5.1 Vlnová funkce 5 Úvod do kvantové mechaniky 5.2 Operátory 5.3 Časově závislá Schrödingerova rovnice Fyzika II, 2014-15, přednáška 6

Duální popis hmoty (částicový a vlnový) → Stav částice popisuje vlnová funkce Ψ 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 Její čtverec Ψ ∗ Ψ= Ψ 2 má význam hustoty pravděpodobnosti výskytu Pravděpodobnost výskytu v objemu V Normovací podmínka Jednorozměrný případ: 𝑃 𝑉 𝑡 = 𝑉 Ψ ∗ 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 Ψ 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 𝑑𝑉 𝑐𝑒𝑙ý 𝑝𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑟 Ψ ∗ Ψ 𝑑𝑉= Ψ 2 𝑑𝑉=1 Ψ 𝑥,𝑡 Fyzika II, 2014-15, přednáška 6

5.2 Operátory v kvantové mechanice umožňují určit hodnotu veličiny v určitém stanu ≡ předpis, který funkci z určitého oboru přiřadí funkci z téhož oboru ≡ funkce na množině funkcí Př. O je obor dvojnásobně derivovatelných funkcí, operátor je derivace Vlastní rovnice operátoru: 𝐴 𝑓=𝑔, 𝑓∈𝑂, 𝑔∈𝑂 𝑜𝑝𝑒𝑟á𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑎 Ψ=konstanta∙Ψ 𝐴 Ψ=𝑎Ψ existuje-li řešení této rovnice, získáme: Y…vlastní funkce operátoru a… vlastní hodnota operátoru Fyzika II, 2014-15, přednáška 6

5.2 Operátory v kvantové mechanice Dynamická veličina a operátor dynamická veličina Q operátor 𝑄 možné hodn. veličiny vlastní hodn. operátoru stavy s danou veličinou vlastní funkce operátoru reálné vl. hodnoty, tzv. hemitovské operátory očekávaná hodnota veličiny Q v obecném stavu stavu Y: Př. očekávaná hodn. veličiny v jejím vlastním stavu 𝑄 = −∞ ∞ Ψ ∗ 𝑥,𝑡 𝑄 Ψ 𝑥,𝑡 𝑑𝑥 𝑄 = −∞ ∞ Ψ ∗ 𝑥,𝑡 𝑞Ψ 𝑥,𝑡 𝑑𝑥=𝑞 ve vlastním stavu 𝑄 Ψ 𝑥,𝑡 =𝑞Ψ 𝑥,𝑡

5.3 Časově závislá Schrödingerova rovnice (SCHR) 5.3.1 Jednorozměrný případ SCHR je - základní postulát kvantové mechaniky - analogická k zákonu „uvedení“ SCHR (nelze odvodit): 1. 2. + formalismus kvant. mech.: veličina → operátor tabule 𝐹 𝑥 =𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 a respektuje vln. rov. 𝐸=ℎ𝑓=ℏ𝜔 𝑝= ℎ 𝜆 =ℏ𝑘 Ψ 𝑥,𝑡 =𝐴 𝑒 𝑖 𝑘𝑥−𝜔𝑡 𝑄 Ψ=𝑞Ψ − ℏ 2 2𝑚 𝜕 2 Ψ 𝑥,𝑡 𝜕 𝑥 2 + 𝐸 𝑝 𝑥,𝑡 Ψ 𝑥,𝑡 =𝑖ℏ 𝜕Ψ 𝑥,𝑡 𝜕𝑡 čas. záv. SCHR parc. dif. rovnice pro vln. funkci Y(x,t)

