2.1.2 Graf kvadratické funkce

Grafem každé kvadratické funkce je plynulá nepřerušovaná křivka, nazývá se parabola, a je osově souměrná podle osy rovnoběžné s osou y.

Sestrojování grafů kvadratických funkcí Sestrojit graf kvadratické funkce není tak triviální jako u lineární funkce, kde stačilo spojit dva body. Před samotným kreslením bychom měli vědět, jak přesnou informaci o průběhu funkce potřebujeme.

U kvadratických funkcí můžeme zjišťovat několik vlastností: Natočení Polohu vrcholu Průsečík s osou y Průsečík s osou x Odvození jednodušších grafů Skládání grafů y = ax2 y = ax2 + c y = ax2 + bx

Natočení Pokud je parabola natočena otevřeným koncem nahoru, říkáme, že funkce je konvexní. Na obrázku je znázorněna funkce y = x2 , tato funkce je konvexní a splňuje podmínky konvexnosti ( a > 0 ).

Pokud je parabola natočena otevřeným koncem dolů, říkáme, že funkce je konkávní. Na obrázku je znázorněna funkce y = -x2 , tato funkce je konkávní a splňuje podmínky konkávnosti ( a < 0 ).

Poloha vrcholu V [x0; y0] Abychom získali souřadnice vrcholu V musíme si převést zápis funkce z tvaru na tvar . Této úpravě se říká úprava na čtverec.

Příklad 1: Sestrojte graf funkce Vytvoříme třetí člen mocninného rozvoje (a+b)2. Odečteme vytvořený člen mocninného rozvoje tak, aby se druhý řádek rovnal řádku prvnímu. Upravíme Vzorec (a+b)2

Porovnáme upravený zápis se vzorcem x0 y0 Konstanta k = 1, parabola bude konvexní, což bylo jasné už na začátku, kde a = 1.

Souřadnice vrcholu paraboly lze počítat také dle vzorce Souřadnice vrcholu paraboly lze počítat také dle vzorce. Vrchol paraboly, která je grafem kvadratické funkce má souřadnice , .

Průsečík s osou y Zjištění průsečíku paraboly s osou y, provedeme tak, že dosadíme do zápisu funkce x = 0 a dopočítáme y. Pro ukázku použijme tutéž funkci. u které jsme zjišťovali vrchol V.

Průsečík s osou x Zjištění průsečíku paraboly s osou x, provedeme tak, že dosadíme do zápisu funkce y = 0 a dopočítáme x. Je třeba počítat s tím, že můžeme najít buď dva průsečíky s osou x, nebo pouze jeden dotykový bod a nebo nemusíme najít žádný společný bod. Více podrobností najdeme v kapitole kvadratické rovnice.

Příklad 1: Sestrojte graf funkce . Řešení: Pokračujeme v řešení tohoto příkladu, nyní vypočítáme průsečíky s osou x. (Řešení na interaktivní tabuli).

Odvození z jednodušších grafů použijeme u těch funkcí, kde konstanta b = 0, případně c = 0. Obecný tvar funkce: 1. 2. 3.

Vliv konstanty na natočení grafu Grafy kvadratických funkcí, kde a kde mají tu vlastnost, že vždy procházejí středem soustavy souřadnic.

Čím je absolutní hodnota větší, tím je graf strmější

Vliv konstanty c na posunutí grafu Grafy kvadratických funkcí, kde   mají tu vlastnost, že jejich vrchol leží vždy na ose y. Konstanta c posouvá parabolu buď nahoru (c > 0), nebo dolů (c < 0).

Vliv konstanty b na posunutí grafu ( graf takové funkce prochází vždy počátkem soustavy souřadnic )

Skládání grafů Grafy funkcí typu:

Graf funkce je parabola s osou rovnoběžnou s osou y a s vrcholem která se otvírá nahoru ( konvexní ) pro > 0 a dolů ( konkávní ) pro < 0. Příklad 2: Sestrojte graf funkce . Řešení: Graf funkce vznikne z grafu posunutím o tři jednotky ve směru kladné poloosy x. Graf funkce vznikne z grafu posunutím o tři jednotky ve směru záporné poloosy x.

Grafy funkcí:

Cvičení 2.1.2.4 Nakreslete grafy kvadratických funkcí: Nakreslete grafy kvadratických funkci, určete definiční obor, monotónnost funkcí:

Graf funkce je parabola s osou rovnoběžnou s osou y a s vrcholem která se otvírá nahoru ( konvexní ) pro > 0 a dolů ( konkávní ) pro < 0. Příklad 3: Sestrojte graf funkce . Řešení: Ve zvolené souřadnicové soustavě načrtneme graf funkce a tuto parabolu posuneme tak, aby její vrchol byl v bodě a její osa byla rovnoběžná s osou y.

Graf funkce

Cvičení 2.1.2.5 1. Sestrojte grafy kvadratických funkcí:

Postup při sestrojování grafu funkce 1. Upravíme nejprve výraz doplněním na druhou mocninu dvojčlenu ( doplněním na čtverec ): 2. Sestrojíme graf funkce 3. Sestrojíme graf funkce a to z grafu pomocí posunutí: o jednotek ve směru osy x, o jednotek ve směru osy y.

Příklad 4: Sestrojte graf funkce Řešení: Sestrojíme graf funkce .

Sestrojíme graf funkce a to z grafu pomocí posunutí: o jednotek ve směru osy x, o jednotek ve směru osy y. Dále můžeme vypočítat průsečíky s osami, určit monotónnost funkce, Určit maximum nebo minimum funkce, definiční obor.

f: y = 0,5x2 +2x -1 Graf funkce

Cvičení 2.1.2.6 Cvičení 2.1 ( opakování ) Načrtněte graf funkce dané rovnicí: Zobrazte graf funkce: Cvičení 2.1 ( opakování )