PERMUTACE Mgr. Hana Križanová Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizace Tento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním školám - OP VK 1.5. Výuková sada – MATEMATIKA, DUM č. 13

PERMUTACE Zvláštní případ VARIACE V k (n), kdy k = n. P(n) – permutace z n prvků je uspořádaná n-tice, sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje právě jednou (variace n-té třídy z n prvků). n ∈ N P(n) = n! n! n – FAKTORIÁL n! = n·(n−1)·(n−2)·(n−3)·…·2·1 ! ZÁLEŽÍ NA POŘADÍ PRVKŮ !

1)Kolika způsoby lze postavit vedle sebe šest svíček různých barev? Tvoříme permutaci ze šesti prvků. P(6) = 6! = 6·5·4·3·2·1 = 720 2)Kolik pěticiferných čísel lze sestavit v dekadickém zápisu z cifer 1, 3, 5, 7, 9, kde jsou každé dvě cifry různé ? Tvoříme permutaci z pěti prvků. P(5) = 5! = 5·4·3·2·1 = 120

3)Kolika způsoby lze postavit do řady na poličku: a) 8 románů a 4 detektivky, b) 8 románů a 4 detektivky tak, že nejprve budou romány a vedle nich detektivky? a) P(12) = 12! = b) P(8) · P(4) = 8!·4! = 40320·24 = )Tanečního vystoupení se účastní pět děvčat a čtyři chlapci. Kolika způsoby je lze postavit: a) do řady vedle sebe, b) do řady vedle sebe tak, že chlapci budou vlevo? a) P(9) = 9! = b) P(4) · P(5) = 4!·5! = 24·120 = 2880

Samostatná práce: 5)V pěti vázách je pět různých květin. Růže, tulipán, narcis, karafiát a gerbera. Kolika způsoby je lze postavit: a) vedle sebe, b) vedle sebe tak, aby růže byla uprostřed, c) tak, aby tulipán a gerbera byly vedle sebe, d) tak, aby narcis a karafiát stály na určeném kraji? řešení: a) P(5) = 5! = 120 b) - - R - - P(4) = 4! = 24 c) růže a tulipán tvoří pevnou dvojici RT nebo TR · P(4) = 2·4! = 2·24 = 48 d) N K P(3) = 3! = 6, Samostatná práce: 5)V pěti vázách je pět různých květin. Růže, tulipán, narcis, karafiát a gerbera. Kolika způsoby je lze postavit: a) vedle sebe, b) vedle sebe tak, aby růže byla uprostřed, c) tak, aby tulipán a gerbera byly vedle sebe, d) tak, aby narcis a karafiát stály na určeném kraji? řešení: a) P(5) = 5! = 120 b) - - R - - P(4) = 4! = 24 c) růže a tulipán tvoří pevnou dvojici RT nebo TR · P(4) = 2·4! = 2·24 = 48 d) N K P(3) = 3! = 6,

Domácí úkol: 1)Děti ve školce mají za úkol nakreslit duhu. Dostanou 7 pastelek, každá má jinou barvu. Kolik různých duh může takto vzniknout za použití všech barev? 2)Prodavačka ukládá do regálu šest druhů čokolád. Oříškové, mandlové, mléčné, hořké, karamelové a nugátové. Kolika způsoby lze uložit jednotlivé druhy tak, aby mandlová a oříšková byly vedle sebe? 3)Kolik šesticiferných čísel lze sestavit v dekadickém zápisu z cifer 0, 2, 4, 7, 8, 9, kde jsou každé dvě cifry různé? 4)Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet permutací 42×. Jaký byl původní počet prvků?

Řešení DÚ: 1)P(7) = 7! = )Oříšková a mandlová čokoláda tvoří pevnou dvojici OM nebo MO · P(5) = 2·5! = 2·120 = 240 3) P(6) = 6! = P(5) = 5! = 120 P(6) - P(5) = 6! - 5! = = 600

4) P(n + 2) = 42·P(n) (n + 2)·(n + 1)·n! = 42·n! n 2 + 3n + 2 = 42 n 2 + 3n − 40 = 0 n 1 = 5 n 2 = −8 N Zk. L: P(5 + 2) = 7! = 5040 P: 42·P(5) = 42·5! = 5040

POUŽITÁ LITERATURA Obrázky: