Číselné obory Podmínky používání prezentace © RNDr. Jiří Kocourek 2013 Stažení, instalace na jednom počítači a použití pro soukromou potřebu jednoho uživatele je zdarma. Použití pro výuku jako podpůrný nástroj pro učitele či materiál pro samostudium žáka, rovněž tak použití jakýchkoli výstupů (obrázků, grafů atd.) pro výuku je podmíněno zakoupením licence pro užívání software E-učitel příslušnou školou. Cena licence je 250,- Kč ročně a opravňuje příslušnou školu k používání všech aplikací pro výuku zveřejněných na stránkách www.eucitel.cz. Na těchto stránkách je rovněž podrobné znění licenčních podmínek a formulář pro objednání licence. Pro jiný typ použití, zejména pro výdělečnou činnost, publikaci výstupů z programu atd., je třeba sjednat jiný typ licence. V tom případě kontaktujte autora (info@eucitel.cz) pro dojednání podmínek a smluvní ceny. OK © RNDr. Jiří Kocourek 2013

Číselné obory © RNDr. Jiří Kocourek 2013

Číselné obory slouží k vyjádření počtu nějakých objektů Obor přirozených čísel 1, 2, 3, 4, .....

Číselné obory slouží k vyjádření počtu nějakých objektů Obor přirozených čísel 1, 2, 3, 4, ..... slouží k vyjádření změn a porovnávání počtů nějakých objektů Obor celých čísel .... -2, -1, 0, 1, 2, ....

Číselné obory slouží k vyjádření počtu nějakých objektů Obor přirozených čísel 1, 2, 3, 4, ..... slouží k vyjádření změn a porovnávání počtů nějakých objektů Obor celých čísel .... -2, -1, 0, 1, 2, .... Obor racionálních čísel 3 2 -2 1 ... ; -0,3 ; 0 ; ; 3,1; ... slouží k vyjádření částí, dílů a jejich změn

Číselné obory slouží k vyjádření počtu nějakých objektů Obor přirozených čísel 1, 2, 3, 4, ..... slouží k vyjádření změn a porovnávání počtů nějakých objektů Obor celých čísel .... -2, -1, 0, 1, 2, .... Obor racionálních čísel 3 2 -2 1 ... ; -0,3 ; 0 ; ; 3,1; ... slouží k vyjádření částí, dílů a jejich změn Obor reálných čísel slouží k vyjádření délek úseček, jejich změn a porovnání .... - 2; -1,5 ; 0 ; 3, p, ....

Číselné obory slouží k vyjádření počtu nějakých objektů Obor přirozených čísel 1, 2, 3, 4, ..... slouží k vyjádření změn a porovnávání počtů nějakých objektů Obor celých čísel .... -2, -1, 0, 1, 2, .... Obor racionálních čísel 3 2 -2 1 ... ; -0,3 ; 0 ; ; 3,1; ... slouží k vyjádření částí, dílů a jejich změn Obor reálných čísel slouží k vyjádření délek úseček, jejich změn a porovnání .... - 2; -1,5 ; 0 ; 3, p, .... Reálná čísla 2 p 7 Racionální čísla 0,56 3,3 Celá čísla -7 5 Přirozená čísla 1 23 2

Základní číselné operace: Sčítání Násobení Další číselné operace: Odčítání (zavádíme pomocí sčítání: a – b = x ... a = b + x ) a Dělení (zavádíme pomocí násobení: –– = x ... a = b · x ) b Umocňování (zavádíme pomocí násobení: a2 = a · a; a3 = a · a · a; atd.) Odmocňování (zavádíme pomocí umocňování: a = x ... x2 = a)

