PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?

PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? Jak je ve fysice definována dimense prostoru ? Co si o tom myslel Aristoteles Descartes Newton Poincaré Mandelbrot Kdo ví . . .

PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? Jak je ve fysice definována dimense prostoru ? PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? Který prostor máme na mysli? náš přirozený prostor, ve kterém žijeme od toho odvozený prostor jako filosofická kategorie prostor ve fysice … vlastně prostoročas je 3 + 1 … nesmí nás omýlit formální přístup k prostorům všeho druhu v analyt. mechanice, statistice, kvantové fysice … prostorové souřadnice jsou privilegované i v kvantovém kontextu: tvar Lagrangiánu, pozorovatelných; kalibrační pole

PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? Jak je ve fysice definována dimense prostoru ? PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? A je vůbec trojrozměrný ? Nebo je 3 + X ? Možnosti: vnoření do vyšší dimense "svinuté dimense" opravdu jiná kartézská dimense Který prostor máme na mysli? náš přirozený prostor, ve kterém žijeme od toho odvozený prostor jako filosofická kategorie prostor ve fysice … vlastně prostoročas je 3 + 1 … nesmí nás omýlit formální přístup k prostorům všeho druhu v analyt. mechanice, statistice, kvantové fysice … prostorové souřadnice jsou privilegované i v kvantovém kontextu: tvar Lagrangiánu, pozorovatelných; kalibrační pole

PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? ve fysice otázka nejtěžší, špatně definovaná Jak je ve fysice definována dimense prostoru ? PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? Který prostor máme na mysli? náš přirozený prostor, ve kterém žijeme od toho odvozený prostor jako filosofická kategorie prostor ve fysice … vlastně prostoročas je 3 + 1 … nesmí nás omýlit formální přístup k prostorům všeho druhu v analyt. mechanice, statistice, kvantové fysice … prostorové souřadnice jsou privilegované i v kvantovém kontextu: tvar Lagrangiánu, pozorovatelných; kalibrační pole A je vůbec trojrozměrný ? Nebo je 3 + X ? Možnosti: vnoření do vyšší dimense "svinuté dimense" opravdu jiná kartézská dimense

PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?

CO KDYBY NEBYL PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?

CO KDYBY NEBYL PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? NEWTONŮV

ČÁST I. VYMEZENÍ NAŠÍ OTÁZKY Přirozený pojem prostorové dimense Různé geometrické definice dimense používané ve fysice Newtonův prostor jako limita v (c G) schématu Newtonův prostor jako strukturní rámec meso světa Kaluza – Klein a dál Vnoření do vícerozměrného prostoru Flatlandy všeho druhu

Přirozený svět je trojrozměrný Co do přirozeného světa nepatří Přirozený pojem prostorové dimense Přirozený svět je trojrozměrný Žijeme na Zemi: jdu na čtyři světové strany, nad sebou mám zenit, pod nohama nadir. Tak i v knize Genese: Původní chaos se rozdělí na Zemi a Nebe. Abelův dým stoupá vzhůru, Kainův se rozlévá při zemi. Jak se Dasein vztahuje ke světu: Od sebe postupuje k horizontu (radiálně), přitom volí směr vpravo-vlevo a nahoru-dolů. Rozumíme čarám a plochám: uzavřená plocha má vnitřek a vnějšek, jako měchy na víno. Tělesným smyslem ovládáme tři rotační osy: Valentovy vruty na snowboardu. Ve stavitelství: prostor k prodlévání vymezen rovinami stěn průčelních a bočních, stropů a podlah. Jejich průnik vytváří kouty … předobraz Descartova trojhranu . Co do přirozeného světa nepatří Homogenita prostoru, která znamená nekonečnost – opak prostoru k pobývání. Isotropie prostoru: náš přirozený prostor má privilegovaný směr – vertikálu. Tomu nás naučil až Newton

Různé cesty k definici dimense parametrická definice topologická dimense topologické prostory algebraická dimense moduly (vektor. prostory) Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

} Různé cesty k definici dimense Běžná představa o fysice i mezi fysiky: úsečka x interval [0,1] čtverec [x,y] kartézský součin [0,1] [0,1] Škoda, že to tak není [0,1]  [0,1]  [0,1] Cantor POSTUP NA PŘÍKLADU x = 0.7391564428… y = 0.1564873921… x1= 0.71359614586743492281… na úsečce parametrická definice topologická dimense topologické prostory algebraická dimense moduly (vektor. prostory) Menger – Urysohn metrické prostory } ve čtverci EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

