Téma: Shodnosti a souměrnosti 6. a 7. ročník Shodnost geometrických útvarů Osová souměrnost Osově souměrné útvary Středová souměrnost Středově souměrné útvary Zpracoval: Jan Pavelka, ZŠ a MŠ Kosmonautů 15, Ostrava - Zábřeh

SHODNOST GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ Shodnými útvary v rovině rozumíme takové dva rovinné obrazce, které se po PŘEMÍSTĚNÍ na sebe navzájem KRYJÍ. Několik rovinných útvarů je shodných, jestliže jsou každé dva z nich shodné. K ověření shodnosti používáme tzv. „Průsvitkovou metodu.“ Ta spočívá v tom, že jeden z útvarů obkreslíme na průsvitku a vzniklý obrys přesuneme na druhý útvar. Jestliže se obrysy obou útvarů přesně překrývají, můžeme říct, že jsou útvary shodné. Nezapomeňte, že shodné útvary mohou být umístěny v různých polohách. Mohou být různě otočeny nebo převráceny. I vy tedy průsvitkou otáčejte a převracejte ji!!!

Ukažme si to tedy na konkrétních příkladech Mějme libovolný geometrický útvar. ANO, protože se po přemístění kryjí!! ANO, protože se po přemístění kryjí!! ZNAK SHODNOSTI….. Rozhodněte, zda jsou tyto dva obrazce shodné. │AB│ │CD│ Můžeme tedy zapsat: Dvě úsečky jsou shodné, mají-li stejnou délku!

Kdy bude pravidlo shodnosti platit pro dva úhly?? Opět si to ukážeme na konkrétním příkladě… ANO, protože se po přemístění kryjí!! Rozhodněte, zda jsou tyto dva obrazce shodné. Změř jejich velikosti! Můžeme tedy zapsat: │AVB│ │ ECD │ Dva úhly jsou shodné, mají-li stejnou velikost!!!

OSOVÁ SOUMĚRNOST Osová souměrnost je zobrazení v rovině, které překlápí vzory přes osu. Osovou souměrností vznikne tedy obraz, který je shodný se vzorem. Původní obrazec nazýváme VZOR, ten který vznikne zobrazením nazýváme OBRAZ, ten označujeme většinou jako vzor s čárkou (A →A΄). Přímku, přes kterou se vzor překlápí nazýváme osa souměrnosti. Body, které leží na ose souměrnosti, zůstávají namístě. Takové body, jejichž vzory se kryjí se svými obrazy nazýváme samodružné body (P = P´).

Konstrukce obrazu v osové souměrnosti Zadání : Sestrojte obraz úsečky AB v osové souměrnosti s osou o. Postup konstrukce: Sestrojíme obrazy bodů A,B a spojíme v úsečku A'B'. Obrazy nalezneme tak, že spustíme vždy ze vzoru kolmici na osu souměrnosti. Tím získáme bod P - patu kolmice o kterém víme, že leží ve středu úsečky - vzor - obraz.

Nyní si ukážeme přesný postup, krok po kroku! Mějme úsečku AB a osu souměrnosti o. 1) Sestrojíme kolmici k ose z bodu A. (vznikne nám bod P – pata kolmice – průsečík s osou o a kolmicí z bodu A) 2) Sestrojíme bod A´ tak, aby bod P byl středem úsečky AA´. 3) Získali jsme obraz bodu A 4) Stejným způsobem sestrojíme obraz bodu B. (body spojíme) 5) Získali jsem obraz úsečky AB v osové souměrnosti s osou o.

Osa úhlu – postup a její konstrukce Je dán úhel AVB. Z bodu V sestrojíme oblouk kružnice, která protne obě ramena úhlu - dostaneme body X a Y. Z bodů X a Y sestrojíme dva stejné oblouky kružnice (se stejným poloměrem), které se protnou uvnitř úhlu AVB → vznikne bod Z. Sestrojíme polopřímku VZ → úhel ZVB je polovinou úhlu AVB. Všechny úhly jsou osově souměrné! Osa úhlu prochází vrcholem a rozděluje úhel na dvě shodné části (poloviny úhlu).

OSOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY Osově souměrný útvar se dá rozdělit přímkou na dvě shodné části, pro které platí: Když překlopíme jednu část podle této přímky, kryje se přesně s druhou částí. Osově souměrné útvary však neexistují pouze v geometrii, ale setkáváme se s nimi denně. Příkladem může být např. motýl, některé dopravní značky a další předměty, televize, svíčky... Najdi u následujících obrázků nějakou osu souměrnosti: Útvary mohou mít i více než jednu osu souměrnosti!!

STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Středová souměrnost je, stejně jako souměrnost osová, zobrazení v rovině, které převádí vzory na obrazy. Rozdíl oproti osové souměrnosti je v tom, že překlopení vzoru probíhá přes jediný bod, který nazýváme střed souměrnosti.

Zadání: Sestrojte obraz ∆ ABC ve středové souměrnosti se středem S. Konstrukce obrazu ve středové souměrnosti Zadání: Sestrojte obraz ∆ ABC ve středové souměrnosti se středem S. Postup konstrukce: Postupně vyneseme polopřímky AS, BS, CS a sestrojíme body A', B', C' tak, aby bod S byl vždy středem úsečky vzor - obraz. Obrazy bodů A,B,C spojíme v trojúhelník, čímž dostaneme obraz.

Nyní si ukážeme přesný postup, krok po kroku! Sestrojíme útvar, spojíme vrchol A s bodem S (středem souměrnosti) polopřímkou AS Sestrojíme bod A´ tak, aby bod S byl středem úsečky AA´. Získali jsme obraz bodu A Postup opakujeme i u bodu B. Vytvoříme jeho obraz B´. Postup opakujeme i u bodu C. Vytvoříme jeho obraz C´. Vytvořené obrazy spojíme.

STŘEDOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY Středově souměrný útvar je vždy souměrný podle vlastního středu S. To znamená, že ke každému bodu nalezneme jeho obraz ve středové souměrnosti se středem S, který rovněž náleží tomuto útvaru (střed S je samodružný bod). Najdi u následujících obrázků nějaký střed souměrnosti:

Příklady na procvičení Urči, které z následujících geometrických útvarů jsou osově nebo středově souměrné, najdi jejich osu(y) popř. střed souměrnosti.

ZOPAKUJ SI DĚKUJEME ZA POZORNOST… Kdy jsou dva útvary shodné? Když se po přemístění kryjí. Jak se nazývá bod, který se v osové souměrnosti zobrazí sám na sebe? Samodružný bod (leží na ose souměrnosti) Jak poznáš osově souměrný útvar? Dá se rozdělit přímkou na dvě shodné části, pro které platí, že když překlopíme jednu část podle této přímky, kryje se přesně s druhou částí. DĚKUJEME ZA POZORNOST…