Vlastnosti číselných operací: Výsledkem operace mezi dvěma čísly z daného oboru je opět číslo z téhož oboru. Uzavřenost Komutativnost Při záměně pořadí čísel se výsledek operace nezmění a · b = b · a ; a + b = b + a Asociativnost Nezáleží na „uzávorkování“ (a · b) · c = a · (b · c) ; (a + b) + c = a + (b + c) Neutrální prvek Existuje takové číslo n, pro které vždy platí a · n = a; a + n = a Distributivnost (násobení vzhledem ke sčítání) Pro libovolná tři čísla platí a · (b + c) = a · b + a · c

Obor přirozených čísel Platí: Uzavřenost sčítání a násobení Jsou-li a, b libovolná přirozená čísla, pak a + b i a · b je rovněž přirozené číslo. Komutativnost sčítání i násobení Pro libovolná dvě přirozená čísla a, b platí: a · b = b · a ; a + b = b + a Asociativnost sčítání i násobení Pro libovolná tři přirozená čísla a, b, c platí: (a · b ) · c = a · (b · c) ; (a + b) + c = a + (b + c) Neutrální prvek vzhledem k násobení je číslo 1 Pro libovolné přirozené číslo a platí: a · 1 = a Distributivnost (násobení vzhledem ke sčítání) Pro libovolná tři přirozená čísla a, b, c platí: a · (b + c) = a · b + a · c Neplatí: Obor přirozených čísel není uzavřený vzhledem k odčítání ani dělení, nemá neutrální prvek vzhledem ke sčítání (nula není přirozené číslo). Odčítání ani dělení nejsou komutativní ani asociativní.

Obor celých čísel Platí: Neplatí: Uzavřenost sčítání, násobení i odčítání Jsou-li a, b libovolná celá čísla, pak a + b , a · b i a – b je rovněž celé číslo. Komutativnost sčítání i násobení Pro libovolná dvě celá čísla a, b platí: a · b = b · a ; a + b = b + a Asociativnost sčítání i násobení Pro libovolná tři celá čísla a, b, c platí: (a · b ) · c = a · (b · c) ; (a + b) + c = a + (b + c) Neutrální prvek vzhledem k násobení je číslo 1, vzhledem ke sčítání číslo 0 Pro libovolné celé číslo a platí: a · 1 = a ; a + 0 = a Distributivnost (násobení vzhledem ke sčítání) Pro libovolná tři celá čísla a, b, c platí: a · (b + c) = a · b + a · c Neplatí: Obor celých čísel není uzavřený vzhledem k dělení. Odčítání ani dělení nejsou komutativní ani asociativní.

Obor celých čísel Ke každému celému číslu a lze nalézt takové celé číslo b, že platí: a + b = 0 Toto číslo nazýváme číslo opačné k číslu a. Značíme – a. Poznámka: Zápis „ – a“ tedy neznamená, že číslo a je záporné, ale znamená opačné číslo k číslu a. Pokud a je kladné, pak – a je záporné. Pokud a je záporné, pak – a je kladné. Pokud a = 0, pak – a = 0.

Odčítání ani dělení nejsou komutativní ani asociativní. Obor racionálních čísel Platí: Uzavřenost sčítání, násobení, odčítání i dělení (kromě 0) Jsou-li a, b libovolná racionální čísla, pak a + b , a · b i a – b je rovněž racionální číslo. Pokud b ¹ 0 , pak a : b je rovněž racionální číslo Komutativnost sčítání i násobení Pro libovolná dvě racionální čísla a, b platí: a · b = b · a ; a + b = b + a Asociativnost sčítání i násobení Pro libovolná tři racionální čísla a, b, c platí: (a · b ) · c = a · (b · c) ; (a + b) + c = a + (b + c) Neutrální prvek vzhledem k násobení je číslo 1, vzhledem ke sčítání číslo 0 Pro libovolné racionální číslo a platí: a · 1 = a ; a + 0 = a Distributivnost (násobení vzhledem ke sčítání) Pro libovolná tři racionální čísla a, b, c platí: a · (b + c) = a · b + a · c Neplatí: Odčítání ani dělení nejsou komutativní ani asociativní.

