Životní pojištění V životním pojištění je náhodného charakteru okamžik vzniku pojistné události. Pojistnými událostmi mohou být např. smrt pojištěného a dožití se určitého věku.

Pojmy v životním pojištění (1) Účastníci pojištění jsou: pojistitel je provozovatel pojištění (většinou pojišťovna) pojistník je fyzická nebo právnická osoba, která s pojistitelem uzavřela pojistnou smlouvu a má povinnost platit pojistné pojištěný (pojištěnec) je fyzická osoba, na jejíž život a zdraví je pojištění sjednáno.

Pojmy v životním pojištění (2) Účastníkem pojištění dále je: oprávněná osoba (obmyšlený) je fyzická nebo právnická osob, která má právo na výplatu pojistného plnění podle pojistné smlouvy (je-li oprávněná osoba ve smlouvě explicitně určena) nebo podle občanského zákoníku (v pořadí: 1. manželka pojištěného, 2. děti, 3. rodiče,4. osoby, které žily s pojištěným po dobu nejméně jednoho roku před jeho smrtí ve společné domácnosti, 5. dědici). Pojistník, pojištěný a oprávněná osoba mohou být případně tatáž osoba.

Druhy životního pojištění V rámci pojištění osob lze zejména sjednat: pojištění pro případ smrti pojištění pro případ dožití smíšené pojištění důchodové pojištění svatební pojištění pojištění prostředků na výživu dětí.

Pojistné události a druhy pojištění Pojištění pro případ smrti: pojistná událost smrt pojištěného. Pojištění pro případ dožití: pojistná událost dožití sjednaného věku pojištěným. Smíšené pojištění: pojistná událost smrt pojištěného nebo dožití sjednaného věku pojištěným. Důchodové pojištění je v podstatě speciálním případem pojištění pro případ dožití s pravidelně se opakujícím pojistným plněním ve formě výplaty důchodu.

Pojistné plnění Podle pojistného plnění v pojištění osob rozlišujeme: jednorázové pojistné plnění plnění postupné. Jednorázové pojistné plnění se uplatňuje v kapitálovém životním pojištění. Postupné pojistné plnění se uplatňuje v důchodovém pojištění, kdy pojišťovna vyplácí pravidelně sjednaný důchod.

Placení pojistného (1) Rozlišujeme pojistné: jednorázové, které je zaplaceno jednou částkou při uzavření smlouvy běžné, které se platí opakovaně, a to obvykle v pravidelných pojistných obdobích splátkami stejné výše. Pojišťovna může zvýhodnit menší frekvence placení pojistného. Např. slevou ročního pojistného vůči měsíčnímu pojistnému.

Placení pojistného (2) Při neplacení běžného pojistného pojistníkem obvykle pojištění nezanikne, ale pokračuje do konce sjednané pojistné doby s redukovanou pojistnou částkou nebo redukovaným důchodem. V případě přiznání invalidity pojistníkovi (invalidního důchodu ze sociálního zabezpečení) pojišťovna může při běžném pojištění v době invalidity zprostit pojistníka od placení pojistného.

Výpočet pojistného Rozlišujeme: netto pojistné, které je vypočteno tak, aby v průměru pojišťovně krylo pojistná plnění brutto pojistné je netto pojistné rozšířené o složky na pokrytí správních nákladů pojišťovny a případných nepříznivých škodních výchylek formou bezpečnostní přirážky valorizované pojistné je upravováno s ohledem na vývoj inflace.

Podíl na zisku Při sjednávání některých pojištění lze specifikovat podíl pojištěného na zisku pojišťovny. Jde zpravidla o zisk, který pojišťovna dosahuje na kapitálovém trhu investováním rezerv vytvořených z pojistného nad rámec pojistně-technické úrokové míry.

Faktory ovlivňující pojistné Sazebník pojišťovny uvádí pro jednotlivé pojistné produkty výši pojistného v závislostech na určitých faktorech. Např. se v úvahu bere: pohlaví pojištěného vstupní věk pojištěného pojistná doba.

Určení vstupního věku (1) Vstupní věk lze stanovit jako rozdíl kalendářního roku uzavření pojištění a roku narození pojištěného (praxe zpravidla užívaná v České republice). Např. pojištěný narozený 15. října 1961, který uzavřel pojištění dne 15. ledna 1996, má vstupní věk 1996 - 1961 = 35, i když v okamžiku uzavření pojištění je jeho věk 34 +(3/12).

