Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029 FIFEI-07 Základy makroskopických projevů mikrosvěta : Deformace a Hookův zákon http://stein.upce.cz/msfei14.html http://stein.upce.cz/fei/fIfei_07.html Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029 21. 04. 2014

Hlavní body Atomová hypotéza Mezi atomy a molekulami působí dalekodosahové síly Úvod do mechaniky kontinua Úvod do hydrostatiky ideálních kapalin Základní rovnice hydrostatiky Pascalův zákon 21. 04. 2014

Atomová hypotéza I Richard Feynman – jeden z největších fyziků 20. století a autor výborné a nadčasové učebnice “Feynmanovy kurzy fyziky“ – tvrdí, že pokud bychom směli zanechat budoucím generacím jedinou větu, měla by znít : Svět je složen z atomů, malých částic, které jsou v neustálém pohybu, když se přiblíží, přitahují se, ale když se přiblíží ještě více, naopak se odpuzují. Rozměry atomů se měří v (SI) zakázaných, ale velice praktických jednotkách - angströmech 1Ǻ = 10-10 m 21. 04. 2014

Atomová hypotéza II Kdybychom zvětšili jablko na rozměr Země (asi 108 krát), atomy by měly rozměr jablka. 6 .10-2.108 m = 6 .106 m ~ 6 Ǻ.108 = ~ 6 .10-10 .108 m = ~ 6 cm Je zajímavé, že ani při tomto zvětšení : by atomové jádro nebylo vidět pouhým okem. Mělo by totiž průměr jen řádově jednotky m ! poloměr Země by nedosáhl ani k nejbližší hvězdě. Musel by se ještě 60 krát vynásobit! V okolí hvězdárny v HK je model Sluneční soustavy 1:109. 21. 04. 2014

Dalekodosahové síly I Cherchez le puits (de potential) Součástky hmoty - atomy nebo molekuly na sebe vzájemně působí dalekodosahovými silami, které mají následující vlastnosti: na velké vzdálenosti jsou zanedbatelné při menších vzdálenostech jsou přitažlivé při ještě menších vzdálenostech jsou odpudivé existuje alespoň jedna rovnovážná vzdálenost, v níž se přitažlivé a odpudivé síly kompenzují 21. 04. 2014

Dalekodosahové síly II Působení dalekodosahových sil v mikrosvětě lze zjednodušeně vystihnout průběhem potenciální energie částice, která se blíží k částici, umístěné do počátku – tzv. potenciálovou jámou. v blízkosti minima ji lze aproximovat parabolou lze pomocí ní kvalitativně vysvětlit například: existenci a pravidelnost kondenzovaného stavu elastické chování látek teplotní roztažnost mechanické vlastnosti sedlin 21. 04. 2014

*Dalekodosahové síly III Vzájemné působení molekul se modeluje např. Lenard-Jonesovým potenciálem 6-12  je hloubka potenciálové jámy r0 je rovnovážná vzdálenost odpudivé síly by měly být správně exponenciální, ale takto lze snáze počítat interakční integrály a s přijatelnou přesností 21. 04. 2014

*Dalekodosahové síly IV Vzájemné působení atomů v molekule se modeluje např. Morseovým potenciálem  je hloubka potenciálové jámy r0 je rovnovážná vzdálenost a určuje dosah interakce dobře se nacházejí stacionární stavy a modeluje anharmonická interakce – vylepšení reflektující fakt, že vazbu lze snadněji natáhnout než stlačit 21. 04. 2014

Pružnost I Z vzájemného působení součástek hmoty, které jsme si přiblížili pomocí potenciálové jámy, je patrné, že tělesa nemohou být dokonale tuhá. Jejich tvar v každé situaci odpovídá jisté rovnováze vnějších a vnitřních sil. Změnou působení vnějších sil se mění i síly uvnitř. Snaží se totiž vyrovnat účinek vnější změny. Výsledkem je nová rovnováha odpovídající stavu napjatosti. 21. 04. 2014

Pružnost II Vzájemné působení může být velmi složité a existují látky s bizardními vlastnostmi. Naše potenciálová jáma je zjednodušení, zhruba fungující pro velké množství látek. Zatím přijměme tvrzení, že velmi malé deformace jsou elastické a tedy těleso se po vymizení vnějších sil, vrátí i těleso do původní rovnováhy. Zaveďme si vhodně veličiny, které jsou ve hře: 21. 04. 2014

Mechanické napětí I Experiment ukazuje, že pro deformační účinek je rozhodující veličinou působící síla, vztažená na jednotku plochy, na kterou působí: mechanické napětí, krátce napětí Jednotkou napětí je 1 Pascal [Pa]=Nm-2 Hydrostatický tlak je speciální druh napětí. 21. 04. 2014