Různé cesty k definici dimense Běžná představa o fysice i mezi fysiky: úsečka x interval [0,1] čtverec [x,y] kartézský součin [0,1] [0,1] Škoda, že to tak není [0,1]  [0,1]  [0,1] Cantor Spojitá křivka vyplní čtverec Peano parametrická definice topologická dimense topologické prostory algebraická dimense moduly (vektor. prostory) Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

Různé cesty k definici dimense Běžná představa o fysice i mezi fysiky: úsečka x interval [0,1] jeden vektor base jedna dimense čtverec [x,y] kartézský součin [0,1] [0,1] dva vektory base dimense = 2 e xe parametrická definice topologická dimense topologické prostory algebraická dimense moduly (vektor. prostory) Menger – Urysohn metrické prostory xe + ye' EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE e' Fraktální dimense e

Různé cesty k definici dimense Běžná představa o fysice i mezi fysiky: úsečka x interval [0,1] jeden vektor base jedna dimense čtverec [x,y] kartézský součin [0,1] [0,1] dva vektory base dimense = 2 e xe parametrická definice topologická dimense topologické prostory algebraická dimense moduly (vektor. prostory) Menger – Urysohn metrické prostory xe + ye' EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE … toto funguje e' Fraktální dimense e

Různé cesty k definici dimense parametrická definice topologická dimense topologické prostory algebraická dimense moduly (vektor. prostory) Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

Různé cesty k definici dimense parametrická definice topologická dimense topologické prostory Bohužel nemáme na ni čas Ta je z přirozeného světa Používané pojmy: sousedství, překryv a pokrytí oddělení, hranice souvislost, spojitost, cesta algebraická dimense moduly (vektor. prostory) Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

Eukleidovská dimense n Různé cesty k definici dimense se sejdou DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Menger – Urysohn metrické prostory Eukleidovská dimense n n ineárně nezávislých vektorů (vektorový prostor) n ortogonálních směrů (definován skalární součin) n kartézských složek + Pythagorova věta (Eukleidova metrika indukov. skalár. souč.) n (+ 1) nadkoulí se protíná v bodě ("methoda GPS") EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

Newtonův prostor jako limita Otázku o úloze dimense pojímám ve smyslu ANTROPICKÉHO PRINCIPU Ptáme se, zda by n-rozměrný svět byl pro nás obyvatelný. Proto stačí pohled na svět přístupný naší zkušenosti. G TOE OTR STR c-1 QM QFT  3 + 1 prostoro-čas v (cG ) schématu se jedná o nerelativistickou limitu

Newtonův mesosvět NEWTONOVA KOSMOLOGIE (sekularisovaná varianta) Vykročení do kosmu: universální gravitační zákon jablko Most mezi "nebem" a Zemí - jeden ze svorníků novověké vědy Ptačí perspektiva vede k Newtonově koncepci prostoru Aplikována na Solární systém (empirická oblast astronauti ) Vnější horizont Newtonova kosmu "Oblast vzdálených hvězd" … ty fixují absolutní prostor Vnitřní horizont Newtonova kosmu Struktura a nemechanické vlastnosti hmoty Jemný dech pronikající částicemi látek … et hypotheses non fingo. Newton alchymista Pro dnešního člověka je to součást přirozeného světa

Jak přidávat prostorové dimense JE NĚKOLIK MOŽNOSTÍ Kaluza – Klein a dál (submikrosvět) Přidané dimense jsou skryté, svinuté Od Kaluzy přes Rumera po dnešní superstringy Otázka: proč se na rozlehlé chtějí rozvinout zrovna 3? Vnoření do vícerozměrného prostoru (megasvět) Zakřivené prostory, červí díry a jiné exoty  za horizontem Newtonova kosmu

