Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/ Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora - Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko. NÁZEV MATERIÁLU: Posloupnost – obecná posloupnost Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2013

Posloupnost – obecná posloupnost

Osnova a)pojem posloupnost b)graf posloupnosti c)dělení posloupnosti d)vlastnosti posloupnosti e)způsoby zápisu posloupnosti f)ukázkové příklady g)příklady na procvičení včetně řešení

Posloupnost posloupnost je nějaká řada hodnot (čísel) mající přesné pořadí posloupnost je funkce posloupnost je zobrazení N  R posloupnost čísel 1, 3, 5, 7, 9,... R pořadí N pozn.: označení posloupnosti pozn.: členy posloupnosti – a n (např. a 1 ; a 2 ; a 3 ;... ; a n-1 ; a n ; a n+1 ;...)

Graf posloupnosti posloupnost je funkce a tedy má i své grafické znázornění (graf) -graf izolovaných bodů [ N; R]  [ n; a n ] R N

Dělení posloupnosti konečná posloupnost -jde o posloupnost s přesně konečným počtem hodnot (čísel) Př. množina žáků ve třídě dle jmenného seznamu nekonečná posloupnost -jde o posloupnost s nekonečným počtem hodnot (čísel) Př. množina celých kladných sudých čísel - 2; 4; 6; 8;...

Vlastnosti posloupnosti monotónnost posloupnosti -rostoucí – když pro každé n N platí: a n < a n+1 -klesající – když pro každé n N platí: a n > a n+1 -nerostoucí – když pro každé n N platí: a n ≥ a n+1 -neklesající – když pro každé n N platí: a n ≤ a n+1 pozn.: v případě, kdy se pro každé n N : a n = a n+1 pak bude posloupnost tzv. konstantní

Způsoby zápisu posloupnosti vzorcem vyjadřujícím n-tý člen posloupnosti -je třeba znát zápis posloupnosti n-tého členu pomocí n Př.  rekurentním vzorcem -zde je zapotřebí znát první člen nebo několik prvních členů posloupnosti a vzorec, pomocí něhož lze vyřešit další členy posloupnosti Př.

Ukázkový příklad: Napište prvních pět členů posloupnosti zadané takto. n = 1: dosazujeme za n postupně čísla 1, 2, 3, 4 a 5 n = 2: n = 3: n = 4: n = 5:

Ukázkový příklad: Napište prvních pět členů takto zadané posloupnosti a určete její vlastnost. n = 1: vezmeme n = 1 a dosadíme všude za n ve vzorci 1 dosadíme člen a 1 a vyřešíme a 2 zjistíme člen a 2 n= 2: vezmeme n = 2 a dosadíme všude za n ve vzorci 2 dosadíme člen a 2 a vyřešíme a 3 zjistíme člen a 3

Ukázkový příklad: n = 3: vezmeme n = 3 a dosadíme všude za n ve vzorci 3 dosadíme člen a 3 a vyřešíme a 4 zjistíme člen a 4 n= 4: vezmeme n = 4 a dosadíme všude za n ve vzorci 4 dosadíme člen a 4 a vyřešíme a 5 zjistíme člen a 5 posloupnost je rostoucí

Příklady na procvičení př. 1: Napište prvních pět členů takto zadané posloupnosti a určete její vlastnost. Řešení př. 2: Napište prvních pět členů takto zadané posloupnosti Řešení přeskočit

Řešení př. 1: vyřešit prvních pět členů a určit vlastnost n = 1: a 1 = n = 2: a 2 = n = 3: a 3 = n = 4: a 4 = n = 5: a 5 = Posloupnost je klesající. zpět

Řešení př. 2: - vyřešit prvních pět členů n = 1: n = 2: n = 3: zpět

Shrnutí definice posloupnosti -řada čísel mající přesné pořadí; funkce; zobrazení dělení posloupnosti a)konečná b)nekonečná způsoby zápisu posloupnosti a)vztah pro n-tý člen posloupnosti b)rekurentní vzorec – nějaké členy + vzorec

Zdroje HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., Učebnice pro střední školy. ISBN