Určení vstupního věku (2) Lze též použít následujícího algoritmu. Přijmeme-li konvenci, že měsíc má 30 dní, potom určíme počet dní, které uplynou od posledních narozenin ke dni uzavření pojištění. Tento počet dělíme počtem dní v měsíci (konvence 30) a získáme počet měsíců. Je-li výsledem menší než 6 měsíců, pak se bere věk subjektu při posledních narozeninách. V opačném případě se bere věk při příštích narozeninách.

Pojistná doba – doba trvání pojištění Rozlišujeme pojištění: na dobu dočasnou (určitou) Pojistná doba je předem smluvně omezena. na dobu neomezenou (trvalou) Pojistná doba není předem smluvně omezena. s odkladem Povinnost pojistného plnění je pojišťovnou odložena o sjednanou dobu (např. odložený důchod, karenční lhůta). Karenční lhůta je zvláštní forma čekací lhůty. Jde o období od vzniku pojistné události a stanoveným počátkem pojistného plnění. Karenční lhůta je zvláštní forma čekací lhůty. Období od vzniku pojistné události a stanoveným počátkem plnění.

Pojištění více životů Pojištění více životů je pojištění, u něhož pojistné plnění závisí na životě či smrti dvou nebo i více osob, např. smíšené pojištění dvojic, vdovský a sirotčí důchod apod.

Skupinové pojištění Skupinové pojištění je hromadně sjednávané pojištění pro skupinu osob (např. zaměstnavatel hromadně pojistí své zaměstnance). Vzhledem k administrativnímu zjednodušení (např. hromadné placení pojistného přes jednu mzdovou účtárnu) lze obvykle stanovit nižší pojistné a případně ignorovat rozdílné vstupní věky pojištěných.

Sdružené pojištění Sdružené pojištění je pojištění více rizik v rámci jedné pojistné smlouvy (např. úrazové připojištění nebo tzv. rodinná pojištění sloužící ke komplexní pojistné ochraně rodiny, jako je např. sdružené pojištění mládeže).

Úmrtnostní tabulky Kromě finančních instrumentů je úmrtností tabulka základní nástroj pro výpočty prováděné životní pojišťovnou (tj. v pojištění osob). Pomocí demografických metod na základě pozorování rozsáhlých populačních souborů (celé populace, pojistných kmenů apod.) lze odhadnout pravděpodobnosti úmrtí pro muže a ženy jednotlivých věků a odtud další důležité charakteristiky.

Tvar úmrtnostních tabulek (1) Hodnoty jednotlivých sloupců Věk x např. x = 0,1, . . . , (poslední věková skupina znamená „ve věku  let a více“). V pojišťovnách se užívá často x = 15,16, . . . anebo x = 18,19, ... . Pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře před dosažením věku x + 1, tj. pravděpodobnost úmrtí ve věku x, kterou označíme qx .

Tvar úmrtnostních tabulek (2) Pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + 1, tj. pravděpodobnost dožití se věku x, kterou označíme: px . Počet jedinců z populace l0 současně narozených jedinců, kteří se dožijí věku x, který označujeme lx. Počet jedinců z l0 současně narozených jedinců, kteří zemřou v dokončeném věku x; tj. počet zemřelých ve věku x, který označíme dx .

Základní vztahy (1) S přihlédnutím ke zvolenému označení vidíme, že platí následující vztahy dx = lx - lx+1 px = lx+1 / lx qx = dx / lx, Poznamenejme, že pro  je d = l , tj. ln = 0 pro n>.

Základní vztahy (2) px =1- qx lx+1 = px lx = (1-qx) lx lx+1 = lx - dx d0 + d1 + … + dx = l0 - lx+1 lx+1 = l0 - (d0 + d1 + … + dx) .

Dekrementní řád (1) Posloupnost l0  l1  l2  … se nazývá dekrementní řád vymírání populace. Dekrementní řád představuje hypotetický snímek života zvoleného počtu jedinců l0, tak jak by vypadal, kdyby se udrželo úmrtnostní chování populace z uvažovaného období.

Dekrementní řád (2) Hodnota l0 se nazývá kořen (radix) úmrtnostní tabulky a obvykle se volí l0 = 100 000. Používají se též jiné volby radixu. Používá se např. l0 = 1 000 000 (demografie) nebo l15 = 100 000, l18 = 100 000 (pojišťovny).