Jak přidávat prostorové dimense JE NĚKOLIK MOŽNOSTÍ Vnoření do vícerozměrného prostoru (megasvět) Zakřivené prostory, červí díry a jiné exoty Kaluza – Klein a dál (submikrosvět) Přidané dimense jsou skryté, svinuté Od Kaluzy přes Rumera po dnešní superstringy Otázka: proč se na rozlehlé chtějí rozvinout zrovna 3? Vnoření do vícerozměrného prostoru (mesosvět) Čtvrtá dimense velmi populární kolem r. 1900 (Hinton) Náš prostor je 3D nadrovinou, kterou nemůžeme opustit. Zato nadpřirozené bytosti snadno intervenují "zvenku". Jejich lidští spřeženci triviálně vykrádají 3D tresory. Prosté přidání Eukleidovské dimense V "lidských" měřítcích Newtonova kosmu

Jak přidávat prostorové dimense JE NĚKOLIK MOŽNOSTÍ Kaluza – Klein a dál (submikrosvět) Přidané dimense jsou skryté, svinuté Od Kaluzy přes Rumera po dnešní superstringy Otázka: proč se na rozlehlé chtějí rozvinout zrovna 3? Vnoření do vícerozměrného prostoru (megasvět) Zakřivené prostory, červí díry a jiné exoty Vnoření do vícerozměrného prostoru (mesosvět) Čtvrtá dimense velmi populární kolem r. 1900 (Hinton) Náš prostor je 3D nadrovinou, kterou nemůžeme opustit. Zato nadpřirozené bytosti snadno intervenují "zvenku". Jejich lidští spřeženci triviálně vykrádají 3D tresory. Prosté přidání Eukleidovské dimense  naše cesta

ČÁST II. FYSIKA V PROSTORU En  Rn Geometrie Rn. Tvar fysikálních zákonů v Rn. Gravitační zákon Pohyby planet – Keplerova úloha Coulombův zákon. Fundamentální konstanty c G e' , rozměrová analysa Vodíkupodobný atom – Bohrova teorie Vodíkupodobný atom – nerelativistická kvantová teorie Vlnové šíření a Huyghensův princip Rekapitulace. Privilegované postavení dimense 3.

Geometrická struktura Rn toto budeme zkoumat malé celočíselné dimense homogenní a isotropní: dvě odlišné vlastnosti homogenita  translační invariance translační grupa … isotropie  rotační invariance rotační grupa … objem a povrch koule parita vůči prostorové inversi Flatlandy jednotlivé 1D směry, komutativní, jednorozměrné representace } Rozdílnost sudých a lichých dimensí

Geometrická struktura Rn Rozdílnost sudých a lichých dimensí objem a povrch koule parita vůči prostorové inversi Jen pro n lichá mění orientaci prostoru

Od prázdného Rn k prostoru fysikálnímu PODSTATA CELÉHO POSTUPU: Sama geometrie nemůže rozhodnout Do prostoru vneseme hmotu a necháme ji „žít“ Konstruujeme universum rozšířením dimense z 3 na n Fysikální jevy se řídí zákonitostmi, které jsou obecné, tj. společné všem dimensím Jejich tvar někdy na dimensi nezávisí, někdy ano Pro každou dimensi tak předpovíme konkrétní podobu jevů, ovlivněnou geometrickou strukturou Rn To porovnáme s empirií a s obecnými antropickými kriterii

VYBEREME KLÍČOVÉ FYSIKÁLNÍ PROCESY A JEVY Fysikální zákony v Rn VYBEREME KLÍČOVÉ FYSIKÁLNÍ PROCESY A JEVY Galileiho relativita Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám konservativní síly: ZZE v potenciálním poli Pole a zdroje Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti

Fysikální zákony v Rn Galileiho relativita Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám konservativní síly: ZZE v potenciálním poli Pole a zdroje Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti

Fysikální zákony v Rn Galileiho relativita Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám konservativní síly: ZZE v potenciálním poli Pole a zdroje Silové pole vyvěrá z "nábojů", v prázdnu se počet siločar nemění (Faraday); Laplaceova a Poissonova rovnice Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti

Fysikální zákony v Rn Galileiho relativita Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám konservativní síly: ZZE v potenciálním poli Pole a zdroje Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti Monochrom. rovinná vlna má vlnový vektor a frekvenci. Předpokládáme bezdispersní vlny Připojíme princip superposice a dostáváme vlnovou rovnici

Fysikální zákony v Rn Galileiho relativita Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám Konservativní síly: ZZE v potenciálním poli Pole a zdroje Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti Kvantování po složkách nezávisí na dimensi. Buď z homogenity prostoru rovnou Nebo předepíšeme kanonické komutační relace Odtud Hamiltonián

