CZECH SALES ACADEMY Trutnov – střední odborná škola s.r.o. EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.5.00/ VY_32_INOVACE_04_09 Zpracovala:RNDr. Lucie Cabicarová Datum:21. únor 2013 Vzdělávací oblast:Všeobecně vzdělávací předměty Předmět:Matematika, Seminář z matematiky Ročníky:1., 2. a 4. ročník – denní forma vzdělávání 3. a 5. ročník – dálková forma vzdělávání VY_32_INOVACE_04_09

ANOTACE Materiál obsahuje přehled základních pojmů a metod řešení úloh: -Lineární funkce, její předpis, graf a vlastnosti -Lineární rovnice, jejich soustavy a využití v reálných situacích -Lineární nerovnice, jejich soustavy, nerovnice v podílovém tvaru Každý způsob výpočtu je doplněn vzorovým příkladem včetně výpočtu. VY_32_INOVACE_04_09

předpis … y = ax + b (nebo také ax + by + c = 0) graf … přímka nebo její část D(f)… R (pokud není stanoveno jinak) a  0 … rostoucí a  0… klesající b … určuje posun po ose y VY_32_INOVACE_04_09 LINEÁRNÍ FUNKCE speciální typ … přímá úměrnost (y = ax) Grafem je přímka procházející počátkem KSS.

URČENÍ FUNKCE VY_32_INOVACE_04_09 Př. 1: Graf lineární funkce f prochází body A  2; 4  a B  – 3; 1 . Jaký má předpis? Jde o lineární funkci:y = ax + b Dosadím bod A:4 = 2a + b Dosadím bod B:1 = – 3a + b Řeším jednoduchou soustavu rovnic (rovnice od sebe odečtu):3 = 5a  a = 0,6 Dosadím zpátky do rovnice:4 = 1,2 + b  b = 2,8 Předpis funkce f:y = 0,6x + 2,8

LINEÁRNÍ ROVNICE VY_32_INOVACE_04_09 ax + b = 0 Pomocí ekvivalentních úprav rovnic určíme x-ovou souřadnici průsečíku grafu funkce y = ax + b s osou x. x … proměnná Ekvivalentní úpravy: - Přičtením či odečtením reálného čísla od obou stranrovnice se její kořen nezmění. -Vynásobením obou stran rovnice reálným číslem se její kořen nezmění. -Vydělením obou stran rovnice reálným číslem různým od nuly se její kořen nezmění.

ŘEŠENÍ LINEÁRNÍ ROVNICE VY_32_INOVACE_04_09 Řešení rovnice: - jednoprvková množina - prázdná množina - všechna reálná čísla (s výjimkou čísel z podmínek existence lomeného výrazu)

ÚPRAVY ROVNICE VY_32_INOVACE_04_09 P =  2  ZK

zkouška VY_32_INOVACE_04_09

ROVNICE S LOMENÝM VÝRAZEM VY_32_INOVACE_04_09 P: x  0 ZK

zkouška VY_32_INOVACE_04_09

SLOVNÍ ÚLOHA VY_32_INOVACE_04_09 Př. 4: Firma vyrobila za tři dny výrobků. Druhý den vyrobila o 300 výrobků méně a třetí den o 200 výrobků více než první den. Kolik výrobků vyrobila v jednotlivých dnech? Zápis úlohy: Celkem … výrobků 1. den … x 2. den … x – den … x x + x – x = x – 100 = x = x = 700 ZK

zkouška VY_32_INOVACE_04_09 1. den … 700 výrobků 2. den … 700 – 300 = 400 výrobků 3. den … = 900 výrobků Celkem … = výrobků Firma první den vyrobila 700 výrobků, druhý den 400 výrobků a třetí den 900 výrobků.

SOUSTAVA LINEÁRNÍCH ROVNIC VY_32_INOVACE_04_09 Metody řešení: Metoda dosazovací - z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme za ni do rovnice druhé – získáme rovnici o jedné neznámé, tu vyřešíme a dosadíme výsledek zpět do vyjádření – tím získáme druhou neznámou Metoda porovnávací - z obou rovnic vyjádříme stejnou neznámou a sestavíme z nich novou rovnici - získáme opět rovnici o jedné neznámé … Metoda sčítací - obě rovnice upravíme násobením tak, aby se po sečtení rovnic jedna z neznámých odečetla - získáme opět rovnici o jedné neznámé … Řešení = uspořádaná dvojice neznámých

ÚPRAVA SOUSTAVY ROVNIC VY_32_INOVACE_04_09 Př. 5: Řešte soustavu rovnic: x – 3y + 11 = 0 3x + 5y – 9 = 0 x – 3y = – 11/. 5 3x + 5y = 9/. 3 5x – 15y = – 55 9x + 15y = 27 14x = – 28 x = – 2 P =  – 2; 3  – 2 – 3y = – 11 – 3y = – 9/ : (– 3) y = 3 ZK

zkouška VY_32_INOVACE_04_09 L = 3. (– 2) = – = 9 P = 9

LINEÁRNÍ NEROVNICE VY_32_INOVACE_04_09 Úpravy jsou stejné jako v případě lineární rovnice. Výjimka: Při násobení nebo dělení záporným číslem se otočí znaménko nerovnosti! Nerovnice s lomeným výrazem je nutné převést do tvaru rovnice v podílovém tvaru – řešíme pomocí nulových bodů.

ŘEŠENÍ LINEÁRNÍ NEROVNICE VY_32_INOVACE_04_09 Řešení nerovnice: - interval nebo sjednocení intervalů - prázdná množina - všechna reálná čísla (s výjimkou čísel z podmínek existence lomeného výrazu)

ÚPRAVY LINEÁRNÍ NEROVNICE VY_32_INOVACE_04_09 P = (–  ; 3 

NEROVNICE V PODÍLOVÉM TVARU VY_32_INOVACE_04_09 (-  ; - 6  x + 6–++ 3x – 1––+ podíl+–+

Materiál je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Zdroje: POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha: Prometheus, s. ISBN VY_32_INOVACE_04_09