Křivky Plochy

Obsah Rozdělení Spojitost Křivost Interpolační křivky Aproximační křivky Plochy Analýzy ploch

Rozdělení křivek y =f(x) F(x,y) = 0 x = x(t) y = y(t) z = z(t) Křivky jsou obyčejně v počítači reprezentovány jako soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně zobrazována. Toto vyjádření může být v podstatě trojího druhu: Explicitní y =f(x) Implicitní F(x,y) = 0 Parametrické x = x(t) y = y(t) z = z(t)

Rozdělení křivek y= f(x) Explicitní Derivace v obecném bodě: tgα = f‘(x)

Rozdělení křivek F(x,y) = 0 Implicitní Např. pro výpočet průsečíku s implicitně zadanou křivkou ve 3D prostoru.

Rozdělení křivek Základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice jsou křivky polynomiální (Pn(t) = a0 + alt + ... + antn). Z nich se skládají křivky po částech polynomiální, to jsou křivky, jejichž segmenty jsou polynomiálními křivkami. Nejčastěji používané jsou křivky třetího stupně - kubiky, které poskytují dostatečně širokou škálu tvarů. Jejich výpočet bývá nenáročný (díky stupni polynomu), jsou snadno manipulovatelné a je možné u nich zaručit spojitost C2, požadovanou někdy při modelování v CAD systémech. Křivky vyššího stupně mohou způsobovat nežádoucí vlnění a oscilace a jsou náročnější na výpočet.

Rozdělení křivek Interpolační Aproximační Definujeme několik řídicích bodů (řídicí polygon) a z jejich polohy se určuje průběh křivky. Máme dva základní druhy interpretace řídicích bodů: Interpolace polynomem V praxi je nejčastější interpolační technikou interpolace polynomem, a to bud' jediným polynomem n -1 řádu pro n bodů, nebo po částech. Po řešení soustavy rovnic máme polynom tvaru: p(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + ... + am * x^m Příliš velký stupeň polynomu může vnutit křivce nepřirozené zvlnění. V počítačové praxi bývá polynomiální interpolace používána pro křivky stupně maximálně pět. Interpolace po částech Daleko častější interpolační technikou je interpolace křivky po jejích částech. Uvažujme n-tici bodů. Aproximací polynomem třetího řádu potom rozumíme aproximaci jejích každých čtyř bodů polynomem třetího stupně. Problémem, který je potřeba řešit, je potom navazování křivky v bodech, kde jedna část přechází v druhou. Interpolační metody nejsou pro výše uvedené nevýhody příliš často v počítačové grafice využívány. Tyto metody nacházejí uplatnění v numerické matematice a v matematické statistice, kde se na základě interpolací usuzuje na potenciální chování nějakých jevů v budoucnu (potom se hovoří o Extrapolaci; předpověď možných hodnot). Aproximační křivky Aproximací bodů rozumíme vytvoření takové křivky, která je těmito body vhodně řízena. Není kladen požadavek na procházení opěrnými body (ani prvním a posledním bodem). Způsob řízení odpovídá vytváření této křivky. Existuje v zásadě dvojí přístup k aproximacím. Přístup první je znám z numerické matematiky a jeho cílem je smysluplná interpretace vstupních dat. Uveďme metodu nejmenších čtverců, její smyslem je nalézt křivku, jež je hladká, a čtverec vzdálenosti řídicích bodů od ní je minimální. Neměnným základem těchto postupů jsou zadané body. Generovaná křivka má jen informativní charakter. Druhý přístup je používán v počítačové grafice. Smyslem není interpretace bodů, ale generování křivky. Křivka může být řízena body, potom hovoříme o tzv. řídicím polygonu nebo body a vektory. Metoda, která křivku vytváří, zaručuje její vlastnosti. Požadované vlastnosti jsou její hladkost, spojitost, počet inflexí aj. Tyto metody byly navrženy tak, aby vyhovovaly technické praxi, a zaručují tedy například nízké tření navržených objektů aj. V počítačové grafice se nejčastěji používá aproximace po částech (podobně jako interpolace), a to obyčejně kubikami (tedy křivkami, které jsou generovány polynomy třetího řádu). Interpolační Aproximační