Obecnější přístup (1) Někdy se uvažují obecnější pravděpodobnosti npx značí pravděpodobnost toho, že jedinec, který je ve věku x, se dožije věku x+n nqx značí pravděpodobnost toho, že jedinec, který je ve věku x, zemře před dosažením věku x+n . Poznamenejme, že pravděpodobnosti 0px=1, 1px, 2px, … představují dekrementní řád jedinců, kteří se dožili věku x.

Obecnější přístup (2) Pro uvedené pravděpodobnosti platí npx = lx+n / lx nqx = (lx - lx+n) / lx npx = px px+1 ... px+n-1 = = (1-qx) (1-qx+1) ... (1-qx+n-1) .

Lx  lx+1 + ½ (lx - lx+1) = lx+1 + ½ dx = ½ (lx + lx+1). Počet prožitých let Lx počet let prožitých osobami ve věku x. Tato hodnota značí počet „člověkoroků“, které ve věku x prožije lx osob. Aproximuje se výrazem Lx  lx+1 + ½ (lx - lx+1) = lx+1 + ½ dx = ½ (lx + lx+1). Vzhledem ke zvýšené kojenecké úmrtnosti v prvních týdnech lidského života se může pro x=0 použít jiné aproximace. Např. se užívá L0  l1 + 0,08 d0 .

Počet zbylých let života (1) Tx počet zbylých let života ve věku x. Jde o počet „člověkoroků“, které do konce svého života prožije lx osob, tj. Tx = Lx + Lx+1 + ... .

Počet zbylých let života (2) Veličinu Tx vyjádříme pomocí veličin dx. Za tím účelem vyjděme z vyjádření hodnot Lx+i  ½ (lx+i + lx+i+1) , které sečteme pro i=0,2,…,n-1. Uvažovaný součet označíme Tx. Platí Tx = ½ lx + lx+1 + ... + lx+n-1 + ½ lx+n = = ½  lx + 2 lx+1 + ... + 2 lx+n-1 + lx+n.

Počet zbylých let života (3) Výraz v hranatých závorkách můžeme přepsat následovně lx + 2 lx+1 + ... + 2 lx+n-1 + lx+n = = (lx - lx+1) + 3 lx+1 + 2 lx+2 +... + 2 lx+n-1 + lx+n = = (lx - lx+1) + 3 (lx+1 - lx+2)+ 5 lx+2 +... + 2 lx+n-1 + lx+n = = (lx - lx+1) + 3 (lx+1 - lx+2)+ 5 lx+2 +... + + (2n-1) (lx+n-1 - lx+n) + 2n lx+n = = dx + 3 dx+1 + 5 dx+2 +... + (2n-1) dx+n-1 + 2 n lx+n .

Počet zbylých let života (4) Volíme-li n dostatečně veliké (n>-x), je lx+n = 0 a tedy můžeme psát Tx  ½ (dx + 3 dx+1 + 5 dx+2 +... ) .

Střední délka života osoby ve věku x Ex střední délka života osoby ve věku x, která značí průměrný počet let, kterých se ještě dožije jedinec ve věku x, tj. Ex = Tx / lx . Speciálně E0 je střední délka života osoby, ke které se vztahuje příslušný dekrementní řád. Poznamenejme, že v literatuře se veličina Ex označuje eºx .

Úmrtnost mužů a žen (1) Mužská populace vykazuje prakticky ve všech věkových skupinách větší sklon k úmrtnosti než ženská populace.

Úmrtnost mužů a žen (2) Pojišťovny stanovují pojistné (pojistné sazby ve svém sazebníku): pro muže a ženy odděleně použitím mužských a ženských úmrtnostních tabulek bez rozlišení pohlaví použitím smíšených úmrtnostních tabulek nerozlišujících pohlaví (obvykle odvozených z pojistných kmenů pojišťovny)

Úmrtnost mužů a žen (3)  pro muže a ženy se použije mužských tabulek, přičemž sazby pro ženy se získají vhodným posunutím sazeb pro muže. V ČR tento postup převládá, přičemž se obvykle používá věkový posun o 5 let, kdy např. žena ve stáří 45 let platí stejné pojistné jako muž ve stáří 40 let. Kromě pohlaví se lze použít jiných kriterií rozlišení.

Vyhlazování úmrtnostních tabulek (1) Hodnoty qx či lx se konstruují jako statistické odhady a podléhají tedy náhodnému kolísání. Proto je vhodné oprostit tyto veličiny od nahodilých výkyvů, které nemají racionální vysvětlení. Tato operace se nazývá vyhlazování.