Toto číslo nazýváme číslo převrácené k číslu a. Obor racionálních čísel Ke každému nenulovému racionálnímu číslu a lze nalézt takové racionální číslo b, že platí: a · b = 1 Toto číslo nazýváme číslo převrácené k číslu a. Značíme –– . 1 a

Zápis racionálních čísel: Obor racionálních čísel Zápis racionálních čísel: 1. Zlomkem s celočíselným čitatelem i jmenovatelem 1 3 – 3 22 10 –– , –– .––– , –– , –––, ..... 2 4 – 6 7 – 3 Každé racionální číslo lze vyjádřit zlomkem nekonečně mnoha způsoby. 2 4 – 3 10 –25 –– , –– .––– , –– , –––, ..... 3 6 – 9 15 –75 Zlomek v základním tvaru: Čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná čísla a jmenovatel je kladný. 2 –– 3

Zápis racionálních čísel: Obor racionálních čísel Zápis racionálních čísel: 2. Desetinným číslem s ukončeným nebo periodickým rozvojem 2,1 ; – 0,625 ; 1,33333.... = 1,3 ; 7,15438438438.... = 7,15438

Číselná osa: Přímka, jejíž body jsou obrazy čísel. Musí mít zvolený počátek (obraz čísla 0) a jednotku (vzdálenost obrazů čísel 0 a 1). Napravo od počátku zobrazujeme kladná čísla, nalevo záporná. 1

Číselná osa: Přímka, jejíž body jsou obrazy čísel. Musí mít zvolený počátek (obraz čísla 0) a jednotku (vzdálenost obrazů čísel 0 a 1). Napravo od počátku zobrazujeme kladná čísla, nalevo záporná. 15 31 Příklady: – 1 ; 5 ; – 0,8 ; –– ; – –– ; 3,3 ; .... 4 6 3,3 – 0,8 – 31 15 –1 1 5 6 4

Číselná osa: Přímka, jejíž body jsou obrazy čísel. Musí mít zvolený počátek (obraz čísla 0) a jednotku (vzdálenost obrazů čísel 0 a 1). Napravo od počátku zobrazujeme kladná čísla, nalevo záporná. 15 31 Příklady: – 1 ; 5 ; – 0,8 ; –– ; – –– ; 3,3 ; .... 4 6 3,3 – 0,8 – 31 15 –1 1 5 6 4 Každému racionálnímu číslu odpovídá právě jeden bod (obraz) na číselné ose.

Číselná osa: Přímka, jejíž body jsou obrazy čísel. Musí mít zvolený počátek (obraz čísla 0) a jednotku (vzdálenost obrazů čísel 0 a 1). Napravo od počátku zobrazujeme kladná čísla, nalevo záporná. 15 31 Příklady: – 1 ; 5 ; – 0,8 ; –– ; – –– ; 3,3 ; .... 4 6 3,3 – 0,8 – 31 15 –1 1 5 6 4 Každému racionálnímu číslu odpovídá právě jeden bod (obraz) na číselné ose. Číselná osa je obrazy racionálních čísel pokryta „hustě“ – mezi každými dvěma body leží nekonečně mnoho obrazů jiných racionálních čísel.

Je ale každý bod číselné osy obrazem nějakého racionálního čísla ? Číselná osa: Přímka, jejíž body jsou obrazy čísel. Musí mít zvolený počátek (obraz čísla 0) a jednotku (vzdálenost obrazů čísel 0 a 1). Napravo od počátku zobrazujeme kladná čísla, nalevo záporná. 15 31 Příklady: – 1 ; 5 ; – 0,8 ; –– ; – –– ; 3,3 ; .... 4 6 3,3 – 0,8 – 31 15 –1 1 5 6 4 Každému racionálnímu číslu odpovídá právě jeden bod (obraz) na číselné ose. Číselná osa je obrazy racionálních čísel pokryta „hustě“ – mezi každými dvěma body leží nekonečně mnoho obrazů jiných racionálních čísel. Je ale každý bod číselné osy obrazem nějakého racionálního čísla ?