Spojitost Parametrická – C0,C1,C2. Při navazování oblouků je významným faktorem spojitost křivek. Říkáme, že výsledná křivka je spojitá, pokud je spojitá ve všech svých bodech, a tedy zejména v navazovacích bodech. Křivka je hladká, pokud jsou ve všech jejích bodech spojité i její první derivace. Pro vyšší derivace říkáme, že křivka má spojitost druhého, třetího a obecně n-tého řádu. Parametrická – C0,C1,C2. Geometrická – poziční, tečná, křivostní (G0, G1, G2, popř. G3, G4).

Spojitost Dva segmenty jsou spojitě navázány (neboli mají spojení třídy C0), pokud je koncový bod prvního segmentu počátečním bodem segmentu druhého. Dva segmenty mají spojení C1, pokud je tečný vektor v koncovém bodě segmentu Q1 roven tečnému vektoru Q2 v jeho počátečním bodě. Analogicky rovnost vektoru první a druhé derivace je požadována pro C2.

Spojitost Dva segmenty křivky Q(t) jsou G0 spojité, pokud je koncový bod Q1 počátečním bodem Q2. Dva segmenty jsou G1 spojité, pokud tečné vektory segmentu Q1 a segmentu Q2 jsou lineárně závislé. Tato spojitost zaručuje totožnost tečen (nikoli tečných vektorů). Pohybující se bod v uzlu nemůže změnit skokem směr, ale může skokem změnit rychlost. Opticky zaručuje G1 spojitost "skoro stejnou" hladkost jako C1, z hlediska použití bývá daleko snažší zaručit spojitost G1 nežli C1. Spojitost G2 je definována jako shoda prvních křivostí 1k v uzlu obou segmentů , kde 1k(t) je tzv. první křivost. Spojitost C1 implikuje G1 (obráceně však nikoliv).

Spojitost G prakticky Spojitost je matematické vyjádření hladkosti přechodu (změn přechodu) mezi dvěma spojenými křivkami nebo plochami. G0 spojitost: křivky mají společný koncový bod, plochy mají společnou hranu. Ve spojení křivek existuje ostrá změna směru nebo ostrá hrana u spojení ploch. Obrázek: dvě úsečky, úsečka + oblouk, oblouk + oblouk.

Spojitost G prakticky G1 spojitost: spojené křivky nebo plochy jsou ve společném bodě (hraně) navzájem tečné (tečné vektory jsou rovnoběžné), avšak mohou mít rozdílnou „rychlost“, tedy velikost změny směru (křivost). Obrázek: úsečka + oblouk, oblouk + oblouk.

Spojitost G prakticky G2 spojitost: jako G1, ale křivost dvou spojených křivek nebo ploch je ve společném bodě (hraně) stejná – mění se plynule. Křivky (plochy) mají ve společném bodě (hraně) stejnou „rychlost“. Obrázek: úsečka + spline.

Spojitost G prakticky G3 spojitost: stejné jako G2, ale rychlost změny křivosti je u obou křivek (ploch) stejná. G4 spojitost: stejné jako G3, ale rychlost změny rychlosti změny je u obou křivek stejná. Nejhladší typ napojení. Mnohdy může stačit i napojení G1, protože i v tomto případě jsou paprsky dopadajícího světla spojité a vypadají přirozeně (viz zebra analýzy). Větu výše si ještě ověřit – asi není pravdivý.

Křivost Jedná se o převrácenou hodnotu poloměru křivky nebo plochy v daném bodě, resp.: do každého bodu křivky lze umístit takovou kružnici, která má stejnou první i druhou derivaci jako křivka v tomto bodě. Taková kružnice se nazývá oskulační. Poloměr oskulační kružnice je poloměrem křivosti křivky v daném bodě, převrácená hodnota je křivostí křivky v daném bodě.

