T.A. Edison Tajemství úspěchu v životě není v tom, že děláme, co se nám líbí, ale, že nacházíme zalíbení v tom, co děláme.

E3 Eukleidovský prostor E2 Eukleidovská rovina Body Používáme homogenní souřadnice Vektory Budeme používat i označení u, v místo šipky z technických důvodů E3 Eukleidovský prostor

Skalární součin dvou vektorů je číslo. Velikost vektoru Množina všech geometrických vektorů v prostoru tvoří vektorový prostor dimenze 3. Skalární součin Skalární součin dvou vektorů je číslo. Velikost vektoru

Vektorový součin Vektorový součin je vektor. Vektor u x v je kolmý k vektoru u i vektoru v Jsou-li vektory u a v lineárně nezávislé, je velikost ║u x v║ vektorového součinu u x v rovna obsahu rovnoběžníku, který určují libovolná umístění vektorů u a v se společným počátečním bodem. Kanonickou bázi budeme někdy značit i, j, k (i, j v rovině)

V rovině je dána soustava souřadnic { O, i, j }. Každá rovnice Body, přímky, úsečky, kružnice, kuželosečky, křivky, … Geometrické objekty koule, krychle, tělesa, rovina, kulová plocha, plocha, … Zobrazení, promítání, transformace, … Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu konstantní vzdálenost Nepoužíváme souřadnice, popisujeme slovně (synteticky) vlastnosti objektu. V rovině je dána soustava souřadnic { O, i, j }. Každá rovnice Kde m, n, r (r>0) jsou reálná čísla popisuje kružnici. Objekt jsme popsali rovnicí, pomocí souřadnic jeho bodů – analyticky. Z rovnice umíme „odečíst“ souřadnice středu a poloměr kružnice.

Analytický popis roviny Rovina je určena: třemi body, které neleží v jedné přímce, přímkou a bodem, který na ní neleží, dvěma různoběžkami, dvěma rovnoběžkami, bodem a přímkou, která je k rovině kolmá, … Ve všech případech máme k dispozici je- den bod roviny a její normálový (nenulo- vý) vektor, libovolné umístění tohoto vektoru je úsečka kolmá k dané rovině. Obecná rovnice roviny

Analytické vyjádření přímky v prostoru Dva různé body v prostoru ur-čují jedinou přímku. Přímka je průsečnice dvou různoběžných rovin. Existuje jediná přímka procházející daným bodem, která je rovnoběžná s danou přímkou nebo kolmá k dané rovině. Přímka je určena svým směrovým vektorem u = B-A a jedním bodem A X – A = t (B – A) X = A + t (B – A) X = A + t u

Příklady analytického vyjádření geometrických objektů Kulová plocha Koule Krychle Šroubovice Válcová plocha

Šroubovice a válcová plocha

Transformace a zobrazení A A A A A A A Je toto podobnost A AJe toto také podobnost

Afinní transformace detailu obrazu

Transformace soustavy souřadnic V rovině jsou dány dvě soustavy souřadnic S= {O, i, j} a S’={O’, i’, j’}. Známe: souřadnice bodu O’ v soustavě S a vyjádření vektorů i‘ a j‘ v bázi { i, j }. Úloha: Bod X má souřadnice x, y v soustavě S a souřadnice x‘, y‘ v soustavě S‘. Vyjádřete x‘, y‘ v závislosti na x a y.

Transformace v rovině … Φ, Ψ, f, F Pevná soustava souřadnic X, k, … vzory X’, k’, … obrazy Samodružný bod f(A) = A, samodružná přímka f(a) = a Známe: shodnosti, stejnolehlost, podobnost Otáčení kolem počátku soustavy souřadnic o úhel α

Translace = posunutí: vektor posunutí t = (a, b) Symetrie podle počátku soustavy souřadnic Symetrie podle os souřadnic

Stejnolehlost se středem v počátku a kvocientem k Změna měřítek na osách souřadnic (dilatace)

Afinita, afinní zobrazení Vlastnosti afinního zobrazení: Transformace roviny Obrazem přímky je přímka Rovnoběžné přímky se zobrazí do rovnoběžných přímek Zachovává dělicí poměr Obrazem kuželosečky je kuželosečka stejného typu, obrazem kružnice je elipsa Je určeno šesti parametry = třemi páry bodů vzor – obraz, vzory ani obrazy nesmí ležet na jedné přímce.