Gravitační zákon v Rn Tento problém je výchozí pro ostatní úlohy historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) Převezmeme z 3D: Náboje jsou hmotnosti Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: Pro hmotný bod v počátku dostáváme

Gravitační zákon v Rn Tento problém je výchozí pro ostatní úlohy historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) Převezmeme z 3D: Náboje jsou hmotnosti Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: Pro hmotný bod v počátku dostáváme

Gravitační zákon v Rn Tento problém je výchozí pro ostatní úlohy historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) Převezmeme z 3D: Náboje jsou hmotnosti Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: Pro hmotný bod v počátku dostáváme

Gravitační zákon v Rn Tento problém je výchozí pro ostatní úlohy historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) Převezmeme z 3D: Náboje jsou hmotnosti Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: Pro hmotný bod v počátku dostáváme

Gravitační zákon v Rn Tento problém je výchozí pro ostatní úlohy historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) Převezmeme z 3D: Náboje jsou hmotnosti Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: Pro hmotný bod v počátku dostáváme

Gravitační zákon v Rn

Gravitační zákon v Rn Máme Z toho dostaneme Zavádí se tu gravitační konstanta G, která závisí rozměrově na dimensi n. Newton zápolil se dvěma problémy: gravitační síla vně sférické slupky a uvnitř slupky. První měla být stejná jako od hmotného bodu, druhá nulová. Z Gaussovy věty dostaneme obojí okamžitě. Tím jsou vyloučeny jiné interakční potenciály (skoro). Rozhodně potenciál 1/r pro n>3. zavedení hmotného bodu nulový gravitační účinek sféry vzdálených hvězd

Planetární pohyby v Rn Pro libovolné n je pohyb v poli silového centra řešen stejně: je planární (síla působí v rovině dané průvodičem a okamžitou rychlostí) zachovává moment hybnosti (2. Keplerův zákon) zachovává energii V rovině pohybu … polární souřadnice . Pak Všechno závisí na , jeho prostřednictvím vstupuje i dimense. Pro n= 1, 2 jsou všechny pohyby finitní. Pro n= 3, 4, 5 … zajímavé chování

Planetární pohyby v Rn Dvě cesty A. Úplné řešení kvadraturami (jako v učebnici) Dovoluje podrobně charakterisovat finitní trajektorie: jsou periodické? (jak to známe z obyč. 3D Keplerovu úlohy) nebo vícenásobně periodické, nebo chaotické? nebo mají ráz „pádu na centrum“? B. Kvalitativní diskuse radiálního pohybu (efektivní 1D úloha) Efektivní potenciál

Planetární pohyby v Rn Dvě cesty A. Úplné řešení kvadraturami (jako v učebnici) Dovoluje podrobně charakterisovat finitní trajektorie: jsou periodické (jak to známe z obyč. 3D Keplerovu úlohy) nebo vícenásobně periodické, nebo chaotické nebo mají ráz „pádu na centrum“? B. Kvalitativní diskuse radiálního pohybu (efektivní 1D úloha) Efektivní potenciál

Příklady Ueff a klasicky dostupných oblastí Planetární pohyby v Rn Příklady Ueff a klasicky dostupných oblastí n=3 n=4 n=5 r0 nulový bod Ueff

? ? ? Planetární pohyby v Rn Jak dopadnou trajektorie n=3 n=4 n=5 r0 nulový bod Ueff ? ? ? Pád na centrum pro záporné kladné podbariérové nadbariérové energie Keplerovy elipsy hyperboly

Planetární pohyby v Rn Výsledek pro Keplerovu úlohu v Rn Dimense 3 „normální situace“ Rozptylové trajektorie pro E>0, finitní trajektorie pro 0>E>min(Ueff); kruhová při minimu. Dimense 4 Mezní, podivná. Nemá char. délku. Ueff je monotonní. Buď kladný, ryze repulsivní; trajektorie doletí do perihelu a odrážejí se zpět do nekonečna. Nebo všude záporný a klesající. Rozptylové i vázané traj. odpovídají nárazu na centrum nekonečnou rychlostí. Dimense 5 Kruhová trajektorie při maximu Ueff je nestabilní; má kladnou energii. Finitní dráhy mají ráz „pádu na centrum“. Podobně i vyšší dimense. Zhoubné důsledky pro lidstvo v takových podmínkách.

