Kinematika

Stupně volnosti, kinematický řetězec Pohyb a transformace (translace, rotace, sférický pohyb) Přímá a inverzní úloha kinematiky Varování: vektoryT

Kinematika Pohyb jednotlivých částí robota bez ohledu na síly, které jimi pohybují Reprezentace polohy a orientace subjektu v prostoru Forward x Inverse kinematics

Stupně volnosti (degrees of freedom, DOF) Základní směry posunu a rotace 2D 3 stupně volnosti 𝑥,𝑦,𝛼 3D 6 stupňů volnosti 𝑥,𝑦,𝑧,𝛼,𝛽,𝛾 Alternativně se používá i notace „poloha 𝑥,𝑦,𝑧 + natočení k rovinám 𝑥𝑦, 𝑥𝑧 a k ose nástroje“ Pravidlo pravé ruky yaw - otočení/směr pitch - sklon/zdvih/sklopení roll – náklon ANEBO: yaw zatáčení, pitch naklápění, roll naklánění

Manipulátory Polohování předmětu v prostoru Ramena, zápěstí, chapadla pro 3D je potřeba aspoň 6 stupňů volnosti Ramena, zápěstí, chapadla Kloubová proměnná (joint variable) 𝑞 𝑖 údaj o nastavení kloubu též zobecněná souřadnice Poloha 𝑞= 𝑞 1 , 𝑞 2 ,…, 𝑞 𝑛 DOF = 𝑛 Pracovní prostor Lokální × globální souřadný systém (LCS, GCS) 6 - Nutná, nikoli postačující podmínka Lokální je z praktického hlediska výhodnější – vzájemná poloha v místě. q je pak vzájemná poloha mezi dvěma LCS v místě.

Přímá úloha kinematiky (3D) 𝑃=𝑓(𝑞) 𝑞= 𝑞 1 , 𝑞 2 ,…, 𝑞 6 𝑃= 𝑥,𝑦,𝑧,𝛼,𝛽,𝛾 Převod z prostoru spojů do prostoru efektoru

Rotace 𝑃 ′ =𝑅∙𝑃 Rotace kolem osy 𝑥 o úhel 𝜙: 𝑅 𝑥,𝜙 = 1 0 0 0 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑖𝑛𝜙 0 𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 Rotace postupně kolem os 𝑥, y, 𝑧 o úhly 𝜙, 𝜓, 𝜉: 𝑅 𝜙, 𝜓, 𝜉 = cos 𝜓 cos 𝜉 − cos 𝜓 sin 𝜉 sin 𝜓 sin 𝜙 sin 𝜓 cos 𝜉 + cos 𝜙 sin 𝜉 − sin 𝜙 sin 𝜓 sin 𝜉 + cos 𝜙 cos 𝜉 − sin 𝜙 cos 𝜓 − cos 𝜙 sin 𝜓 cos 𝜉 + sin 𝜙 sin 𝜉 cos 𝜙 sin 𝜓 sin 𝜉 + sin 𝜙 cos 𝜉 cos 𝜙 cos 𝜓 Nebo taky transformace souřadnic Pro převod mezi LCS a GCS R transformační matice fí, psí, xí

Rotace + translace 𝑃 ′ =𝑅∙𝑃+𝑇 𝑃 ′ 1 = 𝑅 𝑇 0⋯0 1 ∙𝑃 𝑃 ′ 1 = 𝑅 𝑇 0⋯0 1 ∙𝑃 𝑥 ′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ 1 = ∎ ∎ ∎ ∎ ∎ ∎ ∎ ∎ ∎ 𝑡 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 𝑧 0 0 0 1 ∙ 𝑥 𝑦 𝑧 1 Pro převod mezi LCS a GCS R transformační matice fí, psí, xí

Spojování systémů Libovolné Denavit-Hartenberg nemusí být snadné sestavit transformační matici Denavit-Hartenberg Metodika spojování Fiktivní pohyby sjednocující dva systémy: natočit, posunout, posunout, natočit Lze zobecnit na libovolnou sekvenci

Denavit-Hartenberg Očíslování článků 1..n Očíslování pohyblivých jednotek; 𝑢 𝑖 spojuje kloub 𝑖−1 a 𝑖 Ortonormální souřadný systém Osa 𝑧 𝑖−1 je osou pohybu kloubu 𝑖 kladný směr směřuje do kladného kvadrantu základního systému Osa 𝑥 𝑖 nechť je kolmá na 𝑧 𝑖−1 a 𝑧 𝑖 : 𝑧 𝑖−1 a 𝑧 𝑖 totožné – koncový bod 0. kloubu rovnoběžně s 𝑥 𝑏 mimoběžné – 𝑥 𝑖 ve společné normále 𝑧 𝑖−1 a 𝑧 𝑖 , kladný směr od 𝑧 𝑖−1 k 𝑧 𝑖 . různoběžné – 𝑥 𝑖 kolmá na 𝑧 𝑖−1 a 𝑧 𝑖 , v průsečíku, kladný směr tak, aby při rotaci kolem 𝑥 𝑖 přešla 𝑧 𝑖−1 na 𝑧 𝑖 kladně 𝑧 𝑛 z koncového bodu posledního článku buď rovnoběžně s 𝑧 𝑛−1 anebo význačným směrem (např. přívod) 𝑥 𝑛 z koncového bodu posledního článku tak, aby protnula 𝑧 𝑛−1 , kladný směr do pracovního prostoru.