Vyhlazování úmrtnostních tabulek (2) Zpravidla se používá: analytické vyrovnávání prokládá vyrovnávanými posloupnostmi matematické křivky. např. Gompertzovy Makehamovy křivky lx = k sx gcx , kde k, s, g, c jsou odhadované parametry mechanické vyrovnávání obvykle používá klouzavých průměrů.

Volba úmrtnostních tabulek Volba konkrétní úmrtnostní tabulky je pro pojišťovnu spojena s určitým rizikem, neboť skutečné úmrtnostní chování pojistného kmene se od ní může nepříznivě lišit (např. v důsledku ztráty aktuálnosti tabulky nebo odlišnosti úmrtnostních charakteristik pojistného kmene od celostátního průměru).

Bezpečnostní přirážky (1) Pojišťovny proto upravují úmrtnostní tabulky o tzv. bezpečnostní přirážky, tj. o přirážky mající za následek zvýšení pojistného. Zpravidla se používá věkového posunu, popřípadě věkového posunu s modifikací.

Bezpečnostní přirážky (2) věkový posun znamenající umělé zestárnutí o 1 rok v případě rizika smrti (např. hodnota q40 je rovna původní hodnotě q41 před posunem) věkový posun znamenající umělé omládnutí o 2 roky v případě rizika dožití (např. hodnota q40 je rovna původní hodnotě q38 před posunem) jiné modifikace, např. v případě rizika smrti qx modif = max (qx+0,0005, qx+1). 

Selekční úmrtnostní tabulky Zohledňují tzv. princip selekce, kdy např. vzhledem k předepsané lékařské prohlídce závisí úmrtnost pojištěných nejen na jejich věku, ale také na době uplynulé od uzavření pojištění. Pak např. symbol q[39]+1 označuje pravděpodobnost úmrtí ve věku 40 let se vstupem do pojištění před 1 rokem (tj. ve věku 39 let) a např. platí q[40] < q[39]+1 .

Skupinové úmrtnostní tabulky (1) V některých produktech pojištění osob je pojistné plnění závislé na životě nebo smrti dvou či více osob (např. v rámci vdovského důchodu). Proto se uvažují skupinové úmrtnostní tabulky, které se často týkají dvojic (x, y) (muž ve věku x, žena ve věku y). Při tom se předpokládá vzájemná nezávislost úmrtnostního chování mužské a ženské populace.

Skupinové úmrtnostní tabulky (2) Platí pxy = px py qxy = 1 – pxy lxy = lx ly .

Skupinové úmrtnostní tabulky (3) V uvedených vzorcích značí Pxy pravděpodobnost přežití dvojice (x, y) do stavu (x + 1, y + 1) Qxy pravděpodobnost zániku dvojice (x, y) před dosažením stavu (x+1, y+1) (buď smrtí muže před dosažením věku x+1nebo smrtí ženy před dosažením věku y +1) lxy počet přežívajících dvojic (x, y). Hodnoty px, 1x (resp. py, ly) jsou hodnoty z úmrtnostní tabulky mužů (resp. žen).

Principy pojistně-matematických metod princip solidarity princip fiktivního souboru princip ekvivalence.

Princip solidarity Princip solidarity spočívá v tom, že se pojistné plnění pojistníkovi vyplácí z pojistného všech pojištěných.

Princip fiktivního souboru Princip fiktivního souboru má smysl používat v případech, že při výpočtech neužíváme pravděpodobnosti nastání příslušných jevů. Podle tohoto principu je počet osob uzavírajících ve věku x jistý typ pojištění roven hodnotě lx z používané úmrtnostní tabulky. Tento předpoklad vede ke správným výsledkům, neboť v příslušných vzorcích figurují veličiny typu lx jen ve vzájemných poměrech, tj. jako pravděpodobnosti.

Princip ekvivalence Princip ekvivalence požaduje, aby příjmy pojišťovny byly v rovnováze s jejími výdaji při přihlédnutí k časové hodnotě peněz, tj. peněžní toky příjmů a výdajů se vztáhnou diskontováním ke zvolenému počátečnímu času nebo se úročením vztáhnou k zvolenému budoucímu koncovému času. Při diskontování a úročení se používá pojistně technické míry i. Tento princip značí, že současná hodnota pojistného, se musí rovnat současné hodnotě očekávaného pojistného plnění.