Coulombův zákon v Rn Elektrostatika vs. gravitace v Rn Jen dimense n=3, 4, 5 … Stejné Silové pole a jeho zdroje (původní Faradayovy siločáry byly elst.) Jiné Náboje Q nejsou úměrné hmotnostem m. Zavedu přímo veličiny jim úměrné, Q’, jak vystupují v silovém zákonu (poučení ze soustavy SI). Fysikální rozměr těchto nábojů závisí na prostorové dimensi Coulombův zákon Elementární náboj v Rn Směřujeme k atomistice; postulujeme elementární náboj elektronu e’. Také jeho fysikální rozměr závisí na prostorové dimensi. O jeho hodnotě nemáme jak uvažovat.

Fundamentální konstanty. Rozměrová úvaha v Rn Fundamentální konstanty v Rn Bezrozměrná konstanta v Rn Jsou nutné všechny 4 Pro n≤4 vždy jedna vypadne Pro n≥5 naopak všechno propojeno Náš svět n=3 gravitace odpojena od ostatních jevů QED:

Přirozené jednotky v Rn Přirozené soustavy jednotek v Rn Atomové jednotky v Rn Inspirace od Bohra(1913) Rozměrová úvaha  relevantní veličiny Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii Výsledek

Přirozené jednotky v Rn Přirozené soustavy jednotek v Rn n=3 ... známý výsledek n=4 ... postup neplatný: neexistuje charak- teristická délka n≥5 ... „opačná“ závislost na Planckově konstantě, ... Atomové jednotky v Rn Inspirace od Bohra(1913) Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii Výsledek

Bohrova teorie vodíku v Rn Postup podle Bohra použit Ehrenfestem Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii Klasická podmínka odstř. síla= dostř. síla

Bohrova teorie vodíku v Rn Postup podle Bohra použit Ehrenfestem Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii Klasická podmínka odstř. síla= dostř. síla kvantování momentu hybnosti Kvantová podmínka

Bohrova teorie vodíku v Rn Postup podle Bohra použit Ehrenfestem Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii Klasická podmínka odstř. síla= dostř. síla závisí na n kvantování momentu hybnosti Kvantová podmínka nezávisí na n

Bohrova teorie vodíku v Rn Postup podle Bohra použit Ehrenfestem Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii odstř. síla= dostř. síla kvantování momentu hybnosti

Bohrova teorie vodíku v Rn: výsledek Postup podle Bohra použit Ehrenfestem Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii odstř. síla= dostř. síla kvantování momentu hybnosti Výsledek

Bohrova teorie vodíku v Rn: výsledek Postup podle Bohra použit Ehrenfestem Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii odstř. síla= dostř. síla kvantování momentu hybnosti Výsledek Známe z rozměrové úvahy

Bohrova teorie vodíku v Rn: výsledek Výsledek (Ehrenfestův) n = 3 n = 4 n = 5 ? + + - + Bohr 1913 Ehrenfest 1917 +

Bohrova teorie vodíku v Rn: shrnutí Postup podle Bohra použit Ehrenfestem Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii Má – jak víme dnes – semiklasický charakter Výsledek Výrazná patologie pro n=4 Pro n≥5 s rostoucím k se poloměry smršťují energie jsou kladné a rostou bez omezení

Bohrova teorie vodíku v Rn: shrnutí Postup podle Bohra použit Ehrenfestem Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii Má – jak víme dnes – semiklasický charakter Výsledek Výrazná patologie pro n=4 Pro n≥5 s rostoucím k se poloměry smršťují energie jsou kladné a rostou bez omezení To ne !!!

Bohrova teorie vodíku v Rn: shrnutí Postup podle Bohra použit Ehrenfestem Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii Má – jak víme dnes – semiklasický charakter Výsledek Výrazná patologie pro n=4 Pro n≥5 s rostoucím k se poloměry smršťují energie jsou kladné a rostou bez omezení Co ale selhává: fysika sama, nebo Bohrovo kvantování? To ne !!!