Křivost Graf křivosti poskytuje představu o hladkosti křivky. Je možné odhalit křivky, které jako hladké jenom vypadají. Graf křivosti je spojitou funkcí křivostí křivky sestrojených pro všechny body křivky. Ve skutečnosti se výsledek interpoluje do spojité křivky z určitého počtu kroků (dělení křivky).

Interpolační křivky Lagrangeova interpolační křivka Fergusonovy kubiky P(t) = P0F1(t) + P1F2(t) + P0'F3(t) + P1'F4(t) Catmull-Rom splajny

Aproximační křivky Bézierovy kubiky Jelikož manipulace s vektory u Fergusonových kubik je poměrně nenázorná, je Bézierova metoda podstatně populárnější. Vychází totiž pouze ze zadání řídicího polygonu bodů, který určuje tvar výsledné křivky Bézierova kubika je zadána čtyřmi body P0, P1, P2 a P3. Vychází z prvního bodu P0 a končí v bodě posledním P3. Vyklenutí je řízeno body P2 a P3.

Aproximační křivky Obecné Beziérovy křivky Zobecněním Bézierových kubik jsou obecné Bézierovy křivky. Bézierova křivka n-tého řádu vznikne z n+1 bodů řídicího polygonu P0, P1, ... , Pn. Jedná se o kubickou parabolu procházející body P0, P3. Úsečky P0P1, P3P2 určují tečny v krajních bodech a jejich směrnice jsou číselně rovny třetině délky těchto úseček. Křivky lze s výhodou použít všude tam, kde je potřeba snadného hladkého napojování. V bodě spojení se zajistí společná tečna, tím se docílí spojitosti křivky i její derivace. Bézierovy křivky jsou pro svou snadnou manipulovatelnost často používány v CAD systémech (např. AutoCAD). Jejich jednoduchá tvorba zaručuje jejich snadnou manipulovatelnost (pouhou změnou polohy bodu se mění tvar výsledné křivky).

Aproximační křivky Racionální Beziérovy křivky Křivku lze s výhodou použít v případě, že je třeba měnit tvar křivky bez změny polohy řídících bodů s dodržením tečnosti v krajních bodech . Každému řídícímu bodu se přiřadí nezáporné reálné číslo mi, které řídí tvar křivky. Nejvýznamnějším přínosem racionálních Bézierových křivek je schopnost změnit tvar křivky bez změny polohy bodů řídicího polygonu. Velmi dobře se modelují křivky s prudkou změnou tvaru.

Aproximační křivky Coonsovy kubiky Coonsova kubika se zadává stejně jako kubika Bézierova čtyřmi řídicími body P0, Pl, P2, a P3. Krajní body křivky tedy nevychází z řídicích bodů, ale z antitěžiště trojúhelníků P0PlP2 a P1P2P3. Největší výhoda Coonsových kubik se stane zřejmou teprve v okamžiku, kdy je použijeme pro skládání aproximačních křivek. Uvažujme řídicí polygon složený z bodů P0, P1, ..., Pn. Budeme-li výslednou křivku skládat z Coonsových oblouků vždy tak, že pro jeden oblouk použijeme vrcholy P0P1P2P3, pro další P1P2P3P4 atd., získáme křivku, která se nazývá B-splajn. Vlastností B-splajnu je, že má ve všech vnitřních bodech spojitost druhého řádu. Z hlediska konstrukce je pro tímto způsobem vytvářenou křivku výhodné i to, že změnou jednoho bodu dojde pouze k lokální změně čtyř oblouků, jejichž konstrukce se bod účastní.

Aproximační křivky Splajn křivky Mějme dáno n + 1 opěrných bodů P0, P1, ..., Pn. Splajn křivkou m-tého řádu rozumíme funkci f(z), která má spojité derivace f0, f'(z), ..., f(m-1) a na každém intervalu <xi, xi+1> je f(x) polynomem stupně m. Splajn křivka se tedy skládá z polynomů a zaručuje spojitost derivací v navazovacích bodech. Uniformní neracionální kubický B-splajn Porovnáme-li vztahy pro tečné vektory a vektory druhých derivací dvou po sobě následujících segmentů Qi a Qi+1, zjistíme, že segment Qi+1 vychází z posledního bodu segmentu Qi a že jsou identické první a druhé derivace v tomto bodě. Křivka je tedy v uzlech C2 spojitá.