5.3 Časově závislá Schrödingerova rovnice (SCHR) 5.3.2 Třírozměrný případ Laplaceův operátor − ℏ 2 2𝑚 𝜕 2 Ψ 𝑟 ,𝑡 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 Ψ 𝑟 ,𝑡 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 Ψ 𝑟 ,𝑡 𝜕 𝑧 2 + 𝐸 𝑝 𝑟 ,𝑡 Ψ 𝑟 ,𝑡 =𝑖ℏ 𝜕Ψ 𝑟 ,𝑡 𝜕𝑡 𝜕 2 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝜕 𝑧 2 =Δ − ℏ 2 2𝑚 ΔΨ 𝑟 ,𝑡 + 𝐸 𝑝 𝑟 ,𝑡 Ψ 𝑟 ,𝑡 =𝑖ℏ 𝜕Ψ 𝑟 ,𝑡 𝜕𝑡 čas. záv. 3-rozm. SCHR Fyzika II, 2014-15, přednáška 6

5.4 Časově nezávislá Schrödingerova rovnice Není zvláštní druh SCHR, je to rovnice pro prostorovou část vlnové funkce Časově nezávislá, tj. stacionární 5.4.1 Stacionární SCHR v jednorozměrném případě vyjdeme z: a předpokládáme, že 𝐸 𝑝 ≠𝑓𝑐𝑒 𝑡 tabule − ℏ 2 2𝑚 𝜕 2 Ψ 𝑥,𝑡 𝜕 𝑥 2 + 𝐸 𝑝 𝑥,𝑡 Ψ 𝑥,𝑡 =𝑖ℏ 𝜕Ψ 𝑥,𝑡 𝜕𝑡 𝑓 𝑡 = 𝑒 − 𝑖 ℏ 𝐸𝑡 časová část vlnové funkce Fyzika II, 2014-15, přednáška 6

5.4.1 Stacionární SCHR v jednorozměrném případě rovnice pro prostorovou část vln. funkce tabule: diferenciální rovnice 2. řádu pro y a E zavedeme operátor hamiltonián celková vlnová funkce hust. pravděpodobnosti tabule hust. pravděpodobnosti ≠ fce (t) → stacionární stavy stacionární (bezčasová) SCHR (1 - rozm. případ) rov. pro prostor, část vln. funkce − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 ψ 𝑥 𝑑 𝑥 2 + 𝐸 𝑝 𝑥 ψ 𝑥 =𝐸ψ 𝑥 𝐸 𝑝 =𝐸 𝑝 𝑥 ≠𝑓𝑐𝑒 𝑡 ℋ =− ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑 𝑥 2 + 𝐸 𝑝 ℋ ψ 𝑥 =𝐸ψ 𝑥 stacionární SCHR ≡ vlastní rovnice operátoru hamiltoniánu Ψ 𝑥,𝑡 =ψ 𝑥 𝑒 − 𝑖 ℏ 𝐸𝑡 Stacionární stavy jsou vlastní stavy energie Fyzika II, 2014-15, přednáška 6

5.4.2 Stacionární SCHR v třírozměrném případě 𝐸 𝑝 𝑥 ≠𝑓𝑐𝑒 𝑡 Ψ 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 =𝜓 𝑥,𝑦,𝑧 𝑓 𝑡 − ℏ 2 2𝑚 𝜕 2 ψ 𝑟 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 ψ 𝑟 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 ψ 𝑟 𝜕 𝑧 2 + 𝐸 𝑝 ψ 𝑟 =𝐸ψ 𝑟 stacionární SCHR (3 - rozm. případ) Δ= 𝜕 2 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝜕 𝑧 2 Laplaceův operátor − ℏ 2 2𝑚 Δ+ 𝐸 𝑝 ψ 𝑟 =𝐸ψ 𝑟 𝐻 ψ 𝑟 =𝐸ψ 𝑟 𝐻 =− ℏ 2 2𝑚 Δ+ 𝐸 𝑝 kde hamiltonián Fyzika II, 2014-15, přednáška 6

5.5 Vlastnosti vlnové funkce 5.6 Řešení Schrödingerovy rovnice v jednoduchých případech Fyzika II, 2014-15, přednáška 6