Kvantová mechanika v Rn Připomenutí ..... Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti Kvantování po složkách nezávisí na dimensi. Buď z homogenity prostoru rovnou Nebo předepíšeme kanonické komutační relace Odtud Hamiltonián Vlastní stavy a energie srovnáme s reálnými atomy

Kvantová mechanika atomu H v Rn Kvalitativní úvaha (von Weizsäcker) „Kvantová neurčitost stabilisuje hmotu“ Relace neurčitosti nedovolí elektronu spadnout na jádro. Pro orbital o poloměru a: Kvalitativní vysvětlení: kinetická energie skrytá v kvantových fluktuacích chrání elektron před pádem na jádro. Odhad kinetické, potenciální a celkové energie

Kvantová mechanika atomu H v Rn Výsledek závisí opět na dimensi variační podmínka dává vůbec minimum? n = 3 Při malých a převládá kinetická energie>0, při velkých potenciální<0 Minimum dá stabilní orbitál. Jeho poloměr aMIN je Bohrův poloměr!! n = 4 Zase neurčitý (patologický ?) případ. n = 5, 6, ... Při malých a převládá potenciální energie Kvantová kinetická energie je nedostatečná Atom je nestabilní, elektron padá na jádro aMIN  0 EMIN  - ∞

Schrödingerova teorie vodíku v Rn V souřadnicové representaci Měřítková transformace – T homog. stupně 2 U homog. stupně n-2 ∞ r r  U(r) n=3 ... Běžný optimalisační postup pro vlnové funkce n=4 ... Nevede k výsledku n≥5 ... Při ∞ diverguje <U> rychleji než <T>: zdola neohraničený H !!!

Schrödingerova teorie vodíku v Rn Měřítková transformace – viriálová věta Pro normovatelné vlastní funkce z diskrétního spektra variační podmínka pro energii dá Virial Theorem: n=3 ... H = T <0 ok n=4 ... H = 0 ok ??? nerozhodné n=5 ... H =1/3 T >0 To je ale nemožné  obyč. vázané stavy nevznikají To se potvrzuje i explicitním řešením SR: v počátku r = 0 nekonečně uzlů ... částice padá na centrum

Schrödingerova teorie vodíku v Rn Měřítková transformace – viriálová věta Pro normovatelné vlastní funkce z diskrétního spektra variační podmínka pro energii dá Virial Theorem: n=3 ... <H>=-<T> <0 ok n=4 ... <H>= 0 ok ??? nerozhodné n=5 ... <H>= 1/3 <T> >0 To je ale nemožné  obyč. vázané stavy nevznikají To se potvrzuje i explicitním řešením SR: v počátku r = 0 nekonečně uzlů ... částice padá na centrum

REKAPITULACE FYSIKA V PROSTORU En  Rn Geometrie Rn sama nestačí prokázat, že n=3 je privilegované Gravitační zákon má singularitu jako r 2 – n , dosti silnou Keplerova úloha má jen nestabilní řešení, planeta se zřítí na centrum Coulombův zákon vykazuje rovněž singularitu r 2 – n Fundamentální konstanty c G e' , rozměrová analysa separuje gravitaci a QED jen pro n=3. Vodíkupodobný atom – Bohrova teorie nevede k výsledku Vodíkupodobný atom – nerelativistická kvantová teorie ukazuje, že ani stabilisace principem neurčitosti nezabrání zřícení elektronu na jádro. (Vlnové šíření a Huyghensův princip ... Taktéž privilegované postavení dimense 3.) Z hlediska „antropického principu“ je privilegované postavení dimense 3 zřejmé. Nestabilní planetární systém by nedal čas pro vývoj života v homeostatických podmínkách Dokonce ani samotné atomy nejsou pro n>3 stabilní Ostatní okolnosti jsou už proti tomu jen doplňkové

Exkurs:Flatlandy všeho druhu V sci-fi literatuře mnoho autorů popsalo konfrontaci 2D – 3D, nebo 3D – 4D Flatland: A Romance of Many Dimensions, Edwin A. Abbott (1884) An Episode of Flatland, Charles Howard Hinton (1907) Sphereland: A Fantasy about Curved Spaces and an Expanding Universe, Dionys Burger (1965) The Planiverse: Computer Contact with a Two-dimensional World, A. K. Dewdney (1984) Flatterland: Like Flatland, Only More So, Ian Stewart (2000) Spaceland, Rudy Rucker (2002) Ve fysice jsou takové věci realisovány 1D svět iontů v pastech: nemohou se obejít, znají se jen sousedé 2D svět elektronů v 2DEG: kolmo na rovinu kvantování v jámě tak úzké, že všechny elektrony jsou v základním stavu. Podél roviny jsou volné, interagují.

