ZÁKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE

ZÁKLADNÍ GEOMETRICKÉ TVARY PROSTORU: - BOD - PŘÍMKA - ROVINA

BOD Body označujeme písmeny velké latinské abecedy A, B, C, . . . P, N

PŘÍMKA Přímky (křivky) označujeme písmeny malé latinské abecedy a, b, c, . . .p, q

ROVINA Roviny označujeme písmeny malé řecké abecedy α ρ τ . . . π

TOTOŽNOST - RŮZNOST Totožnost bodů Označení: A = B čteme jako „bod A je totožný s bodem B“

Různost bodů Označení: C ≠ D Čteme jako „bod C je různý od bodu D“

POLOHOVÉ VZTAHY - bod P leží na přímce p - přímka p prochází bodem P nebo také - přímka p prochází bodem P

Polohové vztahy se také označují slovem INCIDOVAT Být incidentní

Zápis: - p Є π Čteme jako: „přímka p leží v rovině pí“, nebo také „přímka p je incidentní s rovinou pí“

PRAVOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ NA DVĚ PRŮMĚTNY (MONGEOVO PROMÍTÁNÍ)

SOUŘADNICOVÉ ROVINY Tři vzájemně kolmé roviny Protínají se v souřadnicových osách x, y, z Společný bod rovin i os nazýváme počátek souřadnic a značíme jej „O“ Pravoúhlá soustava souřadnic O(x,y,z,)

- Technická dimetrie pravoúhlá z 97° 131° x 132° Axonometrické zobrazení y - Technická dimetrie pravoúhlá

2π 3π 1π 2. Průmětna - nárysna 3. Průmětna - bokorysna Průmětna z 2π 2. Průmětna - nárysna 3π 3. Průmětna - bokorysna x Průmětna - půdorysna y 1π

ZÁKLADNICE 1. průmětna 1π se protíná s 2. průmětnou 2π v ose x - nazýváme ji základnice a značíme x12

z 2π základnice x12 y 1π

Průmětny 1π a 2π dělí prostor na 4 kvadranty: I. Kvadrant - nad první a před druhou průmětnou z > 0; y > 0 II. Kvadrant - nad první a za druhou průmětnou z > 0; y < 0 III. Kvadrant - pod první a za druhou průmětnou z < 0; y < 0 IV. Kvadrant - pod první a před druhou průmětnou z < 0; y > 0

II. I. III. IV.

ZOBRAZENÍ BODŮ Zvolíme bod A v prostoru I. kvadrantu Promítneme jej pravoúhle do 1π, 2π a 3π Prvním průmětem A1 bodu A je průsečík půdorysně promítací přímky s 1π Obdobně postupujeme v 2π a 3π

z Az 2π A2 A3 3π A Ax x Ay A1 y 1π

SDRUŽOVÁNÍ PRŮMĚTEN Sklopením 1π kolem osy x do 2π splyne kladná polorovina 1π se zápornou polorovinou 2π

SDRUŽENÉ PRŮMĚTY prostoru zobrazen dvojicí sdružených Sdružením průměten 1π a 2π je bod v prostoru zobrazen dvojicí sdružených průmětů – A1 a A2 ,které leží na společné kolmici k základnici, která se nazývá ordinála

PŘÍKLAD Sestrojte průměty bodu A (3,2,1) Řešení: První dvě souřadnice jsou souřadnicemi prvního průmětu A1 Třetí souřadnice určuje druhý průmět bodu A, bod A2, který leží na ordinále

z 4 3 2 A2 x12 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 A1 2 3 4 y

PŘÍKLAD Sestrojte průměty bodů: B (-2, -1, 3) C (4, -1, -2) D (0, 3, -4) E (-3, 2, 0) F (5, 0, 3) G (-5, 3, 3) H (2, 3, -3)

ZOBRAZENÍ BODŮ, LEŽÍCÍCH V NĚKTERÉ PRŮMĚTNĚ Leží-li bod E v 1π , leží jeho druhý průmět E2 na základnici - E2 Є x12 Podobně platí: Leží-li bod F v 2π , leží jeho první průmět F1 na základnici - F1 Є x12

ZOBRAZENÍ PŘÍMEK Přímka je jednoznačně určena dvěma různými body Sdruženými průměty těchto bodů jsou určeny sdružené průměty přímky

Při zobrazování přímek mohou nastat dva případy: Přímka není kolmá k základnici Přímka je kolmá k základnici

Není-li přímka kolmá k základnici, jsou její sdružené průměty dvě přímky (mohou splývat) Je-li přímka kolmá k základnici, jsou její sdružené průměty splývající přímky kolmé k základnici

STOPNÍKY PŘÍMEK STOPNÍK PŘÍMKY je průsečík přímky s průmětnou Průsečík s 1π je půdorysný stopník, značíme jej P, jeho průměty P1 a P2 Průsečík s 2π je nárysný stopník, značíme jej N, jeho průměty N1 a N2

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMEK Dvě přímky v prostoru mohou být vzájemně: Rovnoběžné (různé nebo totožné) Různoběžné Mimoběžné

Rovnoběžky mají souhlasné průměty rovnoběžné

Různoběžky – průsečík leží na ordinále

Mimoběžky – průsečíky neleží na ordinále

SKUTEČNÁ VELIKOST ÚSEČKY Skutečná velikost úsečky, která je rovnoběžná s některou průmětnou, se rovná velikosti průmětu do této průmětny Není-li úsečka rovnoběžná se žádnou průmětnou, musíme sklopit její 1. promítací rovinu do 1π , nebo její 2. promítací rovinu do 2π

PRINCIP SKLÁPĚNÍ Konstrukce skutečné velikosti úsečky sklopením prvního a druhého promítacího lichoběžníku: A (5,4,2); B (1,2,5)

A(5,4,2,); B(1,2,5)

Postup: B2 U2 A2 za=2 x12 xa=5 B1 ya=4 A1 U1

B u A . . Postup sklopení druhého promítacího lichoběžníku x12 yb B2 ya . U2 A2 2 x12 5 4 B1 A1 U1

B u x12 A1 A2 5 4 2 B1 B2 U1 U2 A . ya yb zb za B A u

MÍSTO PROMÍTACÍHO LICHOBĚŽNÍKU MŮŽEME DOSTAT: Pravoúhelník, je-li úsečka rovnoběžná s průmětnou Trojúhelník, leží-li jeden z krajních bodů úsečky v průmětně Zkřížený lichoběžník, leží-li oba krajní body v opačných poloprostorech Úsečku – leží-li úsečka v průmětně

ROZDÍLOVÝ TROJÚHELNÍK A(3,3,4); B(0,1,1)