Vzájemná poloha přímek daných parametrickým vyjádřením Název projektu: Moderní škola Vzájemná poloha přímek daných parametrickým vyjádřením Mgr. Martin Krajíc   8.4.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Vzájemná poloha přímek vzájemná poloha dvou přímek v rovině různoběžné … jeden společný bod (průsečík) rovnoběžné – totožné … všechny body společné různé … žádný společný bod

Vzájemná poloha přímek P u p Q v q přímky p, q jsou rovnoběžné různé, jestliže je vektor u násobkem vektoru v a jestliže bod Q neleží na přímce p P u Q v p = q přímky p, q jsou rovnoběžné totožné, jestliže je vektor u násobkem vektoru v a jestliže bod Q leží na přímce p

Vzájemná poloha přímek Průsečík přímek p Q v q P u přímky p, q jsou různoběžné, jestliže není vektor u násobkem vektoru v

Vzájemná poloha přímek Průsečík přímek: sestavíme parametrické vyjádření obou přímek z parametrických vyjádření obou přímek sestavíme soustavu a vypočteme hodnotu jednoho z parametrů dosadíme hodnotu parametru zpět do parametrického vyjádření jedné z přímek a získané x, y nám určí souřadnice průsečíku

Vzájemná poloha přímek Př: Určete vzájemnou polohu p (P, u), q (Q, v), u různoběžných určete souřadnice průsečíku. P [2, 3], u = (1, -2), Q [1, 0], v = (-1, 2) zjišťujeme, zda existuje číslo k takové, aby v = ku v = ku (-1, 2) = k (1, -2) (-1, 2) = (1k, -2k) dostaneme dvě rovnice -1 = 1k, 2 = -2k po úpravě z obou dostáváme stejné k = -1 přímky jsou rovnoběžné

Vzájemná poloha přímek musíme zjistit, zda bod Q leží na přímce p sestavíme parametrické vyjádření přímky p x = 2 + 1t y = 3 – 2t, t ɛ R dosazením souřadnic bodu Q za x, y do parametrického vyjádření přímky zjistíme, zda bod Q leží na přímce p 1 = 2 + 1t t = -1 0 = 3 – 2t t = 1,5 přímky jsou rovnoběžné různé Různé parametry t, bod Q neleží na přímce p.

Vzájemná poloha přímek P [6, -1], u = (3, -5), Q [9, -6], v = (-9, 15) zjišťujeme, zda existuje číslo k takové, aby v = ku v = ku (-9, 15) = k (3, -5) (-9, 15) = (3k, -5k) dostaneme dvě rovnice -9 = 3k, 15 = -5k po úpravě z obou dostáváme stejné k = -3 přímky jsou rovnoběžné

Vzájemná poloha přímek musíme zjistit, zda bod Q leží na přímce p sestavíme parametrické vyjádření přímky p x = 6 + 3t y = -1 – 5t, t ɛ R dosazením souřadnic bodu Q za x, y do parametrického vyjádření přímky zjistíme, zda bod Q leží na přímce p 9 = 6 + 3t t = 1 -6 = -1 – 5t t = 1 přímky jsou rovnoběžné totožné Stejné parametry t, bod Q leží na přímce p.

Vzájemná poloha přímek P [3, 2], u = (2, -1), Q [-1, 1], v = (1, 1) zjišťujeme, zda existuje číslo k takové, aby v = ku v = ku (1, 1) = k (2, -1) (1, 1) = (2k, -1k) dostaneme dvě rovnice 1 = 2k, 1 = -1k po úpravě dostáváme různá k (z první k = 0,5 a z druhé k = -1) přímky jsou různoběžné

Vzájemná poloha přímek sestavíme parametrická vyjádření přímek p: x = 3 + 2t q: x = -1 + 1s y = 2 – 1t, t ɛ R y = 1 + 1s, s ɛ R po dosazení za x, y do parametrického vyjádření přímky p z parametrického vyjádření přímky q dostaneme -1 + 1s = 3 + 2t 1 + 1s = 2 – 1t po vyřešení soustavy dostaneme t = -1, s = 2 dosadíme za t do parametrického vyjádření přímky p x = 3 + 2t x = 3 + 2(-1) x = 1 y = 2 – 1t y = 2 – 1(-1) y = 3 průsečík přímek má souřadnice X[1, 3]

Vzájemná poloha přímek – samostatná práce Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení). Konfucius: „Žádný inteligentní panovník nepřišel. Nikdo v království mne nechce za učitele. Nastal ……… zemřít.“ Př: Určete vzájemnou polohu p (P, u), q (Q, v), u různoběžných určete souřadnice průsečíku. P [1, 5], u = (1, 2), Q [4, 2], v = (1, -1) a) D = rovnoběžné různé b) Č = různoběžné, X [1, 5] P [4, 1], u = (3, 1), Q [- ½, -1], v = (6, 2) a) A = rovnoběžné různé b) E = různoběžné, X [-3, 4] P [1, 1], u = (1, 1), Q [4, -2], v = (2, 2) a) N = rovnoběžné různé b) S = různoběžné totožné

Vzájemná poloha přímek – správné řešení Konfucius: „Žádný inteligentní panovník nepřišel. Nikdo v království mne nechce za učitele. Nastal ……. zemřít.“ ČAS

Vzájemná poloha přímek – použitá literatura KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-04-08].