Číselná osa: 3,3 – 0,8 – 31 15 –1 1 5 6 4

Číselná osa: 3,3 – 0,8 – 31 15 –1 1 5 6 4

Číselná osa: 3,3 – 0,8 – 31 15 –1 1 5 6 4

Číselná osa: 2 3,3 – 0,8 – 31 15 –1 1 5 6 4

Číselná osa: 2 3,3 – 0,8 – 31 15 –1 1 5 6 4

Číselná osa: 2 3,3 – 0,8 – 31 15 –1 1 5 6 4

Číselná osa: 2 3,3 – 0,8 – 31 15 –1 1 5 6 4 Některé body číselné osy nejsou obrazem žádného racionálního čísla.

p Číselná osa: 2 ; 3 ; – 7 ; p ; .... Příklady: – 7 2 3,3 – 0,8 – 31 – 7 2 3,3 – 0,8 p – 31 15 –1 1 3 5 6 4 Některé body číselné osy nejsou obrazem žádného racionálního čísla.

Obor reálných čísel Reálná čísla: Všechna čísla, která vyjadřují délky úseček a mají své obrazy na číselné ose. 1

Obor reálných čísel Reálná čísla: Všechna čísla, která vyjadřují délky úseček a mají své obrazy na číselné ose. 1 Každému reálnému číslu odpovídá právě jeden bod (obraz) na číselné ose.

Každý bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla. Obor reálných čísel Reálná čísla: Všechna čísla, která vyjadřují délky úseček a mají své obrazy na číselné ose. 1 Každému reálnému číslu odpovídá právě jeden bod (obraz) na číselné ose. Každý bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla.

Odčítání ani dělení nejsou komutativní ani asociativní. Obor reálných čísel Platí: Uzavřenost sčítání, násobení, odčítání i dělení (kromě 0) Jsou-li a, b libovolná reálná čísla, pak a + b , a · b i a – b je rovněž reálné číslo. Pokud b ¹ 0 , pak a : b je rovněž reálné číslo Komutativnost sčítání i násobení Pro libovolná dvě reálná čísla a, b platí: a · b = b · a ; a + b = b + a Asociativnost sčítání i násobení Pro libovolná tři reálná čísla a, b, c platí: (a · b ) · c = a · (b · c) ; (a + b) + c = a + (b + c) Neutrální prvek vzhledem k násobení je číslo 1, vzhledem ke sčítání číslo 0 Pro libovolné reálné číslo a platí: a · 1 = a ; a + 0 = a Distributivnost (násobení vzhledem ke sčítání) Pro libovolná tři reálná čísla a, b, c platí: a · (b + c) = a · b + a · c Neplatí: Odčítání ani dělení nejsou komutativní ani asociativní.

Obor reálných čísel Iracionální čísla: Všechna reálná čísla, která nejsou racionální. ( 2 ; 3 ; – 7 ; p ; ....)

Obor reálných čísel Iracionální čísla: Všechna reálná čísla, která nejsou racionální. ( 2 ; 3 ; – 7 ; p ; ....) Reálná čísla 2 p 7 Racionální čísla 0,56 3,3 Celá čísla -7 5 Přirozená čísla 1 23 2

Obor reálných čísel Iracionální čísla: Všechna reálná čísla, která nejsou racionální. ( 2 ; 3 ; – 7 ; p ; ....) 2 p 7 Racionální čísla 0,56 3,3 -7 5 1 23 2

Obor reálných čísel Iracionální čísla: Všechna reálná čísla, která nejsou racionální. ( 2 ; 3 ; – 7 ; p ; ....) Iracionální čísla 2 p 7 0,56 3,3 -7 5 1 23 2