Ve fysice je soužití v různých dimensích realisováno Flatlandy všeho druhu mají problémy Interakce mezi námi a 4-dimensionálními bytostmi si těžko představit Jak vůbec mohou 4D bytosti komunikovat s 3D? Třeba vykrádání tresorů. Všechno zlato světa je v 4D kontextu nekonečně tenká slupička uvnitř 3D nadroviny. Co s ní? Nebo válečná pole. Běžný 3D kopiník probodávající nepřítele: idealisované kopí je úsečka pronikající 3D oblastí (tělem). 4D kopiník: kopí v lepším případě různoběžné s 3D prostorem protivníka proklá v jediném bodě. Nejasné odpovědi Buď (snivci) neznají geometrii a nevědí. o čem je řeč Nebo (matematici) to přece berou jen jako hru a vůbec. Ve fysice je soužití v různých dimensích realisováno 1D svět iontů v pastech: nemohou se obejít, znají se jen sousedé 2D svět elektronů v 2DEG: kolmo na rovinu kvantování v jámě tak úzké, že všechny elektrony jsou v základním stavu. Podél roviny jsou volné, interagují.

Epitaxní polovodičová heterostruktura AlAs     AlAs        GaAs    z  Potenciálová jáma uvězní elektrony šířka L Směr pohybu Dostupná oblast Pohyb je Energie je Podstata x (- ,  ) infinitní spojitá pohybová energie y pohybová energie z ( 0, L ) finitní kvantovaná kvantové fluktuace

Epitaxní polovodičová heterostruktura L .pz    Energie  Energie  Energie E4 E2 EF EF EF E1 E1 E1 k  k  k  L velké … kvasikontinuum dostupných energií téměř 3D chování L střední … několik kvantovaných dostupných energií 3D nebo 2D+ vnitřní pohyb??? L malé … jediná kvantová hladina dostupná 2D pohyb; vnitřní pohyb vymražen

Epitaxní polovodičová heterostruktura jako Flatland  Energie případ velmi tenké vrstvy energie elektronů nedosáhne k E2 zůstanou na první větvi E1 stav v „transversálním“ směru z bude stejný pro všechny elektrony  během libovolných procesů neměnný s operacionálního hlediska čistě 2D svět ale vnořen do celého 3D vzorku mohou doléhat síly zvenku dynamika uvažovaného 2DEG se nemůže redukovat na uzavřené rovnice uvnitř. E2 oblast prakticky dostupných energií EF E1 k  L malé … jediná kvantová hladina dostupná 2D pohyb; vnitřní pohyb vymražen

Vypadá to jako hadice od vysavače: Svinuté dimense přímka 1D bod, souřadnice x  Vypadá to jako hadice od vysavače: „prostor“ (1+ 1)D string, souřadnice x, u

Sféra vzdálených hvězd podle Newtona oblast vzdálených hvězd tečný prostor Newtonův kosmos zakřivený megaprostor červí díra

Epitaxní polovodičová heterostruktura L .pz   k  EF  Energie E1 E2 E4 L velké … kvasikontinuum dostupných energií téměř 3D chování L střední … několik kvantovaných dostupných energií 3D nebo 2D+ vnitřní pohyb??? L malé … jediná kvantová hladina dostupná 2D pohyb; vnitřní pohyb vymražen

Různé cesty k definici dimense Běžná představa o fysice i mezi fysiky: úsečka x interval [0,1] čtverec [x,y] kartézský součin [0,1] [0,1] Škoda, že to tak není [0,1]  [0,1]  [0,1] Cantor Spojitá křivka vyplní čtverec Peano parametrická definice topologická dimense topologické prostory algebraická dimense moduly (vektor. prostory) Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

Různé cesty k definici dimense Běžná představa o fysice i mezi fysiky: úsečka x interval [0,1] čtverec [x,y] kartézský součin [0,1] [0,1] Škoda, že to tak není [0,1]  [0,1]  [0,1] Cantor Spojitá křivka vyplní čtverec Peano parametrická definice topologická dimense topologické prostory algebraická dimense moduly (vektor. prostory) Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense