Kvadratické rovnice pro S O U (x - 5)(x + 5) = 0 S = 1/2gt2 Výuka anglického, německého jazyka a matematiky na středních školách ve třídách s inte-grovanými žáky se specifickými poruchami učení pomocí informačních a komunikačních technologií TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR S = 1/2gt2 Kvadratické rovnice pro S O U K učebnici Calda, E.: Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU 2. díl Prometheus, 2003, s. 13 2x -5 = 1/2x2 (x - 5)(x + 5) = 0 Přehled učiva Milan Hanuš

Řešíme rozkladem na součin Kvadratické rovnice Nejdříve trocha teorie Kvadratická rovnice je taková, ve které se neznámá vyskytuje ve druhé mocnině x2 Takovou rovnici můžeme řešit třemi způsoby: Buď rozložením výrazu na součin na levé straně rovnice a pravá se upraví tak, aby byla rovna 0. Pak stačí jen položit otázku: "Kdy je součin roven 0?" a výsledek se vyloupne sám. Např.: PROCVIČOVÁNÍ Úkol: Řešte v Z: 2x(x + 2) = 5(x2 – 2x) 2x2 + 4x = 5x2 – 10x -3x2 + 14x = 0 x(-3x + 14) = 0 x1 = 0 x2 = 14/3 x = 0 Řešíme rozkladem na součin VYTÝKÁNÍM

± Řešíme rozkladem rozdílu čtverců na součin podle vzorce A2 – B2 = (A + B)(A – B) POZOR ± PROCVIČOVÁNÍ

Upravit na normovaný tvar! S výhodou řešíme pomocí rozkladu kvadratického trojčlenu na součin x2+bx+c=(x+x1)(x+x2); x1+x2=b a x1·x2=c

2. Pomocí vzorce - tento způsob má tu výhodu, že je univerzální - když se naučíte následují vzorce a postupy, vyřešíte každou kvadratickou rovnici. Postup: Mějme rovnici ax2 + bx + c = 0 (kvadratická rovnice v normovaném tvaru - hodnota pravé strany rovnice je rovna 0), kde a, b, c jsou koeficienty (čísla, a ≠ 0) a x je kořen kvadratické rovnice. Potom platí: jestliže je diskriminant (D = b2 - 4ac) kladné číslo, pak má kvadratická rovnice dvě řešení jestliže je diskriminant (D = b2 - 4ac) roven nule, pak má kvadratická rovnice jedno řešení (dvojnásobný kořen) jestliže je diskriminant (D = b2 - 4ac) záporné číslo, pak nemá kvadratická rovnice v množině R řešení Kořeny kvadratické rovnice vypočteme ze vztahu:                   Příklad Řešte v R rovnici   a)  3x2 + 6x = x + 8 Řešení:  

Upravit na normovaný tvar! Příklad Řešte v R rovnici   a)  3x2 + 6x = x + 8 Řešení: Upravit na normovaný tvar! Vypsat koeficienty

Pomocí diskriminantu zjistíme počet kořenů kvadratické rovnice: protože D > 0, má daná kvadratická rovnice dvě různá řešení:

Upravit na normovaný tvar! b)  12x + 4 + 4x2 = -5 Řešení: Upravit na normovaný tvar! Vypsat koeficienty

Pomocí diskriminantu zjistíme počet kořenů kvadratické rovnice:  protože D = 0, má daná kvadratická rovnice jedno reálné řešení (dvojnásobný kořen):

Upravit na normovaný tvar! c)  5x2 +1 = 3x2 +x Řešení: Upravit na normovaný tvar! Vypsat koeficienty

Pomocí diskriminantu zjistíme počet kořenů kvadratické rovnice: protože D< 0, nemá daná kvadratická rovnice v množině reálných čísel žádné řešení.

3. Graficky řešením jsou x-ové souřadnice průsečíků grafů funkcí levé a pravé strany rovnice Příklad: Řešte graficky rovnici:                 3x2 + 6 = x + 8 Řešení: f1: y1 = 3x12 + 6 f2: y2 = x2 + 8 X1 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 y1 7,4 7,1 6,8 6,5 6,2 6,1 6,0 6 6,3 7,9 X2 -2 2 y2 6 10

x1 = -0,7 a x2 = 1 (přesnost odhadu) f1 f2 x1 = -0,7 a x2 = 1 (přesnost odhadu)

Řešení kvadratické rovnice pomocí PC Kvadratickou rovnici upravíme na normovaný tvar: ax2 + bx + c = 0 K nalezení prvního kořenu kvadratické rovnice použijeme vzorec: =(-(a) + √(b2 - 4·a·c)) / 2 / a K nalezení druhého kořenu kvadratické rovnice použijeme vzorec: K nalezení druhého kořenu kvadratické rovnice použijeme vzorec: K nalezení druhého kořenu kvadratické rovnice použijeme vzorec: =(-(a) - √(b2 - 4·a·c)) / 2 / a Pomocí těchto vzorců lze řešit kvadratické rovnice třeba v aplikaci MS EXCEL, nebo na kalkulačce (jen to = pak přijde na řadu jako poslední tlačítko) MS EXCEL

Příklady   x2 - 8x - 33 = 0 4x2 - 6 =0 4x2 + 16 =0 {-3;11} {-2;2} (NŘ)   Odkaz na internet Další příklady naleznete na Internetu ve Sbírce SPŠST Praha 1 J.Reichela,

K O N E C Něco k pobavení i k zamyšlení TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR K O N E C Něco k pobavení i k zamyšlení Tuto prezentaci mají žáci k dispozici na: www.sos-souhtyn.cz/esf

Rozhodněte, zda jsou dané rovnice kvadratické 4x2 =-2x(5 - 3x) ……………………………………………. ANO ……………………………………………. NE 4x2 =-2x(5 - 2x) x2 –(x +1)(x – 1)=-2x(5 - 3x) – 6x2 …….……. NE 5x + x2 =-2x(5 - 3x) – 5x2 ……………………………. NE 1,2x2 =7,05x2 + 2,5x(1,825 – 2,5x) + ⅝ .…. ANO KALKULAČKA KALKULAČKA rovnic ZPĚT

= ±4 = ±7 = ±27 = ±81 x = ±5 x = ±35 Kolik je? Určete kořen rovnice KALKULAČKA KALKULAČKA rovnic ZPĚT