Pojistně technická úroková míra (1) Úroková míra, kterou používá pojišťovna pro pojistně-matematické výpočty (např. pro výpočet pojistných sazeb), se nazývá pojistně-technická úroková míra. Nízká hodnota úrokové míry zvyšuje pojistné sazby a vysoká míra snižuje pojistné sazby. Tak při nízké úrokové míře se může pojišťovna dostat do potíží s ohledem na konkurenci a při vysoké úrokové míře inkasované pojistné nemusí být postačující pro vytvoření potřebných rezerv pojišťovny.

Pojistně technická úroková míra (2) V pojišťovnách působících v České republice je pojistně-technická úroková míra určena vyhláškou Ministerstva financí. Označíme v diskontní faktor odpovídající úrokové míře i, tj. položíme v = 1 / (1+i) .

Příklad Určeme pojistné, které by měla pojišťovna jednorázově požadovat od x letého muže, který s ní uzavírá pojištění na dožití věku x+n let s pojistnou částkou Z, tj. pojišťovna vyplatí pojištěnému tuto částku, jakmile se dožije věku x+n let; při jeho úmrtí před dožitím tohoto věku pojištění zanikne bez náhrady. Přitom pojišťovna používá roční úrokovou míru i a údaje z používaných úmrtnostních tabulek.

Řešení užitím principů Podle principu fiktivního souboru pojišťovna kalkuluje s tím, že odpovídající počet x 1etých pojištěných bude lx, z nichž se lx+n dožije věku x+n let. Pojišťovna tedy po uplynutí n let bude vyplácet částku Z lx+n . Součastná hodnota této částky je Z lx+n vn, kde v = 1 / (1+i). Tuto částku zaplatí lx pojištěných. Tedy podle principu ekvivalence čisté (netto) pojistné bez zahrnutí správních nákladů na jedno pojištění je Z lx+n vn / lx = Z lx+n vx+n / (lx vx ) = Z Dx+n / Dx , kde pokládáme Dx+n = lx vn .

Řešení užitím pravděpodobnosti (1) Uvažujme náhodnou veličinu  která nabývá hodnoty Z vn s pravděpodobnosti npx 0 s pravděpodobností nqx = 1 - npx . Pro střední hodnotu této náhodné veličiny, která podle principu ekvivalence určuje též průměrnou hodnotu čistého pojistného platí E() = Z vn npx+0 nqx = Z vn lx+1 / lx Vidíme, že jsme dospěli ke shodnému výsledku.

Řešení užitím pravděpodobnosti (2) Pomocí druhého přístupu lze navíc stanovit riziko pojištění definované jako směrodatná odchylka  příslušné náhodné veličiny , které oceňuje možné vychýlení skutečného škodního průběhu od vykalkulované pojistné sazby E(). Riziko pojištění  se určí podle vztahu 2 = var() = E(2) - E()2 = = Z2 v2n npx + 0 nqx - E()2 = = Z2 v2n lx+n / lx - E()2 .

Komutační čísla Komutační čísla jsou pomocné hodnoty, které vznikají finančním diskontováním hodnot z úmrtnostních tabulek při zvolené úrokové míře. Pojišťovny je používají obvykle v formě tabulek pro zjednodušení a zpřehlednění pojistně-matematických výpočtů.

Základní komutační čísla Diskontovaný počet dožívajících se věku x: Dx = lx vx Diskontovaný počet zemřelých ve věku x: Cx = dx vx+1 = (lx - lx+1) vx+1 . Ve vzorci pro Cx se na rozdíl od vzorce pro Dx diskontuje přes x + 1 období, neboť počet zemřelých dx odpovídá stavu až na konci daného roku. Přitom platí Cx = dx vx+1 = (lx - lx+1) vx+1 = Dx v - Dx+1 .

Komutační čísla vyšších řádů  Nx = Dx + Dx+1 + ... Mx = Cx + Cx+1 + ... Sx = Nx + Nx+1 + ... Rx = Mx + Mx+1 + ... . Pro výpočet komutačních čísel jsou vhodné tabulkové procesory.

  Pojistné

Součastná hodnota pojištění (1) Současná hodnota pojištění je současná hodnota očekávaných částek, které pojišťovna bude muset v rámci pojištění vyplatit. Očekávané částky se určují na základě přijaté úmrtnostní tabulky a diskontování se provádí pomocí přijaté pojistně-technické úrokové míry k okamžiku uzavření pojištění.