Aproximační křivky NURBS Neuniformní racionální B-splajn křivky (NURBS - non uniform rational B-spline) jsou dvojím zobecněním B-splajn křivek. Termín neuniformní je odvozen od vzdálenosti uzlů ve smyslu parametru t, která nemusí být u těchto křivek konstantní. Křivka NURBS je určena n + 1 body řídicího polynomu, uzlovým vektorem U délky m + 1 a stupněm křivky p. Uzlový vektor pro křivku NURBS procházející prvním a posledním bodem řídicího polynomu.

Aproximační křivky Křivky NURBS mají tyto vlastnosti: Křivka prochází prvním a posledním bodem řídícího polygonu Změna polohy nebo váhy jednoho bodu má vliv jen na část křivky Křivka umožňuje vyjádřit kuželosečky Pro hodnoty wi = 1 je NURBS Bézierovou křivkou.

Plochy Interpolační plochy Aproximační plochy Nejčastěji se používají plochy určené vektorovým polynomem. Aproximační plochy Bézierovy, Fergusonovy a Coonsovy plochy patří mezi tzv. technické plochy. Uživatel modeluje plochu pomocí řídících bodů, okrajových křivek, tečných vektorů bez hlubokých znalostí matematiky a geometrie.

Plochy Beziérovy plochy Bézierova bikubická plocha je dvourozměrnou prezentací Bézierovi kubiky. Řídící body Pij tvoří tzv. řídící polygon, kterým je plocha tvarována. Hrany řídícího polygonu jsou tečny plochy ve směru souřadných ploch, okraje plochy jsou tvořeny Bézierovými kubikami. Jednotlivé plochy se jednoduše spojují a je možné zaručit hladké napojování, výsledná plocha je spojitá i se svými prvními parciálními derivacemi. Okraj, který je napojován, je společný oběma plochám, což se zajistí společným okrajem řídícího polygonu.

Plochy Fergusonova plocha Plocha je dvojrozměrným zobecněním Fergusonových křivek.

Plochy Coonsova plocha řízená polygonem Plocha je zobecněním Coonsovy kubiky Při spojování ploch lze u výsledné plochy zajistit hladkost druhého stupně, plocha má spojité i druhé derivace, je hladší než plocha vytvořená z Bézierových ploch. Díky této vlastnosti jsou Coonsovy plochy v technické praxi často používány. Coonsova plocha definovaná okrajem Plochu určují čtyři křivky, které tvoří její uzavřenou hranici.

Plochy NURBS plochy zobecnění B-spline ploch dnes průmyslový standard v geometrickém modelování poměrně složitý matematický popis jednotná (univerzální) reprezentace širokého spektra ploch - jednotné algoritmy, výpočetní procedury pro řešení např. množinových operací, průsečíků se světelnými paprsky apod. invariantní ke všem transformací a projekcím Invariantní – nepodléhající změnám

NURBS plochy Definice pomocí: Řídicí sítě (kontrolní body) Stupňů v daných proměnných Vektorů parametrizace Váhou vrcholů

Class A plochy Původ označení v návrhu lodí, nyní nejčastější použití v automobilovém průmyslu. Rozšiřují se i do oblasti spotřebního zboží (např. mobilní telefony, zubní kartáčky, atd.). Vnitřní nebo vnější plochy, které při běžném používání výrobku vidíme a u kterých je důležitý estetický dojem a vysoká kvalita povrchu. Matematicky se jedná o plochy s G2 spojitostí (s křivostním napojením), tedy se stejným poloměrem křivosti podél společné hranice, může být použito i G3. Promítnuté paprsky světla nejsou podél společné hranice ploch nijakým způsobem deformovány (přerušeny), takže vyvolávají dojem jednolitosti plochy. - jedná se o převod informací z původního návrhu (stylu) do technicky realizovatelných ploch

Class A plochy Víko motorového prostoru a návrh sportovního automobilu jako ukázky Class A ploch.

