HYDROSTATIKA Hydrostatika je část mechaniky tekutin, která se zabývá mechanickými vlastnostmi nepohybujících se kapalin, tedy kapalin, které jsou v klidu. Hydrostatika je součástí statiky. Pascalův zákon Eulerova rovnice hydrostatiky Hydrostatická síla Archimedův zákon Tlakové síly na zakřivené plochy

Síly působící na kapalinu Síly které mohou působit na kapalinu lze rozdělit obecně do dvou skupin: Síly plošné Síly hmotnostní (neboli objemové) Hmotnostní síly (pro nestlač. kapalinu objemové). Závisí na hmotnosti makroskopické částice a působí v těžišti objemu. Síly tíhové, odstředivé, setrvačné. Plošné síly jsou úměrné velikosti plochy. Síly tlaková, třecí, povrchového napětí.

Orientace plochy Jednotkový vektor: Orientovaná plocha:

Pascal, Euler, Archimedes Blaise Pascal (1623-1662) – francouzský vědec a filozof. Autor knihy „Rovnováha kapalin a tíha vzduchové masy“ – zkoumal síly na různě velké písty, kterými vyvolával tlak v kapalině – princip hydraulického lisu. Leonhard Euler (1707-1783) – švýcarský matematik, fyzik a astronom. Tvůrce moderní hydromechaniky, objevil pojem ideální (neviskózní) kapaliny a sestavil její základní diferenciální rovnici. Označení pro Σ, π, ∫, ∞; vztah pro výpočet měrné energie turbíny; vlnová rovnice pro kmitání struny v prostoru a čase; slepý → optika, algebra, pohyb měsíce. Archimedes (287-212 př.n.l.) – řecký matematik, fyzik, mechanik. Díky unikátním experimentálním metodám můžeme Archimeda označit za prvního vědeckého inženýra v historii. Jako první důsledně spojil matematiku s fyzikou a teorii s experimentem. Ludolfovo číslo pí, kladkostroj, vodní šnek, měření objemu těles nepravidelného tvaru

Pascalův zákon Pascalův zákon je důležitým zákonem hydromechaniky. Jestliže na kapalinu působí vnější tlaková síla, pak tlak v každém místě kapaliny vzroste o stejnou hodnotu. Pascalův zákon mluví o přenosu tlaku do libovolného místa v kapalině, přitom se tlak nikde neztrácí. Přenos tlaku je umožněn pohybem částic kapaliny a rozkladem vzájemných sil mezi nimi do všech směrů. Pascalův zákon neříká, že tlak je v celé kapalině stejný, ale hovoří o rovnoměrném šíření tlaku v kapalině. Např. hydrostatický tlak je v menší hloubce menší, ve větší hloubce větší. Tlačením na kapalinu vzroste tlak ve všech místech stejně, ale rozdíly z hydrostatického tlaku zůstanou.

Pascalův zákon - prakticky

Pascalův zákon - matematicky Silová rovnováha (síla = tlak na plochu)

Eulerova rovnice hydrostatiky (ERHS) Eulerova rovnice hydrostatiky vyjadřuje rovnováhu sil působících na makroskopickou částici za předpokladu, že se kapalina nachází v hydrostatické rovnováze. Tlak je funkcí polohy:

ERHS - odvození síly tlakové síly hmotnostní Vektorový zápis ERHS: ERHS ve složkách: Zápis ERHS pomocí sumační symboliky: síly tlakové síly hmotnostní

Tlaková hladina a hladinové plochy Přírůstek tlaku: ERHS: integrace Plocha konstantního tlaku

Přírůstek tlaku v kapalině Tlaková síla na plochu je vektor, určený velikostí, směrem a působištěm. Síla má směr normály (kolmá k ploše) a je orientovaná z kapaliny. Po integraci a dosazení okrajových podmínek: hydrostatický tlak Hydrostatické paradoxon přestože: Za předpokladu dvou nemísitelných a nestlačitelných kapalin můžeme psát vztah ve tvaru: 1 2 3

Tlaková hladina - stlačitelná kapalina Za předpokladu stlačitelné kapaliny musíme vyjádřit závislost hustoty na tlaku. Vyjdeme z definice modulu objemové pružnosti. Odtud integrací: Okr. podmínky:

Tlaková hladina - stlačitelná kapalina Srovnáme-li tlak vody v hloubce 1000m bez uvažování stlačitelnosti a s uvažováním stlačitelnosti. Modul objemové stlačitelnosti K=2,36 . 109 Pa při 20°C: a) nestlačitelná kapalina pH=10000000Pa=10MPa b) Stlačitelná kapalina pH=10021246Pa=10,0212MPa Rozdíl je tedy 21246Pa, což odpovídá hloubce 2,1m. Po dosazení okrajových podmínek získáme integrační konstantu a vztah: Přírůstek tlaku: Upravíme na: integrujeme

Archimedův zákon

Síly tlakové a vlastní tíha tělesa Vztlak a plavání těles Síly tlakové a vlastní tíha tělesa Mohou nastat tři případy: výsledná síla působí vzhůru, těleso stoupá k hladině těleso se vznáší, síla vztlaková je v rovnováze s tíhou tělesa, výslednice sil je nulová výsledná síla působí dolů, těleso klesá dolů ve svislém směru Rovnováha sil tlakových a vlastní tíhy tělesa

Síla na šikmou plochu Co budeme počítat? Výslednou sílu od tlaku kapaliny na rovinnou plochu. U výsledné síly musíme určit: Velikost Působiště Orientaci Velikost Působiště určíme z momentové rovnováhy k osám x,y:

Síla na šikmou plochu – opakování statika Steinerova věta: Základní vztahy: Centrum tlakové síly „C“ moment setrvačnosti k ose ║ s y, ale procházející těžištěm Moment elementárních tlakových sil k ose y musí být stejný jako moment výsledné tlakové síly k ose y: Obecně lze předpokládat působiště C: moment setrvačnosti plochy S k ose y statický moment plochy S k ose y

Tlakové síly na křivé plochy Elementární síla na křivou plochu dS. Velikost síly počítáme po složkách. Celkové složky síly získáme integrací:

Síla na křivou plochu - zjednodušení V případě jednoduchých tvarů křivých ploch (válec, koule, krychle, kvádr..) lze výpočet zjednodušit pomocí průmětů ploch a náhradních objemů: poloha těžiště průmět tělesa do osy x Síla do osy x: objem zatěžovacího tělesa Síla do osy y: působí proti ose y

Pro dnešek stačí