Součastná hodnota pojištění (2) Současná hodnota pojištění je podle principu ekvivalence zároveň jeho jednorázovým netto pojistným a představuje základ pro výpočet jakéhokoli pojistného. Jednotková současná hodnota pojištění je současná hodnota pojištění pro jednotkovou pojistnou částku nebo jednotkový důchod (tj. důchod s jednotkovými platbami).

Pojištění pro případ dožití Pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku, jestliže se osoba pojištěná ve věku x dožije konce sjednané doby n let (při úmrtí pojištěného před koncem pojistné doby pojištění zanikne bez náhrady). Jednotková současná hodnota tohoto pojištění je nEx = lx+n vn / lx = lx+n vx+n / lx vx = Dx+n / Dx .

Pojištění pro případ smrti (1) Uvažujme pojištění pro případ smrti, osoby, které uzavřela pojištění ve věku x let. Trvání pojištění je omezeno na sjednanou pojistnou dobu n let (n může být , tj. doba trvání není omezena). Povinnost pojistného plnění je odložena o dobu odkladu (čekací dobu, karenční dobu) k let k=0,1,2, … Pojišťovna tedy vyplatí sjednanou pojistnou částku na konci roku, který je stanoven rokem, v němž osoba pojištěná ve věku x let zemře zvětšeným o velikost odkladu k.

Pojištění pro případ smrti (2) V tomto případě platí kAxn = (dx+k vk+1 + dx+k+1 vk+2 + ... + dx+k+n-1 vk+n ) / lx = = (dx+k v x+k+1 + dx+k+1 vx+k+2 + ... + dx+k+n-1 vx+k+n ) / lx vx = = (Cx+k + Cx+k+1 + ... +Cx+k+n-1) / Dx = (Mx+k - Mx+k+n) / Dx.

Pojištění pro případ smrti (3) Je-li k=0 a n= , tj. Mx+k+n = 0, mluvíme o pojištění pro případ smrti. Pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku na konci pojistného roku, v němž osoba pojištěná ve věku x zemře. V tomto případě je pokládáme Ax = 0Ax .

Pojištění pro případ smrti (4) Je-li k=0 a n<  mluvíme o pojištění pro případ smrti v době trvání pojištění n let. Tohoto typu se využívá především jako tzv. pojištění úvěru pro případ smrti dlužníka (úvěrové pojištění), které uzavírá klient v okamžiku, kdy mu nějaká banka poskytla časově omezený úvěr (často se přímo jedná o povinnou podmínku pro poskytnutí úvěru, přičemž pojišťovna bývá dceřinnou společností příslušné banky). Pojišťovna po inkasování jednorázového pojistného přebírá odpovědnost za příslušný úvěr v případě smrti pojištěného během umořování dluhu. V tomto případě je pokládáme Axn = 0Axn .

Pojištění pro případ smrti (5) Je-li k>0 a n= mluvíme o odloženém pojištění pro případ smrti. V tomto případě je pokládáme kAx = kAx .

Smíšené pojistné (1) Jedná o nejběžnější a nejprodávanější druh kapitálového pojištění osob („klient při něm o nic nepřijde“). Uvažujme pojištění, které uzavřela osoba ve věku x. Zemře-li pojištěná osoba ve před dosažením věku x+n pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku  na konci pojistného roku, v němž osoba zemře. Pokud se osoba dožije věku x+n, pojišťovna vyplatí sjednanou částku .

Smíšené pojistné (2) Pro toto pojištění platí Axn =  (Cx + Cx+1 + ... +Cx+n-1) +  Dx+n) / Dx = = ( (Mx - Mx+n) +  Dx+n) / Dx . V praxi se užívají případy, kdy jeden z parametrů ,  je jednotkový.

Smíšené pojistné (3) Je-li =1, jde o smíšené pojištění s  násobnou pojistnou částkou v případě smrti, ve kterém „jednotkovou pojistnou částkou“ se zde rozumí  v případě smrti a 1 Kč v případě dožití. Je-li =1 jde o smíšené pojištění s  násobnou částkou v případě dožití, ve kterém „jednotkovou pojistnou částkou“ se zde rozumí 1 Kč v případě smrti a  Kč v případě dožití.

Pojištění důchodu (1) V pojištění důchodu je, na rozdíl od jistého důchodu ve financích, životní důchod vázán na život pojištěného a (nejpozději) v případě jeho smrti končí.

Pojištění předlhůtného důchodu (1) Uvažujme případ, ve kterém osoba ve věku x let uzavře pojištění, podle kterého pojišťovna vyplácí důchod sjednané výše vždy na počátku pojistného roku (předlhůtný důchod), po dobu n let nebo pokud pojištěná osoba žije (n resp. n=), přičemž výplata důchodu je odložena o k let, k=0,1,2, … .

Pojištění předlhůtného důchodu (2) Jednotková současná hodnota tohoto pojištění (tj. současná hodnota jednotkového důchodu) je käxn = (lx+k vk + lx+k+1 vk+1 + ... + lx+k+n-1 vk+n-1 ) / lx = = (lx+kv x+k + lx+k+1vx+k+1 +...+ lx+k+n-1vx+k+n-1) / lx vx = = (Dx+k+Dx+k+1+...+Dx+k+n-1) / Dx = = (Nx+k - Nx+k+n) / Dx , čili máme käxn = (Nx+k - Nx+k+n) / Dx .

Pojištění předlhůtného důchodu (3) Je-li k=0 a n= mluvíme o pojištění doživotního důchodu. Pojišťovna vyplácí důchod sjednané výše vždy na počátku pojistného roku, pokud pojištěná osoba žije. V tomto případě je pokládáme äx = 0äx .

Pojištění předlhůtného důchodu (4) Je-li k=0 a n< mluvíme o pojištění dočasného důchodu , ve kterém se omezuje trvání důchodu nejvýše na sjednanou pojistnou dobu n let. V tomto případě je pokládáme äxn = 0äxn .

Pojištění předlhůtného důchodu (5) Je-li k>0 a n= mluvíme o pojištění odloženého doživotního důchodu se odkládá první výplatu důchodu o k let. V tomto případě je pokládáme käx = käx .

Pojištění polhůtného důchodu Kromě předlhůtních důchodů se uvažují polhůtní důchody s platbami vždy na konci pojistného roku. Pro tyto důchody platí kaxn = (lx+kvk+1+lx+k+1vk+2+...+lx+k+n-1vk+n ) / lx = = (lx+kv x+k+1+lx+k+1vx+k+2+...+ lx+k+n-1vx+k+n )/lx vx = (Dx+k+1 + Dx+k+2 + ... +Dx+k+n) / Dx = (Nx+k+1 - Nx+k+n+1) / Dx . kaxn = (Nx+k+1 - Nx+k+n+1) / Dx .

Běžné netto pojistné(1) V praxi často dává pojistník přednost běžnému pojistnému. Budeme uvažovat klasickou situaci s pravidelnými stejnými splátkami. V běžném pojištění si chce pojistník zajistit splátkami pojistného jednorázovou jednotkovou částku nebo jednotkovou výplatu důchodu.

Běžné netto pojistné (2) Předpokládejme, že pravidelnými splátkami ve výši Z si hodlá osoba, která ve věku x uzavřela pojištění zajistit ve věku x+n jednotkovou pojistnou částku nebo jednotkový důchod. Splátky se platí vždy na počátku jednotkového období (roku). Z teoretického hlediska lze na částky placené pojistníkem dívat jako na důchod, který pojistník platí pojistiteli.

Brutto pojistné Brutto pojistné je netto pojistné rozšířené o složky na pokrytí správních nákladů pojišťovny a případně o bezpečnostní přirážku. Bezpečnostní přirážka se většinou zahrnuje do pojistného implicitně uplatněním příslušných věkových posunů v úmrtnostní tabulce.

Získávací náklady Počáteční jednorázové náklady  Počáteční jednorázové náklady (získávací náklady)  představují zaváděcí náklady spojené s prodejem pojistného produktu (provize pojišťovacím agentům), vstupní lékařskou prohlídku apod. Tyto náklady se určí jako  násobek pojistné částky nebo ročního důchodu.

Běžné správní náklady (koeficient ) Představují každoročně se opakující náklady během trvání pojištění spojené s jeho udržováním: administrativa provoz výpočetní techniky korespondence s klientem apod.

Běžné správní náklady Někdy se rozlišují běžné správní náklady během celého trvání pojištění (koeficient 1) a běžné správní náklady během placení pojistného (koeficient 2). Přitom platí  = 1 + 2 . Tyto náklady se určí jako  (resp. 1, 2) násobek pojistné částky nebo ročního důchodu.

Inkasní náklady (koeficient ) Představují náklady spojené s inkasem pojistného (týkají se často jen pojistných produktů s běžným pojistným). Tyto náklady se určují jako  násobek z ročního (příp. jednorázového) brutto pojistného.

