Základní vztahy hydrodynamiky, proudění vody v potrubí, ztráty Jana Pařílková

Základní vztahy hydrodynamiky- elementární pojmy kinematiky kapalin Průtočná plocha (průtočný průřez) A [m2] je příčný průřez kolmý ke směru proudění a vyplněný proudící kapalinou. Otevřený průřez (řeka, potok, průplav, příkop) – vždy se vytvoří volná hladina. Uzavřený průřez (potrubí, stoka, štola, propustek) – zcela vyplněn kapalinou (vodovodní potrubí), zčásti vyplněn kapalinou = proudění o volné hladině (městská stoka za malého přítoku vody). Baťův kanál – úsek u Rohatce Moravany – propustek v místě dálnice Vídeň - Wroclaw

Elementární pojmy kinematiky kapalin Částicová (bodová) rychlost u [m/s] kapaliny je dráha částice kapaliny dl, kterou urazí za čas dt. Objemový průtok (průtok) je objem V [m3] kapaliny, který protekl celou průtočnou plochou A [m2] za jednotku času t [s]. Střední hodnota rychlosti v [m/s] (průřezová, střední profilová) kapaliny je definovaná tak, že jejím vynásobením průtočnou plochou A [m2] dostáváme skutečný průtok Q [m3/s].

Základní rovnice pohybu kapalin Obecný případ neustáleného proudění vazké stlačitelné kapaliny je složitým jevem. Proto se zavádějí zjednodušující předpoklady a uvažují se modely: Ideální kapalina – nevazká, nestlačitelná (m = 0, r = konst.), Skutečná kapalina – vazká, nestlačitelná (r = konst.).

Soustavu základních rovnic popisujících pohyb kapaliny tvoří: Rovnice kontinuity (zákon zachování hmotnosti), Pohybová rovnice (2. Newtonův zákon vyjadřující silové působení v proudící kapalině – pro ideální kapalinu se nazývá Eulerova rovnice, pro skutečnou nestlačitelnou kapalinu se nazývá Navierova-Stokesova resp. Reynoldsova pro turbulentní proudění), Bernoulliho rovnice (zákon zachování mechanické energie proudu), Věta o hybnosti (vztahuje se na poměry na plochách ohraničujících určitou oblast kapaliny, takže není nutné znát průběh proudění). Při praktických výpočtech jsou doplněny zpravidla stavovou rovnicí (vyjadřuje vztah mezi hustotou kapaliny a tlakem) nebo tokovou rovnicí (vztah mezi tenzorem napětí a tenzorem rychlosti deformace).

Rovnice kontinuity Rovnice kontinuity má pro nestlačitelnou kapalinu v ortogonálním kartézském systému souřadnic tvar pro proudovou trubici

Pohybová rovnice pro ideální kapalinu – Eulerova rovnice Zrychlení vnějších objemových sil Tlakové síly Lokální zrychlení Konvektivní zrychlení Vnější síly a měrná hmotnost jsou obvykle známy. Zůstávají 4 neznámé p, ux, uy, uz ; je nutno použít další rovnici = rovnici kontinuity.

Pohybová rovnice pro skutečnou nestlačitelnou kapalinu – Navierova-Stokesova rovnice Navier – Stokesova rovnice vztažená na jednotku hmotnosti má tvar: Zrychlení vnějších objemových sil Tlakové síly Konvektivní zrychlení Lokální zrychlení Přistupují síly tření způsobené vazkostí

Pohybová rovnice pro skutečnou nestlačitelnou kapalinu při turbulentním proudění – Reynoldsova rovnice Odvozena z Navierovy – Stokesovy rovnice tak, že okamžitá bodová rychlost resp. tlak, je rozložena na střední (časově vyhlazenou) rychlost ū a fluktuační (pulsační) složku rychlosti u‘: , kde Potom:

Proudění kapalin (pohyb vody) Ustálené proudění (permanentní) je takový pohyb kapaliny, který se nemění v čase. Popsán je rovnicí kontinuity (spojitosti) ustáleného proudu: kde indexy 1,2,…n se vztahují k jednotlivým příčným řezům koryta. V uvedeném tvaru platí pro nestlačitelné tekutiny (kapaliny), pro stlačitelné tekutiny (vzdušiny) jen při pohybu za stálého tlaku a teploty.

