s ohledem na g(  )) :  Takovou rozhodovací funkci d*(x) pro kterou je riziko R(g, d) minimální, přejmenujeme na Bayesovu rozhodovací funkci s ohledem na g a riziko R(g, d*) se nazývá Bayesovo riziko.  Poté co byly pozorovány hodnoty x, DM jednoduše použije Bayesovo rozhodnutí d*(x) s ohledem na aposteriorní rozdělení h(  | x) a nikoliv apriorní g(  ).  Pokud pozorované hodnoty x jsou známy, DM může vybrat Bayesovo rozhodnutí d*(x) s ohledem na aposteriorní rozdělení. V tomto stavu rozhodovacího procesu DM se nezajímá o riziko R(g, d), které je střední hodnotou přes všechna pozorování, ale o aposteriorní riziko :

Aplikace pro bodové odhady  Pro problematiku odhadu je obvyklé předpokládat kvadratickou ztrátovou funkci. Lze snadno ukázat, že při kvadratické ztrátové funkci je optimální Bayesův estimátor aposteriorní střední hodnota. (Pokud věrohodnostní funkce je symetrická okolo svého maxima, pak optimální Bayesův estimátor je ML-estimátor). Reliability Applications: 1. Briš, R.: Bayes approach in RDT using accelerated and long-term life data; Reliability Engineering and System Safety 67: 9 – 16, ISSN , ELSEVIER. 2. Bris, R.: Using Posterior Information About the Distribution of Failure Time Parameter in Acceptance Sampling Schemes ; λμ13 – ESREL 2002 European Conference on System Dependability and Safety, Lyon, France, 2002, Proceedings, Pg 627 – 630. Application to Hypothesis Testing  Now consider a hypothesis H, that   Ω 0  Ω. Inference consists of accepting or rejecting H. A correct inference will result in zero loss. The loss associated with an incorrect inference may depend on the kind of error. Let d 0 be the inference to accept H and d 1 be the inference to reject H.  D = { d 0, d 1 }. Let Ω 1 = (Ω 0 ) C. Then we let  L( , d i ) = 0 if   Ω i,  = a i if   Ω i, for i = 0,1.  Therefore E(L( , d i )) = a i.P(   Ω i ) and the optimal inference is: to reject H if E(L( , d 1 ))  E(L( , d 0 )), to reject H if E(L( , d 1 ))  E(L( , d 0 )),

PROKAZOVÁNÍ SPOLEHLIVOSTI VYSOCE SPOLEHLIVÝCH PRVKŮ POMOCÍ BAYESOVA PŘÍSTUPU prof. Ing. Radim Briš, CSc. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky

Klasický postup pro demonstraci intenzity poruch optimalizace plánů zkoušení pro demonstraci 0 s ohledem na daná rizika výrobce či odběratele H 0 :  0 H 1 :  1 dáno ,   T, r 0 1 Operativní charakteristika jako funkce pro pevná T a r

Bayesův přístup - řeší 3 otázky : Bayesův přístup - řeší 3 otázky :  Odhad faktoru zrychlení při zrychlené zkoušce  Výběrový plán zkoušení s ohledem na uspokojení požadavků odběratele  Kalkulace a optimalizace rizika,odpovídajícího zvoleným výběrovým plánům Přednost : možnost využití dat nahromaděných výrobcem v předvýrobních etapách, resp. dat nahromaděných jiným výrobcem s ekvivalentní technologií výroby Předpoklady :  exponenciální doba do poruchy  Arrheniův spolehlivostní model pro zrychlení teplotou Výběrové plány koncipovány pro 2 druhy spolehlivostních požadavků : 1) Situace 1: 1  0, 0... zadaná int. poruch 2) Situace 2: Pr{ 1  0 }  1- , ... zadané malé číslo - apriorní riziko Aposteriorní riziko  * vyčísleno dle vztahu :  * = Pr{ 1  0  akceptabilní zkouška spolehlivosti} BAYESŮV PŘÍSTUP

Přirozený konjugovaný systém rozdělení Příklad:

BAYESŮV PŘÍSTUP Sdružené rozdělení pravděpodobnosti 1 a A Nechť 1, 2 jsou int. poruch v provozních a mírně zrychlených podmínkách Nechť označuje poměr dvou intenzit poruch. Zajímáme se o indukci vzhledem k faktoru A, popřípadě 1, 2. Obecný tvar pro sdružené rozdělení pravděpodobnosti lze hledat ve tvaru: a,b,c,f,g,h jsou neznámé parametry a,b,c,f,g,h jsou neznámé parametry

MARGINÁLNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI PRO 1, 2, A ***

PŘECHOD OD APRIORNÍCH K APOSTERIORNÍM ROZDĚLENÍM PRAVDĚPODOBNOSTI  V první fázi experimentu (kumulovaná doba zkoušení t 1, r 1 poruch) apriorní rozdělení přecházejí na aposteriorní, která jsou stejného tvaru avšak s pozměněnými parametry: a’ = a + t 1, b’ = b, c’= c + r 1, f ’ =f, g’ = g, h’ = h  Ve druhé fázi experimentu (kumulovaná doba zkoušení t 2 s počtem r 2 poruch) výsledná aposteriorní rozdělení budou mít opět stejný tvar s parametry které respektují výsledek experimentu: a’’ = a + t 1, b’’ = b + t 2, c’’= c + r 1 + r 2, f ’’ = f + r 2, g’’ =g, h’’ = h  DETERMINACE FAKTORU ZRYCHLENÍ Bayesův odhad faktoru zrychlení je dán aposteriorní střední hodnotou : Za předpokladu Arrheniova modelu a dosazením vhodné inženýrské informace o faktoru A lze získat hodnoty neznámých parametrů apriorních rozdělení a,b,c,h,g,f Praktické inženýrské znalosti o A lze zachytit prostřednictvím parametrů h, g and f.  Arrheniův model :

PŘEDPOKLADY PRO DETERMINACI h,g,f 1) Aktivační energie Ea je symetrická náhodná veličina 2) Rozdělení NV logA má modus = -log h Na základě zkušeností z praxe výrobce jsme schopni stanovit nejpravděpodobnější hodnotu Ea0 3) Pr{ Ea   0.5, 1.5 eV  } = 0.95  determinace parametrů h,g,f  determinace parametrů h,g,f VÝSLEDKY: teplota hodin, r 1 =1; teplota hodin, r 2 = 3 teplota hodin, r 2 = 3 Ea0=0.96 eV pro danou technologii, f=0.96, g=4.2126, h= ,.

Implementace požadavku: … složitou numerickou cestou dostaneme h, g a f

VÝBĚROVÝ PLÁN PRO ZKOUŠENÍ SPOLEHLIVOSTI SITUACE 1 Odběratel vyžaduje splnění následující podmínky pro intenzitu poruch : 1  0 Zkouška spolehlivosti ve zrychleném prostředí : Zkouška spolehlivosti ve zrychleném prostředí : 2 = A* 1, 2 = A* 1, → podmínka pro r 2,t 2 je : r 2 / t 2  A* 0 → podmínka pro r 2,t 2 je : r 2 / t 2  A* 0 Můžeme optimalizovat r 2,t 2 s ohledem na aposteriorní rozptyl 2 - Var{ 2 /data}, popř. další charakteristiky 2 - E{ 2 /data}, medián,...

VÝSLEDKY S REÁLNÝMI DATY - SITUACE 1 Odběratel vyžaduje : 1  100 Fit Optimální výběrový plán pro zkoušení ve zrychleném prostředí : Výrobce má dlouhodobou zkušenost s daným výrobkem z předvýrobních a náběhových etap : t 1 =  10 6, r 1 = 1 a tedy A* = r 2 / t 2  A* 0 Podmínka pro zrychlenou zkoušku : r 2 / t 2  A* 0 =  10 -7

Výběrové plány – Situace 1

Pdf( 2 ) for the testing plans P 1,P 2,P 3,P 4.

KALKULACE APOSTERIORNÍHO RIZIKA  * KALKULACE APOSTERIORNÍHO RIZIKA  *  * = Pr { 1  0  zk.spolehlivosti vyhověla } 1-  * aposteriorní jistota, že 1  0 ve zkoušce, která vyhověla. Pro optimální t 2,r 2 =k máme : Aposteriorní jistota, že 1  100 Fit pro akceptabilní zkoušku v závislosti na t 2

VÝBĚROVÝ PLÁN PRO ZKOUŠENÍ SPOLEHLIVOSTI SITUACE 2 Odběratel vyžaduje,aby : Pr  1  0   1 -  Ve zrychleném prostředí : Pr { 2  A* 0   1 -  Ve zrychleném prostředí : Pr { 2  A* 0   1 -  Jednostranný konfidenční interval pro 2 Jednostranný konfidenční interval pro 2 při cenzorování typu I (časově ukončená zk.): Podmínka pro optimalizaci : odtud

Výběrové plány – Situace 2

ZÁVĚRY  Použití Bayesova přístupu může výrazně snížit objem zkoušení  Apriorní rozdělení v Bayesově přístupu je odvozeno na základě inženýrské informace o aktivační energii  Odhad aktuální hodnoty faktoru zrychlení je proveden na základě dlouhodobě nahromaděných dat  Optimální výběrový plán zkoušení pro demonstraci splehlivosti vysoce spolehlivých součástek v závislosti na různých typech spolehlivostních požadavků odběratele  Rozptyl je pod kontrolou  Výpočet aposteriorního rizika odběratele

Any questions? Thank you! Have a nice day