Základy mechaniky tekutin a turbulence David Schmoranzer david@superfluid.cz Obsah: Obecný úvod, o jakých veličinách se bavíme, Euler vs. Lagrange Proudění ideálních tekutin, praktické příklady přiblížení ideální kapaliny Rovnice kontinuity, Eulerova rovnice, „zachování“ entropie, rovnice pro vířivost, tlak Bernoulliho rovnice; (isentropické, nestlačitelné, stacionární, potenciální, 2D) proudění Přenos hybnosti a energie, zachování cirkulace d’Alembertův paradox, tepelně aktivované proudění, kapilární a gravitační vlny Proudění viskózních tekutin, obtékání těles, odporové síly Navierova-Stokesova rovnice – obecná vs. nestlačitelná tekutina Princip dynamické podobnosti, bezrozměrné parametry Re, St, Ra Vybrané úlohy – obtékání pravidelných těles, oscilační proudění, Poiseuilleovo proudění Přechod k turbulenci a turbulentní proudění, RANS rovnice, Reynoldsova napětí Bilance energie v turbuelntním proudění, Richardsonova kaskáda, Kolmogorovova teorie

Eulerův popis proudění tekutin Jaké veličiny nás zajímají? Jaký chceme, aby měly význam? Aby odpovídaly okamžitým hodnotám měřitelným v pevném místě (v laboratorní vztažné soustavě) a daném čase, přestože mi tímto místem budou postupně protékat různé částice kapaliny. Na čem tedy tyto veličiny závisí? Jak z nich dostaneme veličiny týkající se konkrétní částice tekutiny? Obecně nikoli přímočaře, ale lze je dopočítat vhodnou transformací. Co to pro náš popis znamená? Bude o něco těžší formulovat fyzikální zákony platící pro fyzické objekty (tedy částice tekutiny), jako např. Newtonův zákon, protože pro částici tekutiny ještě navíc poloha závisí na čase: .

Zákony zachování, rovnice kontinuity Pokud se v nějakém systému zachovává veličina X, platí: . Vztaženo na objem uvnitř (libovolné) oblasti Ω: x...hustota X; jx...hustota toku X Věta o divergenci (Gauss-Ostrogradskij) Platí pro libovolnou oblast Ω, tedy i lokálně (v diferenciálním tvaru): Zákon zachování hmoty: Pro vektorové veličiny X: ... a.k.a. rovnice kontinuity

Pohybové rovnice ideální tekutiny I Newtonův zákon – platí pro částici tekutiny, tedy pevně dané množství tekutiny pohybující se prostorem (a měnící svůj objem vlivem stlačitelnosti). My máme veličiny vztažené na jednotkový objem – např. hybnost Musíme proto místo NZ použít bilanci hybnosti v pevně daném objemu. přibyde + vyteče = dodám ubyde + přiteče zvenku = seberu Tok hybnosti díky proudění tekutiny přes hranici Ω ...opět platí i lokálně...

Pohybové rovnice ideální tekutiny II = 0 z rovnice kontinuity Eulerova rovnice pro ideální (stlačitelnou) tekutinu: av ... zrychlení kvůli objemovým silám

Pohybové rovnice ideální tekutiny III Ideální tekutina - neexistuje disipace energie, nulová viskozita a tepelná vodivost zachovává se entropie, proudí tedy adiabaticky Isentropické proudění: Entalpie (z TD): Eulerova rce. pro ds=0 bez objemových sil: Rovnice pouze pro rychlost: Okrajová podmínka: pevná tělesa; rozhraní dvou tekutin

Tok energie v ideální tekutině I Energie (vnitřní + kinetická) v jednotkovém objemu: Zákon zachování energie: Termodynamika:

Tok energie v ideální tekutině II Adiabaticita (ZZS): Hustota toku energie

Tok hybnosti v ideální tekutině Zákon zach. hybnosti = Eulerova rovnice: Tenzor hustoty toku hybnosti (symetrický) = hustota toku i-té komponenty hybnosti v k-tém směru (nebo opačně)