Náklady při výplatě důchodu (koeficient ) Týkají se pojistných produktů s výplatou důchodu. Tyto náklady se určí jako  násobek ročního důchodu.

Jednotná správní přirážka (koeficient ) Slučuje v sobě všechny předchozí typy správních nákladů. Tyto náklady se většinou určí jako  násobek brutto pojistného.

Rozlišení jednorázového a běžného brutto pojistného Při výpočtu nákladů je nutno rozlišovat jednorázové brutto pojistné a běžné brutto pojistné.

Pojistné rezervy v pojištění osob Pojistná rezerva představuje částku, kterou pojišťovna musí nashromáždit z přebytků prvních let pojištění a odpovídajících úroků, aby v pozdějších letech byla schopna plnit své závazky. Podle toho, zda do pojistné rezervy nejsou či jsou zahrnuty správní náklady, se rozlišuje netto rezerva či brutto rezerva.

Rezervotvorná pojištění Rezervotvorná pojištění vytvářejí pojistnou rezervu (např. smíšené pojištění, pojištění důchodu) Riziková pojištění nevytvářejí pojistnou rezervu (např. úrazové pojištění) nebo ji vytvářejí v zanedbatelné výši (např. dočasné pojištění pro případ smrti za běžné pojistné).

Výpočet netto rezervy Uvažujme pojištění osoby se vstupním věkem x a pojistnou dobou n. Označme netto pojistné nPx placené osobou na počátku roku pojistné plnění ve výši at , dožije-li se osoba pojištěná osoba konce roku t - plnění ve výši bt při úmrtí pojištěné osoby během roku t. Hodnota t odpovídá roku, v němž je osoba pojištěná, tj. t = 1, 2, …, n .

Předpoklady výpočtu Uvažujme pojištění osoby se vstupním věkem x a pojistnou dobou n. Označme netto pojistné nPx placené osobou na počátku roku pojistné plnění ve výši aj , dožije-li se osoba pojištěná osoba konce roku x+j - pojistné plnění ve výši bj při úmrtí pojištěné osoby během roku x+j. Hodnota j odpovídá roku, v němž je osoba pojištěná, tj. j = 1, 2, …, n .

Netto rezerva Netto rezerva představuje rozdíl mezi výdaji a příjmy pojišťovny. Jde o částku, která je nashromážděná do konce roku j uvažovaného pojištění, kde j = 1, 2 , ..., n. Při tom pokládáme 0Vx n = 0.

Výpočet netto rezervy Roční netto pojistné nPx je kalkulováno např. podle vztahu nPx j:1,n lx+j-1 vx+j-1 = j:1,n (aj lx+j vx+j + bj dx+j-1 vx+j ) nPx j:1,n Dx+j-1 = j:1,n (aj Dx+j + bj Cx+j-1), kde j:1,n představuje součet přes j = 1, …, n v = 1 / (1+i)

Výpočet netto rezervy Označíme Vx n netto rezervu pro uvažované pojištění na konci roku . Platí vztah (-1Vx n + nPx) lx+-1 (1+i) = = Vx n lx+ + (a lx+ + b dx+-1) . Platnost tohoto vztahu vyplývá z významu příslušných hodnot.

Výpočet netto rezervy Hodnota (-1Vx n + nPx) lx+-1 je částka, kterou má pojišťovna k dispozici na začátku roku  . Hodnota Vx n lx+ je částka, kterou má k dispozici na konci roku  po provedení pojistného plnění (a lx+ + b dx+-1) .

Brutto rezerva je netto rezerva se započtenými správními náklady.

Brutto rezerva - zillmerování Při běžném pojistném se od netto rezervy se odečte člen odpovídající  násobku pojistné částky nebo ročního důchodu. Mluví se o tzv. zillmerování rezervy s následující interpretací: Počáteční jednorázové náklady a musí pojišťovna vynaložit hned při uzavření smlouvy, i když je dostane zpět postupně v jednotlivých splátkách běžného pojistného; aby se pojišťovna nestala věřitelem pojistníka, odečte tuto nesplacenou část pojistníkova dluhu z jeho pojistné rezervy.

Brutto rezerva - zillmerování Brutto rezerva se proto v případě běžného pojistného také někdy nazývá zillmerovaná rezerva a může být záporná v několika prvních letech pojištění.

Brutto rezerva jednorázové pojistné K netto rezervě přičte člen vypočtený pomocí koeficientu 1, který se někdy nazývá rezerva běžných správních nákladů.