Proudění kapalin (pohyb vody) Pohyb rovnoměrný je zvláštní případ pohybu ustáleného, při němž jsou průtočné průřezy celého uvažovaného úseku stejné, A1 = A2 = …= An = konst. Protože při ustáleném pohybu také Q=konst., jsou střední rychlosti nezávislé časově i místně. Rybník „Návesní“, potok Lopač, Ostrov u Macochy, Blanensko v J0 J0 – sklon dna

Proudění kapalin (pohyb vody) Pohyb ustálený nerovnoměrný vzniká při ustáleném proudění (Q = konst.) při změně průtočné plochy (A ≠ konst.). Pohyb může být: zrychlený – průtočné plochy se ve směru toku zmenšují nebo zpožděný - průtočné plochy se ve směru toku zvětšují.

Proudění kapalin (pohyb vody) Neustálené proudění kapaliny je pohyb, při němž se průtok mění v čase Q ≠ konst. Nastává časová i pohybová změna vodních stavů. (Pohyb povodně v řece – průtok se zvětšuje do maxima a potom klesá). Druhé rameno řeky Opavy se vytvořilo po povodních v r. 2002.

Proudění kapalin (pohyb vody) Proudnice jsou čáry vedené proudící kapalinou tak, že v každém místě má jejich tečna směr souhlasný se směrem rychlosti proudění v tomto místě. Při ustáleném proudění jsou totožné s drahami jednotlivých částeček kapaliny. Uvažujeme-li v kapalině nekonečně malou uzavřenou křivku a v každém jejím bodě vedeme příslušnou proudnici, pak tyto proudnice vytvářejí proudovou trubici a kapalina v této trubici se nazývá proudovým vláknem.

Bernoulliho rovnice Vyjadřuje zákon zachování mechanické energie proudu kapaliny. Je základním vztahem hydrodynamiky. Pro ustálené proudění ideální kapaliny v proudové trubici pro všechny průřezy proudového vlákna je součet polohové (geodetické), tlakové a rychlostní výšky stálý. Jinak řečeno: pro tíhovou jednotku proudící kapaliny je součet (polohové, tlakové)-potenciální a pohybové-kinetické energie konstantní. kde h značí polohovou (geodetickou) výšku osy proudového vlákna, p tlak, r hustota kapaliny, u bodovou rychlost a g tíhové zrychlení Země.

Bernoulliho rovnice Pro ustálené proudění skutečné kapaliny (nestlačitelná, ale uvažuje se vnitřní tření) má tvar: kde hz je ztrátová výška (přičítá se vždy v tom průřezu, který je dále po toku), v je průřezová rychlost, a je Coriolisovo kritérium (nesprávně číslo a= 1,05 - 1,10). Coriolisovo kritérium odstraňuje chybu zavedením průřezové rychlosti místo skutečného rozdělení rychlosti v průřezu. Vyjadřuje podíl skutečné kinetické energie v průřezu ku kinetické energii vyjádřené z průřezové rychlosti.

Bernoulliho rovnice pro skutečnou kapalinu

Věta o hybnosti Působí-li na hmotný bod o hmotnosti m stálá síla F, mění se rychlost u. Podle Newtonova zákona: impuls síly hybnost hmotného bodu Integrací v časovém intervalu t1 do t2, v němž je síla stálá a vektor rychlosti se mění z u1 do u2 lze psát:

Věta o hybnosti při ustáleném proudění kapalin Za dobu 1s při ustáleném proudění kapalin každým průřezem projde průtok o hmotnosti rQ, jehož hybnost je rQv. Rychlost v průtočném průřezu není rozdělena rovnoměrně, počítáme s její průměrnou hodnotou v. Pro zpřesnění výpočtu zavádíme korekční součinitel b – Boussinesqovo kriterium (zpravidla v nepravidelných průtočných průřezech. Je to obdoba Coriolisova kriteria a jeho hodnota se pohybuje kolem 1. Věta o hybnosti řeší takové případy, kdy nedovedeme určit ztráty, ale známe všechny síly působící na určitý objem kapaliny. Na rozdíl od Bernoulliho rovnice (energetická bilance) se jedná o vztah vektorový.

Na potrubí s průměrem D1 = 0,3 m, kterým protéká průtok Q = 0,110 m3/s, je napojeno potrubí s průměrem D2 = 0,15 m. V potrubí D2 vypočítejte velikost rychlostní výšky. (Neuvažujte ztráty.)

Voda proudí potrubím A-B, které je sériově spojeno s potrubím B-C Voda proudí potrubím A-B, které je sériově spojeno s potrubím B-C. V potrubí B-C je průřezová rychlost v2 = 2 m/s. V uzlu C se potrubí větví na část C-D, ve které je průřezová rychlost v3 = 1,5 m/s. V úseku C-E je průtok Q4 = ½ Q3. Vypočítejte průřezové rychlosti a průtoky ve všech úsecích potrubí a v úseku C-D určete odpovídající průměr. (Neuvažujte ztráty.)

Q2= Q3 + Q4. Protože Q4 = 0,5 Q3 , je Q2= Q3 + 0,5 Q3=1,5 Q3 a platí: Řešení A-B a B-C jsou řazeny sériově → stejný průtok Q1 = Q2. Rce kontinuity: Průřezová rychlost: Průtok v potrubí B-C se rovná součtu průtoků v trase C-D a C-E: Q2= Q3 + Q4. Protože Q4 = 0,5 Q3 , je Q2= Q3 + 0,5 Q3=1,5 Q3 a platí: Odpovídající D3 se vyjádří rovněž z rce kontinuity Průřezová rychlost v úseku C-E

Sériově spojené vodovodní potrubí dle obrázku má průměry D1 = 0,024 m, D2 = 0,056 m a D3 = 0,040 m. Tlakové výšky v otevřených piezometrech v průřezech 1 resp. 2 jsou h1 = 0,68 m resp. h2 = 0,84 m. Vypočítejte tlakovou výšku h3. Předpokládejte proudění ideální kapaliny s hustotou r = 1000 kg/m3.

Vysvětlete princip měření bodové rychlosti pomocí Pitotovy trubice v kanálu s volnou hladinou. Prandtlova sonda – dvě vedení v trubici Pitotova trubice je do pravého úhlu ohnutá trubice na obou koncích otevřená. Zúženým otvorem v krátkém vodorovném rameni se vloží proti proudu, ve svislém rameni vystoupí kapalina nad hladinu do úrovně 3.

na energii potenciální. Řešení Stoupnutí hladiny v trubici je způsobeno přeměnou kinetické energie proudící kapaliny na energii potenciální. Bernoulliho rovnice pro proudové vlákno v místech 1-2 Protože u2=0 → h1 = h2, u1 = u, platí: Kde H je převýšení hladiny ve svislém rameni Pitotovy trubice nad hladinou. Proto určuje Pitotova trubice rychlostní výšku. Pro rychlost proto platí: Deformací proudu vznikají ztráty. Výsledek je tedy nutno opravit součinitelem φ<1, který se určuje experimentálně.

Do vodovodního potrubí byl pro měření průtoku vřazen venturimetr (dle obrázku). Vypočítejte rychlosti v1, v2 a průtok Q, je-li průměr D1 = 100 mm, D2 = 50 mm, rozdíl tlaku v piezometrických trubicích H = 80 mm, a = 1 a geodetické výšky h1 = h2. Předpokládejte proudění ideální kapaliny s hustotou r = 1000 kg/m3, teplotou T = 20°C a n = 1,01.10-6m2/s. Určete hodnoty Reynoldsových kritérií v profilech 1 a 2.

Vodovodní potrubí průměru D1=(50+P)mm se vloženou armaturou zužuje na průměr D2=(25+0,5P)mm. Připojené piezometry ukazují rozdíl hladin H= (50+2P)mm. Vypočtěte průtok Q vody potrubím a rychlost v2 ve zúženém průřezu. Ztráty zanedbejte, a ≈ 1,0. Počítejte pro P = 10.

Řešení pro: P=10, D1=60 mm, D2=30 mm, H=70 mm Vychází z Bernoulliho rovnice Rce kontinuity:

Z nádoby 1 o průřezu A0 vytéká voda trubicí, jejíž výtokový průřez A1 je v hloubce h1 pod hladinou v nádobě. Uprostřed je trubice zúžena na plochu A2. Svislou trubku, vedoucí od tohoto zúžení do nádoby 2, zatím neuvažujeme. Vodu v nádobě 1 stále doplňujeme na původní úroveň, takže pohyb je ustálený. Zjistěte, zda vznikne ve zúženém průřezu podtlak. Sací účinek proudu

Řešení Pro průřezy A0 - A1, v nichž je atmosférický tlak p0 bude za předpokladu proudění beze ztrát Bernoulliho rce: Rce kontinuity: A je-li A0>A1, lze druhý člen zanedbat: Z obou rovnic plyne Bernoulliho rce pro průřezy A0 –A2: Rce kontinuity: potom a dosadíme za v1, potom Zanedbáme-li

nasávána tak dlouho, pokud tlak sloupce rgh3 < (p0 – p2). výraz je kladný, tj. tlak vnějšího vzduchu p0 je větší než tlak vody p2 ve zúženém průřezu, když: Při splnění této podmínky vzniká ve zúženém průřezu podtlak p2 < p0. Navrtáme-li za takových podmínek stěnu trubice ve zúženém průřezu, voda tímto otvorem nevytéká, ale naopak vnější vzduch je nasáván do trubice. Je-li otvor propojen trubkou s níže položenou druhou nádobou, je voda z této nádoby nasávána tak dlouho, pokud tlak sloupce rgh3 < (p0 – p2). Na tomto principu jsou založena hydraulická čerpadla a hydraulické vývěvy.

Z nádrže vytéká ideální kapalina o měrné hmotnosti ρ=1000 kg/m3 svislým divergentním potrubím, jehož vstupní průměr je D1=0,015 m, výstupní průměr D2 =0,02 m a délka l =1 m. Výška hladiny v nádržce nad výtokovým průřezem je H = 2 m. Vypočítejte průtok potrubím, v průřezu 1 zjistěte hodnotu tlaku. Bernoulliho rce pro hladinu v nádrži 0 a výtokový průřez 2→v2, průtok z rce kontinuity. S.R. se volí ve výtokovém průřezu. Řešení Bernoulliho rce pro hladinu v nádrži 0 a výtokový průřez 1 V průřezu 1 je podtlak. Pozn. V rozšiřujícím se potrubí není průběh tlakové čáry lineární.

Ke stěně nádrže je připevněno vodorovné potrubí s proměnným průměrem, kterým vytéká ideální kapalina o měrné hmotnosti ρ=1000 kg/m3 do volného prostoru. Hladina v nádrži je ve výšce H=3 m nad osou potrubí. Průměry a délky potrubí jsou D1=0,24 m, l1=3 m, D2 =0,1 m, l2 =1 m, D3 =0,12 m, l3 =2 m. Vypočítejte průtok potrubím a zakreslete průběh čáry energie a tlaku.

Tlakové poměry v průřezu 0-1 se získají z Bernoulliho rce přetlak v průřezu 0-2 podtlak v průřezu 3 působí atmosférický tlak pa Pozn. Při vykreslování tlakové čáry jsou přetlaky nad S.R. a podtlaky pod ní.

V potrubí, které je skloněné o úhel α = 45°, se na délce l = 2 m mění průřez z D1 = 0,2 m na průměr D2 = 0,1 m. Jestliže potrubím protéká olej o ρ0 = 900 kg/m3 a průřezová rychlost je v profilu 1 v1 = 2 m/s, určete pokles tlaku na délce l = 2 m (ztráty se neuvažují). Při měření tlaků diferenciálním manometrem, ve kterém je rtuť o ρHg = 13 600 kg/m3 , určete rozdíl hladin v manometru Hm.

Proudění v potrubí Laminární a turbulentní proudění Pomocí hodnoty Reynoldsova kritéria se určuje režim proudění (laminární nebo turbulentní). Při laminárním režimu proudění se jednotlivé vrstvy kapaliny mezi sebou nemísí. Turbulentní režim proudění se vyznačuje nepravidelnou pulsací složek rychlosti a tlaku kolem jejich střední hodnoty.

Reynoldsovo kritérium Kruhové potrubí - Reynoldsovo kritérium je definováno vztahem: kde u je součinitel kinematické viskozity, D je průměr potrubí. (pro t = 20°C –u20= 1,01.10-6 m2/s). Kritické hodnoty jsou: Rekrit < 2320 - laminární proudění; Re > 13 800 - kvadratická oblast ztrát třením.   Obecný průřez - Reynoldsovo kritérium je definováno vztahem: kde R je hydraulický poloměr. Kritické hodnoty jsou: ReRkrit < 580 - laminární proudění; ReR > 3 450 - kvadratická oblast ztrát třením v obecném průřezu. A je plocha, O je omočený obvod Pozn.: Hydraulický poloměr v kruhovém potrubí je R=D/4.