Class A plochy Class B plochy – nejsou vždy viditelné – druhá strana Class A ploch s uvažováním tloušťky dané součásti. Mohlo by se vyskytnout i označení Class C – plochy, které jsou vždy zakryté a nejsou běžně viditelné.

Class A plochy Postup při návrhu automobilu – koncepty: Tvorba designu – různé 2D a 3D koncepty, každý z nich se prověřuje z hlediska realizovatelnosti. Výsledkem je uspokojivý koncept návrhu. Využívá se tužko nebo perokresba i výpočetní technika (CAS; tablety, např. software Autodesk Alias Studio). Tato část je zde proto, že Class A plochy se používají především v automobilovém průmyslu. CAS – Computer Aided Styling

Class A plochy Postup při návrhu automobilu – model: Vytvoření fyzického nefunkčního modelu vozu podle konceptu. Hliněný model – de facto se jedná o sochu, digitalizace 3D scannováním. Digitální model – převod 2D skic do 3D podoby, výstup např. pro Rapid Prototyping. Tato část je zde proto, že Class A plochy se používají především v automobilovém průmyslu.

Class A plochy Postup při návrhu automobilu – tvorba přesného konstrukčního řešení na základě dat z digitálního (digitalizovaného) modelu: Class A plochy. Vytvořená data se dále využívají pro další účely, např. FEM, CAM, atd. Tato část je zde proto, že Class A plochy se používají především v automobilovém průmyslu.

Analýzy ploch Zebra analýza Analýza křivosti Analýzy povrchů (analýza křivosti) Gaussova analýza Střední křivost Maximální křivost Analýza sklonu (zešikmení)

Analýzy ploch Zebra analýza Analýza spojitosti plochy promítáním rovnoběžných pruhů na povrch tělesa. Pro snadnější zobrazení je možné nastavit různou hustotu i tloušťku pruhů.

Analýzy ploch Zebra analýza G0 spojitost – na společné hranici ploch mají pruhy místa, ve kterých se výrazně mění jejích směr a jsou vzájemně přesazeny.

Analýzy ploch Zebra analýza G1 spojitost – na společné hranici ploch pruhy nejsou vzájemně přesazeny, ale výrazně se mění jejich směr.

Analýzy ploch Zebra analýza G2 spojitost – pruhy na plochách nejsou přesazeny a jejich směr se mění plynule.

Analýzy ploch Analýza křivosti Vizuální analýza křivosti a spojitosti povrchů, ploch a hran. Jako Analýza křivosti jsou brány i informace uvedené na následujících snímcích.

Analýzy ploch Analýza povrchu (analýza křivosti) Pomocí falešných barev lze vyhodnotit křivost ploch v různých místech a odhalit tak nechtěné anomálie křivosti. Gaussova analýza – jedná se o součin křivostí v „u“ a „v“ směru. Lze použít při rozhodování, zda bude možné plochu rozvinout.

Analýzy ploch Analýza povrchu (analýza křivosti) Gaussova analýza – pozitivní křivost, negativní křivost, nulová křivost (alespoň v jednom směru je povrch rovinný, např. válec).

Analýzy ploch Analýza povrchu (analýza křivosti) Střední křivost – barevné zobrazení střední křivosti plochy (poloviny součtu hlavních křivostí). Hlavní křivosti – minimální a maximální hodnoty normálové křivosti v daném bodě. Použití např. pro šablonované prvky.

Analýzy ploch Analýza povrchu (analýza křivosti) Maximální křivost – barevné zobrazení větší z hodnot „u“ nebo „v“ křivosti

Analýzy ploch Analýza zešikmení ploch Grafické znázornění úhlu odklonu plochy od definované roviny, využití např. při modelování odlitků a forem.

Literatura http://cs.wikibooks.org/wiki/Geometrie/Úvod_do_křivek http://www.designtech.cz/c/plm/jak-se-rodi-automobil.htm