DH transformace Vztah mezi 𝐿𝐶𝑆 𝑖−1 a 𝐿𝐶𝑆 𝑖 je složená transformace: Natočení osy 𝑥 𝑖−1 kolem osy 𝑧 𝑖−1 o úhel 𝜗 𝑖 𝐴 𝑧 𝑖−1 , 𝜗 𝑖 Posunutí osy 𝑥 𝑖−1 ve směru osy 𝑧 𝑖−1 o vzdálenost 𝑑 𝑖 𝐴 𝑧 𝑖−1 , 𝑑 𝑖 Posunutí počátku 𝐿𝐶𝑆 𝑖−1 podél osy 𝑥 𝑖 o vzdálenost 𝑎 𝑖 𝐴 𝑥, 𝑎 𝑖 Natočení osy 𝑧 𝑖−1 kolem osy 𝑧 𝑖 o úhel 𝛼 𝑖 𝐴 𝑥, 𝛼 𝑖 DH parametry: 𝜗 𝑖 , 𝑑 𝑖 , 𝑎 𝑖 , 𝛼 𝑖

DH transformace 𝐴 𝑖−1 𝑖 = 𝐴 𝑧 𝑖−1 , 𝜗 𝑖 ∙ 𝐴 𝑧 𝑖−1 , 𝑑 𝑖 ∙ 𝐴 𝑥, 𝑎 𝑖 ∙ 𝐴 𝑥, 𝛼 𝑖 𝐴 𝑖−1 𝑖 = cos 𝜗 𝑖 − sin 𝜗 𝑖 cos 𝛼 𝑖 sin 𝜗 𝑖 sin 𝛼 𝑖 𝑎 𝑖 cos 𝜗 𝑖 sin 𝜗 𝑖 cos 𝜗 𝑖 cos 𝛼 𝑖 − cos 𝜗 𝑖 sin 𝛼 𝑖 𝑎 𝑖 sin 𝜗 𝑖 0 sin 𝛼 𝑖 cos 𝛼 𝑖 𝑑 𝑖 0 0 0 1 DH parametry: 𝜗 𝑖 , 𝑑 𝑖 , 𝑎 𝑖 , 𝛼 𝑖 𝜗 𝑖 úhel mezi osami 𝑥 kolem 𝑧 𝑖−1 𝑑 𝑖 vzdálenost mezi osami 𝑥 𝑎 𝑖 vzdálenost mezi osami 𝑧 𝛼 𝑖 úhel mezi osami 𝑧 kolem 𝑥 𝑖

Použití 𝐴 𝑖−1 𝑖 Univerzální transformace mezi dvěma sousedními LCS Nezávisle na typu kloubu má vždy stejný tvar Rotační – proměnná 𝜗 𝑖 , ostatní konstanta Translační – proměnná 𝑑 𝑖 , ostatní konstanta Přímá kinematická úloha pak je snadná: V cyklu dosazujeme vždy 1 proměnnou a 3 konstanty

Example I a0 a1 d2 Joint 1 Joint 2 Joint 3 Link 1 Link 2 Z0 X0 Y0 Z3 (courtesy EMU, Mustafa K. Uyguroğlu) a0 a1 Z0 X0 Y0 Z3 X2 Y1 X1 Y2 d2 Z1 X3 Z2 Joint 1 Joint 2 Joint 3 Link 1 Link 2

Example II: PUMA 260 Number the joints Establish base frame Establish joint axis Zi Locate origin, (intersect. of Zi & Zi-1) OR (intersect of common normal & Zi ) Establish Xi,Yi (courtesy EMU, Mustafa K. Uyguroğlu) t PUMA 260

Link Parameters : angle from Xi-1 to Xi about Zi-1 6 90 5 8 -90 4 3 2 13 1 J -l (courtesy EMU, Mustafa K. Uyguroğlu) : angle from Xi-1 to Xi about Zi-1 : angle from Zi-1 to Zi about Xi : distance from intersection of Zi-1 & Xi to Oi along Xi Joint distance : distance from Oi-1 to intersection of Zi-1 & Xi along Zi-1

Example III (courtesy VŠB, Skařupa&Mostýn)

Example IV (courtesy VŠB, Skařupa&Mostýn)

Inverzní kinematika (courtesy MIT, H.H.Asada) Zadána poloha cílového manipulátoru. Chceme zjistit, jak nastavit klouby. Příklad (2D): Přímá kinematika: Dáno 𝜃 1 , 𝜃 2 , 𝜃 3 Hledáme 𝑥 𝑒 , 𝑦 𝑒 , 𝜙 𝑒

Inverzní kinematika (courtesy MIT, H.H.Asada) Zadána poloha cílového manipulátoru. Chceme zjistit, jak nastavit klouby. Příklad (2D): Jdu pozpátku. Nejdřív zjistím pozici bodu B (znám fí a délku posledního ramene). Pak z OB zjistím úhel alfa a z trojúhelníku OAB úhly beta a gama a z toho už mám snadno théta1, 2. Inverzní kinematika: Dáno 𝑥 𝑒 , 𝑦 𝑒 , 𝜙 𝑒 Hledáme 𝜃 1 , 𝜃 2 , 𝜃 3 ,

Obecná inverzní kinematika Vektorová metoda Numerické metody Numerické řešení soustavy transcendentních rovnic Aproximační metody Optimalizační metody Heuristiky Gradientní metody Řešení pro různé typy kinematických soustav Otevřená – bez problémů Jednoduché smyčky – často přímo nebo aspoň po úpravě Složitější soustavy – problém. Transcendentní = není algebraická (nejde vyjádřit jako polynom)