Při jakých rychlostech proudění vody 20°C teplé je zajištěn laminární režim proudění potrubím kruhového průřezu o vnitřním průměru D= 50 mm? (pro t = 20°C je u20= 1,01.10-6 m2/s) Řešení

Ztráty můžeme vyjádřit z Bernoulliho rovnice v proudu skutečné kapaliny, po úpravě pak Celkovou ztrátu hz dostaneme složením jednotlivých ztrát, jež se provede sečtením: Na vodorovném potrubí stálého průřezu bude ztrátová výška dána rozdílem tlakových výšek (v1 = v2 a h1 = h2): Ztráta třením a místní ztráta se obvykle vyjadřují jako část rychlostní výšky ve tvaru : Kde k je součinitel příslušné ztráty. Při laminárním proudění jsou hydraulické ztráty úměrné hodnotě střední rychlosti. Při turbulentním proudění, při němž odpory značně narůstají vlivem pulsací rychlostí, jsou ztráty úměrné až kvadrátu rychlosti.

Ztráty třením, výpočet dlouhého potrubí Ztráty třením – Darcy-Weisbachova rovnice (iE je hydraulický sklon tj. sklon ČE) Je tečné napětí u stěny potrubí, R je hydraulický poloměr.

Základní vztahy pro výpočet součinitele tření l

Nekruhová potrubí, dlouhá potrubí

Vypočítejte ztrátu třením na délce L = 1000 m běžného litinového potrubí (n = 0,013, D = 0,002 m) o průměru D = 250 mm, kterým protéká průtok Q = 60 l/s vody (teplota vody t = 20oC). L = 1000 m; D = 0,25 m; Q = 0,060 m3/s; n = 1,0105 10-6 m2/s; n = 0,013; D = 0,002 m; Zadání Řešení

Colebrook-Whiteova rovnice dle Manninga dle Pavlovského dle Ševeljeva Colebrook-Whiteova rovnice Ztráty třením na délce potrubí L = 1000 m jsou podle jednotlivých autorů v rozmezí od 9,41 ~ 10,78 m .

Hydraulicky krátké potrubí je takové potrubí, u něhož místní ztráty hm nejsou zanedbatelné vůči ztrátám třením ht. Celkové ztráta hz se počítá podle vztahu: kde l je součinitel tření, L délka úseku potrubí, D průměr potrubí, x součinitel místní ztráty, v průřezová rychlost, g tíhové zrychlení. Hranice mezi potrubím hydraulicky krátkým a dlouhým není otázkou geometrickou, ale hydraulickou. Je nutné posoudit, zda je ztráta místní zanedbatelná vůči ztrátě třením. Typickými příklady krátkého potrubí jsou shybky, potrubí čerpadel, násosky, atd.

Shybka Otevřené vodní toky (náhony, potoky, kanály, ...) vedeme pod místními překážkami (komunikace, jiný vodní tok, ...) krátkými úseky tlakových potrubí - shybkami. Vtok shybky navrhujeme rozšířený nebo zaoblený. Umisťujeme jej tak hluboko pod hladinu, aby se netvořil vtokový vír a aby do shybky nevnikal vzduch. Před vtokem se obvykle umisťují hrubé česle a lapák splavenin. Aby shybkou protekl určitý průtok, musí hladina před objektem zaujmout vyšší polohu, než hladina za objektem. Před shybkou dochází většinou ke změně beztlakového proudění na tlakové a za shybkou k opačné změně.

Položte shybku kruhového průřezu o poloměru D=0,6 m a délce L= 25 m náhonu pod silnicí. Vypočítejte ztrátovou výšku při průtoku Q = 450 l/s. Stupeň drsnosti dle Manninga pro kanalizační trouby je n = 0,013. Řešení

Na potrubí, které spojuje dvě nádrže s olejem A a D, je umístěno čerpadlo BC. Čerpadlo má čerpat průtok Q = 160 l/s do horní nádrže D. Sací i výtlačné potrubí má průměr D = 0,3 m. Ztráty v sacím potrubí jsou 2,5 m; ve výtlačném potrubí 6,5 m sloupce oleje. Jestliže jsou známé polohové výšky hladin v nádržích a osy čerpadla, vypočtěte příkon čerpadla, je-li účinnost jeho čerpání h = 0,6 a měrná hmotnost oleje r = 760 kg/m3. Příkon čerpadla Tlaková čára r – měrná hmotnost Q – průtok H – dopravní výška hč – účinnost čerpadla hm – účinnost elmotoru

Řešení