10_Podobná zobrazení V geometrii o dvou útvarech říkáme, že jsou podobné, pokud je druhý z nich v určitém měřítku zmenšeným nebo zvětšeným obrazem prvého. ● Prosté zobrazení v rovině se nazývá podobností, právě když pro každé dva body X,Y roviny a jejich obrazy X´, Y´ platí |X´Y´| = k |XY|, jde k ≠ 0 . (k je koeficient podobnosti) ● Zvláštním případem podobnosti je pro k = 1 shodnost ● Obrazem každé úsečky AB v podobnosti s koeficientem k je úsečka A´B´ délky |A´B´| = k |AB| ● Obrazy rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné přímky, podobnost zachovává rovnoběžnost. ● Obrazem poloroviny pA je polorovina p´A´, obrazy opačných polorovin jsou opačné poloroviny ● Obrazem úhlu < AVB je uhel < A´B´C´ shodný s úhlem < ABV ● Obrazem každého trojúhelníka ABC je podobný trojúhelník A´B´C´. a´ = k ·a α´ = α b´ = k ·b β´ = β c´ = k · c γ´ = γ d´ = k · d δ´ = δ e´ = k ·e ε´ = ε k > 1 obraz je větší než vzor k < 1 obraz je menší než vzor

U zápisu podobných geometrických útvarů není pořadí vrcholů libovolné U zápisu podobných geometrických útvarů není pořadí vrcholů libovolné. Pořadím určujeme, které vrcholy a strany jsou sobě příslušné, a proto je přesně dané. Stejnolehlost Významným případem podobného zobrazení v rovině je stejnolehlost (hotentotie) se středem S a koeficientem k. k > 0 a |k| > 1 X´leží na polopřímce. |SX´| = k · |SX| k < 0 a |k|< 1 X´ leží na polopřímce opačné. |SX´| = |k |· |SX| Stejnolehlost je jednoznačně určena středem S a koeficientem k. Stejnolehlost se středem S a k = -1 je středová souměrnost, k = 1 je identita. Zapisujeme H (S; k)

Podobnost trojúhelníků Obrazem úsečky ve stejnolehlosti je úsečka s ní rovnoběžná (stejnolehlost zachovává rovnoběžnost. Podobnost trojúhelníků Kdy jsou si dva trojúhelníky podobné? Jeden je zvětšením nebo zmenšením druhého. Všechny strany trojúhelníka jsou kkrát větší nebo kkrát menší. Věty o podobnosti trojúhelníků Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se: - ve dvou úhlech - věta uu (α = α´, β = β´) - v jednom úhlu a poměrech délek stran, které tento úhel svírají – věta sus - v poměrech délek všech sobě odpovídajících stran – věta sss - v poměrech délek dvou sobě odpovídajících stran a úhlu ležícím proti delší z nich – věta Ssu Pro délky stran podobných trojúhelníků ABC a A´B´C´ platí: a´ = k . a , b´ = k.b, c´ = k.c, kde k je poměr podobnosti, k > 0 Zapisujeme k >1 zvětšení k< 1 zmenšení k = 1 shodnost

Řešený příklad 1. Úloha 1. Úloha 2. Které z následujících trojúhelníků jsou podobné s trojúhelníkem ABC, kde a = 12, b = 15 a c = 18 trojúhelník KLM : k = 12, l = 10, m = 18 trojúhelník XYZ o stranách 28:24:36 trojúhelník EFG: |EF| = 6, |EG| = 4, |FG| = 5 V jednotlivých bodech si srovnáme strany podle velikosti a spočteme si poměry 8:10:12 24:28:36 4:5:6 Úloha 1. Rozhodněte, podle které věta o podobnosti trojúhelníků jsou následující trojúhelníky podobné. Vyjděte ze správně označených náčrtů) ∆ PQR: |PQ| = 6 cm, |QR| = 4 cm, |RP| = 7 cm ∆ KLM: |KL| = 18 cm, |LM| = 12 cm, |MK| = 21 cm ∆ ABC: |≮ CAB| = 60°, |CA| = 0,4 m, |AB| = ∆ DEF: |FD| = 1,2 m, |≮ FDE| = 60 °, |DE| = 1,8 m Úloha 2. Sestrojte dvojice podobných trojúhelníků podle zadání: ∆ PQR ~ ∆STU: |PQ| = 3 cm, |PR| = 5 cm, |ST| = 6 cm, |TU| = 11 cm

Řešený příklad 2. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABE, jestliže ABCD je obdélník, ve kterém platí: |BC| = 6 cm, |CF| = 8,2 cm, |DF| = 4,1 cm. Řešení: Pro výpočet obsahu ∆ ABE potřebujeme znát velikosti úseček AB a AE. |AB| = |DC| = |DF| + |FC| = 4,1 cm + 8,2 cm = 12,3 cm |AE| = |AD| + |DE| Musíme určit velikost úsečky DE. Použijeme podobnost trojúhelníků EDF a BCF , protože ∆ EDF ~ ∆ BCF podle věty uu (| DFE| = | BFC| - vrcholové úhly, | EDF| = | BFC| - pravé úhly Z toho vyplývá Všechny dvojice odpovídajících si stran trojúhelníků EDF a BCF jsou v poměru 1 : 2

Zdroje: J. POLÁK. Přehled středoškolské matematiky. Státní pedagogické nakladatelství: Praha. 1972 J. Kováčik, I. Schulzová. Řešené příklady z matematiky pro základní školy a osmiletá gymnazia. Praha: ASPI, 2008 J. Petáková. Matematika příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy.Prometheus: Praha. 1996 Z. Vošický. Matematika v kostce. Praha: Fragment, 2007 M. Krynický. realisticky.cz [online], Dostupný na http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=2 M. Palková a spol.. Průvodce matematikou II. Brno: Didaktis., 2009 J. Doležal. Základy geometrie. [online], Dostupný na http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/ZakladyGeometrie/Planimetrie/Planimetrie.html J. Drahovzalová. Shodná zobrazení.[online], Dostupný na http/clanky.rvp.cz/clanek/c/G/1744/shodna-zobrazeni.html/ M. Hudcová, L. Kubičíková: Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ. Prometheus: Praha. 2009