IV/2-3-2-08 Podobnost trojúhelníků Tento digitální učební materiál (DUM) vznikl na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“.   Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Zpracováno 4. 12. 2013, autor: Mgr. Jindřiška Janečková Sada IV/2-3-2 Matematika pro II. ročník gymnázia Planimetrie IV/2-3-2-08 Podobnost trojúhelníků

Podobné trojúhelníky C´ B´ A´ ? C B A

Podobné trojúhelníky C´ B´ A´ C B A ∆ A´B´C´ ~ ∆ ABC

Podobné trojúhelníky c´= k . c, a´= k . a, b´= k . b Trojúhelník A´B´C´ je podobný trojúhelníku ABC, právě když existuje kladné číslo k tak, že pro jejich strany platí IA´B´I = k . IABI, IB´C´I = k . IBCI, IC´A´I = k . ICAI.

Podobné trojúhelníky c´= k . c a´= k . a b´= k . b k = ? a´= 5cm c´= 6cm b´= 3cm C´ B´ A´ c = 3cm a= 2,5cm b = 1,5cm C B A k = ? ∆ A´B´C´ ~ ∆ ABC

Podobné trojúhelníky c´= 2 . c, a´= 2 . a, b´= 2 . b k = 2 a´= 5cm c´= 6cm b´= 3cm C´ B´ A´ c = 3cm a= 2,5cm b = 1,5cm C B A k = 2 ∆ A´B´C´ ~ ∆ ABC

Podobné trojúhelníky c´= 2 . c, a´= 2 . a, b´= 2 . b k = c´ : c a´= 5cm c´= 6cm b´= 3cm C´ B´ A´ c = 3cm a= 2,5cm b = 1,5cm C B A k = c´ : c k = c´: c k = b´: b k = a´: a ∆ A´B´C´ ~ ∆ ABC

Podobné trojúhelníky c´= 2 . c a´= 2 . a b´= 2 . b ∆ A´B´C´ ~ ∆ ABC a´= 5cm c´= 6cm b´= 3cm C´ B´ A´ c = 3cm a= 2,5cm b = 1,5cm C B A ∆ A´B´C´ ~ ∆ ABC Je – li koeficient (poměr) podobnosti trojúhelníků ABC, A´B´C´ k > 1, představuje podobnost ZVĚTŠENÍ.

Podobné trojúhelníky ∆ A´B´C´ ~ ∆ ABC c´= 0,5 . c a´= 0,5 . a b´= 0,5 . b ∆ A´B´C´ ~ ∆ ABC C C´ b = 3cm a = 5cm b´ = 1,5cm a´= 2,5cm A A´ c = 6cm c´ = 3cm B B´ Je – li koeficient (poměr) podobnosti trojúhelníků ABC, A´B´C´ k < 1 (k>0), představuje podobnost ZMENŠENÍ.

Podobné trojúhelníky A co když k = 1? ∆ A´B´C´ ~ ∆ ABC

Shodné trojúhelníky C B A A´ B´ C´ k = 1

Podobné trojúhelníky ∆ A´B´C´ ~ ∆ ABC Také ∆ ABC ~ ∆ A´B´C´ c´= 0,5 . c a´= 0,5 . a b´= 0,5 . b ∆ A´B´C´ ~ ∆ ABC C Koeficient podobnosti k C´ b = 3cm a = 5cm b´ = 1,5cm a´= 2,5cm A A´ c = 6cm c = 2 . c´ a = 2 . a´ b = 2 . b´ c´ = 3cm B B´ Koeficient podobnosti 1 : k = Také ∆ ABC ~ ∆ A´B´C´

Podobné trojúhelníky ∆ A´B´C´ ~ ∆ ABC ∆ ABC ~ ∆ A´B´C´ C´ C a´ = 5cm b´ = 3cm b = 1,5cm a = 2,5cm c = 3cm c´ = 6cm a´ : a = b´ : b = c´ : c a´ : b´ = a : b, a´ : c´ = a : c, b´ : c´ = b : c a´ : b´ : c´ = a : b : c ∆ A´B´C´ ~ ∆ ABC ∆ ABC ~ ∆ A´B´C´

Věta uu B´ A´ C´ C B A α β α β Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhlech, jsou podobné.

Věta sus α B´ A´ C´ C α A B Dva trojúhelníky, které se shodují v poměru dvou stran a úhlu jimi sevřeném, jsou podobné.

Věta Ssu C B A γ B´ C´ A´ Dva trojúhelníky, které se shodují v poměru dvou strana úhlu proti větší z nich, jsou podobné.

Rovnostranné trojúhelníky C C´ ? α α A´ α α α B A α γ Věta uu: Věta sus: Věta Ssu: B´

Rovnostranné trojúhelníky C C´ α α A´ α α α B A α γ B´ Každé dva rovnostranné trojúhelníky jsou shodné.

Rovnoramenné trojúhelníky C C´ ? γ γ α α A B Věta uu: Věta sus: Věta Ssu: α α B´ A´

Rovnoramenné trojúhelníky C C´ γ γ α α A B Dva rovnoramenné trojúhelníky jsou podobné, shodují – li se v úhlu při základně nebo v úhlu při hlavním vrcholu. α α B´ A´

Pravoúhlé trojúhelníky C´ C ? 90° 90° β α A B β α A´ B´ Věta uu: Věta sus: Věta Ssu:

Pravoúhlé trojúhelníky C´ C 90° 90° β α A B β α A´ B´ Dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné, shodují – li se v jednom ostrém úhlu nebo v poměru dvou odpovídajících stran.

Rozdělení úsečky v daném poměru Rozdělte úsečku AB bodem C tak, aby IACI : ICBI = 3 : 2. C A B D E Využíváme podobnosti trojúhelníků ADC a AEB.

Použitá literatura Použité obrázky POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia: planimetrie. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2001, 206 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6174-4. Použité obrázky http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=37&pos=3 http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=22