Mechanické napětí II Odezva látek může být komplikovaná, ale i u nejjednodušších látek (homogenních a izotropních) je rozdílná nejméně v tečném a normálovém směru. Proto má význam rozkládat napětí alespoň na normálové a tečné: 21. 04. 2014

Deformace Odezva látek je vždy úměrná rozměru před deformací, proto je užitečné ji k tomuto původním rozměru vztáhnout. Podle typu deformace používáme například relativní prodloužení Střih dx dy stlačení 21. 04. 2014 v

Závislost napětí na deformaci Průběh namáhání látek se obvykle zobrazuje jako závislost napětí na deformaci (nebo obráceně). Má následující oblasti a meze: úměrnosti ... zde platí Hookův zákon < σH elasticity ... návrat do původního tvaru < σE plasticity ... zůstává trvalá deformace kluzu ... velká změna chování pevnosti ... porušení materiálu < σP 21. 04. 2014

Závislost napětí na deformaci  oblast tečení mez pevnosti elastická oblast plastická oblast p E H oblast proporcionality – zde platí Hookův zákon  21. 04. 2014

Hookův zákon I Pro velmi malé (přesně nekonečně malé) deformace potom například platí : Veličiny E, G a K jsou tzv. moduly, vyjadřují odpor vůči deformaci a u pevných látek mají značně velké hodnoty ~1010 Pa. v 21. 04. 2014

Hookův zákon II Moduly se nazývají : E …Youngův modul pružnosti v podélném prodloužení G … Youngův modul pružnosti ve smyku K … modul objemové pružnosti Často se používají i reciproké hodnoty modulů. Vyjadřují poddajnost materiálů a jsou typicky velmi malé. 21. 04. 2014

Hookův zákon III Podélná deformace je doprovázena deformací příčnou Například podélné prodloužení Δl tyčky l0 je vždy doprovázeno zkrácením Δa každého příčného rozměru a : V hookovské oblasti je relativní příčné zkrácení  přitom úměrné podélnému napětí a tedy i podélné deformaci : 21. 04. 2014

Hookův zákon IV Změna v příčném směru je charakterizována dalším materiálovým parametrem  nebo m : Poissonova konstanta: m = / Poissonovo číslo (poměr):  = 1/m = / Velké Poissonovo číslo znamená relativně velkou příčnou deformaci 21. 04. 2014

Hookův zákon V Existuje souvislost mezi namáháním smykovým a úměrou deformací v kolmém směru s deformací ve směru podélném : kde m jsou Poissonova konstanta a  Poissonovo číslo, definované výše. Pro součinitel objemové stlačitelnosti platí : 21. 04. 2014

Deformace neizotropních látek I V obecném případě neizotropních těles je nutné napětí i deformaci vyjádřit pomocí symetrických tenzorů druhého řádu  a . ij je j-tá složka napětí působící na plošku kolmou k ose i. pq je výchylka plošky kolmé k ose p ve směru osy q. 21. 04. 2014

Deformace neizotropních látek II Zobecněný Hookův zákon je možné vyjádřit jako: ij = Cijpq pq Cijpq je obecně 36 nezávislých elastických parametrů. Každá symetrie materiálu znamená i symetrií v C, tedy nějakou vzájemnou relaci, čili i snížení počtu nezávislých materiálových parametrů. Nejtriviálnější je symetrie vůči záměně dvojic ij a pq. Ta snižuje počet nezávislých parametrů na 21. Tento počet odpovídá monokrystalům v triklinické soustavě. Amorfní nebo polykrystalické látky se chovají jako izotropní a zůstávají u nich jen dva parametry E a G. 21. 04. 2014

Úvod do mechaniky tekutin I Tekutiny je společný název pro kapaliny a plyny. Přitažlivé síly v nich jsou kohézního charakteru. Mají společný téměř nulový modul ve smyku. Díky tomu snadno mění tvar. Relativně lehce se rozdělují. Na rozdíl od plynů jsou kapaliny téměř nestlačitelné. V případě, že se neprojevují efekty, které souvisí s existencí atomové struktury, lze tekutiny, podobně jako pevné látky považovat za tak zvané kontinuum – spojité prostředí. 21. 04. 2014

Tekutiny II Z hlediska elastických vlastností lze tekutiny definovat následovně: kapaliny ... K velmi veliké, G malé plyny ... K konečné dané EOS, G malé 21. 04. 2014

Tekutiny III Pro odhalení základních mechanických vlastností kapalin a plynů je vhodné začít od ideální kapaliny a později zavádět korekce, popisující reálnější chování například viskozitu a stlačitelnost. Ideální kapalina má K nekonečné a G nulové. Čili ideální kapalina je nestlačitelná, ale neexistují v ní smyková napětí ani deformace. 21. 04. 2014

Hydrostatika ideální kapaliny I Hydrostatika se zabývá kapalinami nebo plyny v rovnováze, bez ohledu na to, jak a za jak dlouho k ní dojde (např. smůla na stromě není v rovnováze). Budeme nejprve uvažovat ideální a tedy dokonale nestlačitelnou kapalinu, navíc homogenní a izotropní. Je pohodlné charakterizovat kapalinu fyzikálními veličinami vztaženými na jednotku objemu, tedy hustotami fyzikálních veličin. 21. 04. 2014

Hydrostatika ideální kapaliny II Nejběžnější jsou : hustota  je hmotnost na jednotku objemu :  = m/V, [] = kg m-3 hustota působících sil , tedy síla na jednotku objemu : , [f] = N m-3 tlak p lze chápat jako hustotu tlakové energie : [p] = N/m2 = J/m3 21. 04. 2014

Základní rovnice hydrostatiky I Pro tenzor napětí u ideální kapaliny platí jednoduše Pascalův zákon : ij=-pij. ij je tzv. Croneckerovo delta. Nabývá dvou hodnot: ij=1 pro i=j nebo ij=0 pro ij. p = F/S [Pa] je tlak - normálové napětí. Budeme upravovat základní vztah pro rovnováhu kontinua : 21. 04. 2014

Základní rovnice hydrostatiky II Po dosazení za tenzor napětí platí : Síla působí ve směru největší změny tlaku nebo naopak největší změna tlaku je ve směru působící síly. Jde-li speciálně o sílu vytvořenou polem majícím potenciál 21. 04. 2014

Základní rovnice hydrostatiky III Tedy: A konečně po integraci obdržíme : Tuto rovnici lze interpretovat tak, že místa stejného tlaku leží na ekvipotenciálních plochách a s poklesem potenciálu = růstem hloubky se tlak zvětšuje. 21. 04. 2014

Základní rovnice hydrostatiky IV Všechna rozhraní kapalin, samozřejmě včetně hladiny, která je rozhraním kapaliny a plynu, jsou tedy ekvipotenciální plochy. Hladiny nejsou ve skutečnosti zcela vodorovné : kopírují například zemský povrch a sledují i jemnější změny potenciálu v důsledku rotace Země, její nehomogenity i společné působení Měsíce a Slunce. také se zakřivují v blízkosti okrajů nádoby. 21. 04. 2014

Tlak v kapalině I Pascalův zákon V důsledku neexistence tečných napětí působí v každém bodě pouze tlak (=normálové napětí) a je stejný ze všech směrů. Na tomto principu je založena např. hydraulika. Můžeme-li zanedbat vlastní tíhu kapaliny, je tlak v ní všude stejný a na různě velké plochy tedy působí různě velká síla: F1/S1 = p1 = p2 = F2/S2 21. 04. 2014

Tlak v kapalině II Předpokládejme gravitační pole v blízkosti povrchu Země.  = gz osa z je svislá a její kladná část míří vzhůru. Obecně musíme připustit závislost hustoty na z, potom : 21. 04. 2014

Tlak v kapalině III Průběh tlaku v kapalině je lineární U těžko stlačitelných kapalin lze hustotu považovat za konstantní a tedy : Integrace vede na lineární pokles tlaku s výškou : Často uvažujeme naopak vzrůst s hloubkou pod hladinou: 21. 04. 2014

Tlak v kapalině IV Průběh tlaku v atmosféře je exponenciální Předpokládejme izotermickou atmosféru, stlačitelnou podle Boyle-Marriotova zákona Potom : Diferenciální rovnici řešíme integrací po separaci proměnných a po odlogaritmování: 21. 04. 2014

Archimédův zákon I Těleso ponořené do tekutiny je nadlehčováno silou, která se rovná tíze tekutiny tělesem vytlačené. Nadlehčování je způsobeno tlakovými silami, které se snaží tekutinu “vrátit”, do míst, odkud byla tělesem vytlačena nebo kam se může alespoň principiálně dostat. Protože tlak roste s hloubkou, lze očekávat, že výslednice sil bude směřovat vzhůru. 21. 04. 2014

Archimédův zákon II Archimédův zákon úzce souvisí s růstem tlaku s hloubkou lze ilustrovat na tělese speciálního tvaru nebo dokázat obecně jako rovnováhu objemových a povrchových sil. Druhý důkaz nepožaduje konstantní hustotu, čili nezávisí na možné stlačitelnosti tekutiny a platí tedy i pro plyny a také tělesa, která mohou být v několika prostředích, např. neúplně ponořená. 21. 04. 2014

Archimédův zákon III Mějme rotační válec o výšce h a podstavě S v ideální kapalině o hustotě 0. Tlakové síly na plášť se v každé hloubce vyrovnají. Nevykompenzovaná zůstane pouze tlaková síla působící na spodní podstavu a tedy vzhůru, protože tato podstava je hlouběji o výšku válce než podstava horní: F = Sh0g. To je ale přesně tíha vytlačené kapaliny. 21. 04. 2014

Archimédův zákon IV V kapalině, která je v rovnováze si mysleme její určitý objem libovolného tvaru. Tento objem má svoji hmotnost, a tíha směřuje svisle dolů. Na povrch objemu působí tlakové síly. Protože je objem v rovnováze, musí jejich výslednice vykompenzovat tíhu, čili musí směřovat svisle vzhůru a její velikost se musí rovnat tíze myšleného objemu. 21. 04. 2014

Povrchové napětí I Částice kapaliny blízko rozhraní mají ve svém okolí prostředí dvojího druhu. To obecně vede k nesymetrii působících sil, jak dovedeme vysvětlit opět pomocí potenciálové jámy. Takový efekt existuje i na rozhraní dvou pevných látek. Jak jsme poznali, rozhraní kapaliny se vyznačuje tím, že zaujímá v každém bodě směr kolmo k působící síle. 21. 04. 2014

Povrchové napětí II l F Δx Práce vykonaná při zvětšení blány o plochu ΔS: ΔW = 2σlΔx l F Povrchové napětí je Energie na jednotku plochy : ΔW/2lΔx = σ [σ] = N.m-1 = J.m-2 Δx Mýdlová blána (2 povrchy) Proč se mince položená opatrně na povrch vody nepotopí? 21. 04. 2014

Povrchové napětí III Například na rozhraní kapalina – plyn působí síly směřující do kapaliny. Výsledkem je, že se rozhraní snaží zaujímat minimální povrch, např. se tvoří kapky. Na rozhraní kapalina – pevná látka mohou síly směřovat : do kapaliny - kapalina látku nesmáčí z kapaliny ven - kapalina látku smáčí. 21. 04. 2014

Kapilární elevace a deprese 21. 04. 2014

Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

Příčné zkrácení III Podélný a příčný rozměr po deformaci lze vyjádřit : V případě tlaku by bylo možné a správnější uvažovat záporné parametry nebo změnit znaménka ve vztazích, což je bohužel historicky zděděný postup. 21. 04. 2014

Tlaková deformace objemu I Mějme krychli V=aaa, vystavenou hydrostatickému tlaku p, tedy působí na ní stejné napětí n ze všech směrů. U změny rozměrů každé strany se musí uvažovat podélné i příčné změny tedy : a, = a(1-+2) → V, = V(1-+2)3 Po zanedbání kvadratických a vyšších členů: 21. 04. 2014

Tlaková deformace objemu II Protože vlastně n = p, platí pro součinitel objemové stlačitelnosti  : je to podíl relativního úbytku objemu dělený tlakem, který ji způsobil, tedy relativní úbytek objemu na jednotku tlaku. 21. 04. 2014

Tlaková deformace objemu III Předchozí definice naznačuje, že objemová stlačitelnost se řídí Hookovým zákonem a lze tedy opět definovat příslušný modul objemové pružnosti K : Z této definice lze dále definovat meze, v nichž musí ležet Poissonovo číslo . 21. 04. 2014

*Tlaková deformace objemu IV Z experimentu plyne, že K a E jsou kladné, protože délka se napětím prodlužuje a objem tlakem zmenšuje. Současně  > 0, protože protažení vyvolává zúžení a naopak. Potom tedy musí být jmenovatel větší než nula a platí : 0 <  < 1/2. Ve skutečnosti je obvykle 1/4 <  < 1/2 . Pro  = ½ by se jednalo o nestlačitelné, tedy dokonale tuhé těleso. ^ 21. 04. 2014

Deformace ve smyku I Způsobí-li tečné napětí t =  odchylku u ve výšce b od pevné podložky, lze definovat relativní deformaci ve smyku  jako : Pro malé deformace lze opět pozorovat platnost Hookova zákona : 21. 04. 2014

Deformace ve smyku II V souladu s předchozími definicemi je k3 ... součinitelem smykového posunutí a má význam poddajnosti materiálu a G ... modul pružnosti ve smyku s významem odporu materiálu vůči deformaci ve smyku. 21. 04. 2014

Deformace izotropních látek Celkově je tedy možné charakterizovat elastické chování izotropních látek pomocí tří parametrů: například modulů G a E a Poissonovy konstanty m. Ukazuje se, že z těchto parametrů jsou ale jen dva nezávislé. Platí totiž vztahy : ^ 21. 04. 2014